Discrete phase-tipo di distribuzione - Discrete phase-type distribution

La distribuzione di fase di tipo discreto è una distribuzione di probabilità che deriva da un sistema di uno o più tra loro collegati distribuzione geometrica che si verificano in sequenza, o fasi. La sequenza in cui ciascuna delle fasi avvengono stessa può essere un processo stocastico . La distribuzione può essere rappresentata da una variabile casuale che descrive il tempo fino assorbimento di una catena di Markov assorbente con uno stato assorbente. Ognuno degli stati della catena di Markov rappresenta una delle fasi.

Ha tempo continuo equivalente nella distribuzione di fase tipo .

Definizione

Una catena di Markov terminazione è una catena di Markov cui tutti gli stati sono transitorie, tranne uno che sta assorbendo. Riordinando gli stati, la matrice di probabilità di transizione di una catena di Markov terminante con stati transitori è ${\ Displaystyle m}$

${\ Displaystyle {P} = \ left [{\ begin {matrix} {T} e \ mathbf {T} ^ {0} \\\ mathbf {0} & 1 \ end {matrix}} \ right],}$

dove è una matrice e . La matrice di transizione è caratterizzato interamente da suo blocco superiore sinistro . ${\ Displaystyle {T}}$${\ Displaystyle m \ times m}$${\ Displaystyle \ mathbf {T} ^ {0} + {T} \ mathbf {1} = \ mathbf {1}}$${\ Displaystyle {T}}$

Definizione. Un sulla distribuzione è una discreta distribuzione di fase di tipo se è la distribuzione del primo tempo di passaggio allo stato assorbente di una catena di Markov termina con un numero finito di stati. ${\ Displaystyle \ {0,1,2, ... \}}$

Caratterizzazione

Fissare una catena di Markov terminazione. Indichiamo il blocco superiore sinistra della sua matrice di transizione e la distribuzione iniziale. La distribuzione della prima volta nello stato assorbente è indicata o . ${\ Displaystyle {T}}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ mathrm {} PH _ {d} ({\ boldsymbol {\ tau}}, {T})}$${\ Displaystyle \ mathrm {} DPH ({\ boldsymbol {\ tau}}, {T})}$

La sua funzione di ripartizione è

${\ Displaystyle F (k) = 1 - {\ boldsymbol {\ tau}} {T} ^ {k} \ mathbf {1},}$

per , e la sua funzione di densità è ${\ Displaystyle k = 0,1,2, ...}$

${\ Displaystyle f (k) = {\ boldsymbol {\ tau}} {T} ^ {k-1} \ mathbf {T ^ {0}},}$

per . Si presume la probabilità di partenza processo nello stato assorbente è zero. I momenti fattoriali della funzione di distribuzione sono date da, ${\ Displaystyle k = 1,2, ...}$

${\ Displaystyle E [K (K-1) ... (K-n + 1)] = n {\ boldsymbol {\ tau}} (I- {T}) {^ - n} {T} ^ { n-1} \ mathbf {1},}$

dove è la dimensione appropriata matrice identità . ${\ Displaystyle I}$

Casi speciali

Proprio come la distribuzione tempo continuo è una generalizzazione della distribuzione esponenziale, la distribuzione tempo discreto è una generalizzazione della distribuzione geometrica, ad esempio:

• Distribuzione degenere , massa punto zero o il vuoto distribuzione di fase di tipo - 0 fasi.
• Geometrico distribuzione - 1 fase.
• Negativo distribuzione binomiale - 2 o più fasi identiche in sequenza.
• Misto distribuzione- geometrica 2 o più fasi non identici, che hanno ciascuno una probabilità di verificarsi in un mutuamