Pozzo a potenziale finito - Finite potential well

Il pozzo di potenziale finito (noto anche come pozzo quadrato finito ) è un concetto della meccanica quantistica . È un'estensione del pozzo di potenziale infinito , in cui una particella è confinata in una "scatola", ma che ha "pareti" a potenziale finito . A differenza del pozzo di potenziale infinito, esiste una probabilità associata al fatto che la particella venga trovata fuori dalla scatola. L'interpretazione della meccanica quantistica è diversa dall'interpretazione classica, dove se l' energia totale della particella è inferiore alla barriera di energia potenziale delle pareti non può essere trovata fuori dalla scatola. Nell'interpretazione quantistica, c'è una probabilità diversa da zero che la particella sia fuori dalla scatola anche quando l'energia della particella è inferiore alla barriera di energia potenziale delle pareti (cfr tunnel quantistico ).

Particella in una scatola unidimensionale

Per il caso unidimensionale sull'asse x , l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo può essere scritta come:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \quad (1)}$

dove

${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$,

${\displaystyle h\,}$è la costante di Planck ,

${\displaystyle m\,}$è la massa della particella,

${\displaystyle \psi \,}$è la funzione d'onda (a valori complessi) che vogliamo trovare,

${\displaystyle V\sinistra(x\destra)\,}$è una funzione che descrive l'energia potenziale in ogni punto x , e

${\displaystyle E\,}$è l' energia , un numero reale, talvolta chiamato autoenergia.

Per il caso della particella in una scatola unidimensionale di lunghezza L , il potenziale è fuori dalla scatola e zero per x tra e . La funzione d'onda è considerata composta da diverse funzioni d'onda a diversi intervalli di x , a seconda che x sia all'interno o all'esterno della scatola. Pertanto, la funzione d'onda è definita in modo tale che: ${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle -L/2}$${\displaystyle L/2}$

${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\mbox{if }}x<-L/2{\mbox{ (la regione fuori dagli schemi)}}\\\psi _{2},&{\mbox{if }}-L/2<x<L/2{\mbox{ (l'area all'interno della scatola)}}\\\psi _{3},&{\mbox{ if }}x>L/2{\mbox{ (la regione fuori dagli schemi)}}\end{casi}}}$

Dentro la scatola

Per la regione All'interno del riquadro V ( x ) = 0 e l'equazione 1 si riduce a

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2 }.}$

lasciare

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$

l'equazione diventa

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.}$

Questa è un'equazione differenziale ben studiata e un problema agli autovalori con una soluzione generale di

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad.}$

Quindi,

${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.}$

Qui, A e B possono essere qualsiasi numero complesso e k può essere qualsiasi numero reale.

Fuori dagli schemi

Per la regione fuori dal riquadro, poiché il potenziale è costante, V ( x ) = e l'equazione 1 diventa: ${\displaystyle V_{0}}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0 })\psi _{1}}$

Ci sono due possibili famiglie di soluzioni, a seconda che E sia minore di (la particella è legata al potenziale) o E sia maggiore di (la particella è libera). ${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$

Per una particella libera, E > , e lasciando ${\displaystyle V_{0}}$

${\displaystyle k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}}$

produce

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}}$

con la stessa forma risolutiva del caso inside-well:

${\displaystyle \psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)\quad }$

Questa analisi si concentrerà sullo stato legato, dove > E . lasciare ${\displaystyle V_{0}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}}$

produce

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}}$

dove la soluzione generale è esponenziale:

${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}$

Allo stesso modo, per l'altra regione fuori dagli schemi:

${\displaystyle \psi _{3}=Lui^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}$

Ora, per trovare la soluzione specifica per il problema in esame, dobbiamo specificare le condizioni al contorno appropriate e trovare i valori per A , B , F , G , H e I che soddisfano tali condizioni.

Trovare le funzioni d'onda per lo stato legato

Le soluzioni dell'equazione di Schrödinger devono essere continue e continuamente derivabili. Tali requisiti sono condizioni al contorno sulle equazioni differenziali precedentemente derivate, ovvero le condizioni di matching tra le soluzioni all'interno e all'esterno del pozzo.

In questo caso, il pozzo a potenziale finito è simmetrico, quindi la simmetria può essere sfruttata per ridurre i calcoli necessari.

Riassumendo le sezioni precedenti:

${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\mbox{if }}x<-L/2{\mbox{ (la regione fuori dagli schemi)}}\\\psi _{2},&{\mbox{if }}-L/2<x<L/2{\mbox{ (l'area all'interno della scatola)}}\\\psi _{3}&{\mbox{if }}x>L/2{\mbox{ (la regione fuori dagli schemi)}}\end{casi}}}$

dove abbiamo trovato ed essere: ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\,\!}$${\displaystyle \psi _{3}\,\!}$

${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}$

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad }$

${\displaystyle \psi _{3}=Lui^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}$

Vediamo che come va a , il termine va all'infinito. Allo stesso modo, come va a , il termine va all'infinito. Affinché la funzione d'onda sia integrabile al quadrato, dobbiamo porre , e abbiamo: ${\displaystyle x}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle io}$${\displaystyle F=I=0}$

${\displaystyle \psi _{1}=Ge^{\alpha x}\,\!}$

e

${\displaystyle \psi _{3}=Lui^{-\alpha x}\,\!}$

Successivamente, sappiamo che la funzione complessiva deve essere continua e derivabile. In altre parole, i valori delle funzioni e delle loro derivate devono coincidere nei punti di divisione: ${\displaystyle \psi \,\!}$

${\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}$		${\displaystyle \psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)\,\!}$
${\displaystyle {\frac {d\psi _{1}}{dx}}(-L/2)={\frac {d\psi _{2}}{dx}}(-L/2)\, \!}$		${\displaystyle {\frac {d\psi _{2}}{dx}}(L/2)={\frac {d\psi _{3}}{dx}}(L/2)\,\! }$

Queste equazioni hanno due tipi di soluzioni, simmetriche, per cui e , e antisimmetriche, per cui e . Per il caso simmetrico si ottiene ${\displaystyle A=0}$${\displaystyle G=H}$${\displaystyle B=0}$${\displaystyle G=-H}$

${\displaystyle Lui^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)}$

${\displaystyle -\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)}$

quindi prendendo il rapporto dà

${\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)}$.

Analogamente per il caso antisimmetrico si ottiene

${\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)}$.

Ricorda che entrambi e dipendono dall'energia. Quello che abbiamo trovato è che le condizioni di continuità non possono essere soddisfatte per un valore arbitrario dell'energia; perché questo è il risultato del caso del pozzo a potenziale infinito. Pertanto, sono consentiti solo determinati valori di energia, che sono soluzioni di una o di una di queste due equazioni. Quindi troviamo che i livelli energetici del sistema sottostante sono discreti; le corrispondenti autofunzioni sono stati legati . (Al contrario, per i livelli di energia di cui sopra sono continui.) ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$

Le equazioni dell'energia non possono essere risolte analiticamente. Tuttavia, vedremo che nel caso simmetrico esiste sempre almeno uno stato legato, anche se il pozzo è molto superficiale. Le soluzioni grafiche o numeriche alle equazioni dell'energia sono aiutate riscrivendole un po'. Se introduciamo le variabili adimensionali e , e notiamo dalle definizioni di e che , dove , le equazioni principali leggono ${\displaystyle u=\alpha L/2}$${\displaystyle v=kL/2}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle k}$${\displaystyle u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}}$${\displaystyle u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}$

${\displaystyle {\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={\begin{casi}v\tan v,&{\mbox{(caso simmetrico)}}\\-v \cot v,&{\mbox{(caso antisimmetrico) }}\end{casi}}}$

Nel grafico a destra, per , esistono soluzioni in cui il semicerchio blu interseca le curve viola o grigie ( e ). Ogni curva viola o grigia rappresenta una possibile soluzione, all'interno dell'intervallo . Il numero totale di soluzioni, , (cioè il numero di curve viola/grigie che sono intersecate dal cerchio blu) è quindi determinato dividendo il raggio del cerchio blu, , per l'intervallo di ciascuna soluzione e utilizzando il pavimento o il soffitto funzioni: ${\displaystyle u_{0}^{2}=20}$${\displaystyle v\tan v}$${\displaystyle -v\cot v}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i}$${\displaystyle N}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle \pi /2}$

${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right \rceil }$

In questo caso ci sono esattamente tre soluzioni, poiché . ${\displaystyle N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3}$

${\displaystyle v_{1}=1.28,v_{2}=2.54}$e , con le energie corrispondenti ${\displaystyle v_{3}=3.73}$

${\displaystyle E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}}$.

Se vogliamo, possiamo tornare indietro e trovare ora i valori delle costanti nelle equazioni (bisogna imporre anche la condizione di normalizzazione). A destra mostriamo i livelli di energia e le funzioni d'onda in questo caso (dove ): ${\displaystyle A,B,G,H}$${\displaystyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}$

Notiamo che per quanto piccolo sia (per quanto poco profondo o stretto il pozzo), c'è sempre almeno uno stato legato. ${\displaystyle u_{0}}$

Vale la pena notare due casi particolari. Man mano che l'altezza del potenziale diventa grande, , il raggio del semicerchio diventa più grande e le radici si avvicinano sempre di più ai valori , e si recupera bene il caso del quadrato infinito . ${\displaystyle V_{0}\to \infty}$${\displaystyle v_{n}=n\pi /2}$

L'altro caso è quello di un pozzo molto stretto e profondo - in particolare il caso e con fisso. Poiché tenderà a zero, quindi ci sarà un solo stato legato. La soluzione approssimativa è quindi , e l'energia tende a . Ma questa è solo l'energia dello stato legato di un potenziale di forza della funzione Delta , come dovrebbe essere. ${\displaystyle V_{0}\to \infty}$${\displaystyle L\to 0}$${\displaystyle V_{0}L}$${\displaystyle u_{0}\propto V_{0}L^{2}}$${\displaystyle v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}}$${\displaystyle E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}$${\displaystyle V_{0}L}$

Stati non legati

Se risolviamo l'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per un'energia , le soluzioni saranno oscillanti sia all'interno che all'esterno del pozzo. Quindi, la soluzione non è mai integrabile al quadrato; cioè, è sempre uno stato non normalizzabile. Ciò non significa, tuttavia, che sia impossibile per una particella quantistica avere un'energia maggiore di , significa semplicemente che il sistema ha uno spettro continuo sopra . Gli autostati non normalizzabili sono abbastanza vicini all'essere integrabili al quadrato da contribuire allo spettro dell'Hamiltoniano come operatore illimitato. ${\displaystyle E>V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$

Pozzo asimmetrico

Si consideri un potenziale asimmetrico unidimensionale ben dato dal potenziale

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{1},&{\mbox{if }}-\infty <x<0{\mbox{ (la regione fuori dagli schemi)}}\\0 ,&{\mbox{if }}0<x<a{\mbox{ (l'area all'interno della scatola)}}\\V_{2}&{\mbox{if }}a<x<\infty {\mbox { (la regione fuori dagli schemi)}}\end{casi}}}$

con . La corrispondente soluzione per la funzione d'onda con risulta essere ${\displaystyle V_{2}>V_{1}}$${\displaystyle E<V_{1}}$

${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{\mbox{per }}x<0,{\mbox{dove }}k_{ 1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta ),&{\mbox{per }}0<x< a,{\mbox{dove }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x},&{\mbox{per }} x>a,{\mbox{dove }}k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{casi}}}$

e

${\displaystyle \sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}.}$

I livelli di energia sono determinati una volta risolta come radice della seguente equazione trascendente ${\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle ka=n\pi -\sin ^{-1}\left[k\hbar /{\sqrt {2mV_{1}}}\right]-\sin ^{-1}\left[k\hbar /{\sqrt {2mV_{2}}}\right]}$

dove l' esistenza della radice all'equazione precedente non è sempre garantita, ad esempio, si può sempre trovare un valore così piccolo, che per dati valori di e , non esiste un livello di energia discreto. I risultati del pozzo simmetrico si ottengono dalla precedente equazione impostando . ${\displaystyle n=1,2,3,\dots}$${\displaystyle a}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle V_{1}=V_{2}=V_{o}}$

Cavità sferica

I risultati sopra possono essere usati per mostrare che, contrariamente al caso unidimensionale, non c'è sempre uno stato legato in una cavità sferica.

Lo stato fondamentale (n = 1) di un potenziale sfericamente simmetrico avrà sempre momento angolare orbitale nullo (l = n-1) e la funzione d'onda ridotta soddisfa l'equazione ${\displaystyle U(r)\equiv r\psi (r)}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{d^{2}U \over dr^{2}}+V(r)U(r)=EU(r)}$

Questa è identica all'equazione unidimensionale, eccetto per le condizioni al contorno. Come prima, e la sua prima derivata deve essere continua al bordo del pozzo . Tuttavia, c'è un'altra condizione, che deve essere finita, e che richiede . ${\displaystyle U(r)}$${\displaystyle r=R}$${\displaystyle \psi (0)}$${\displaystyle U(0)=0}$

Dal confronto con le soluzioni sopra, possiamo vedere che solo quelle antisimmetriche hanno nodi all'origine. Pertanto sono consentite solo le soluzioni a . Questi corrispondono all'intersezione del semicerchio con le curve grigie, quindi se la cavità è troppo bassa o piccola, non ci sarà alcuno stato legato. ${\displaystyle \alpha =-k\cot(kR)}$

Guarda anche

• Potenziale bene
• Potenziale della funzione delta
• Potenziale infinito bene
• Semicerchio potenziale bene
• Tunneling quantistico

Riferimenti

Ulteriori letture

• Griffiths, David J. (2005). Introduzione alla meccanica quantistica (2a ed.). Prentice-Hall . ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Teoria quantistica per matematici , Testi di laurea in matematica, 267 , Springer.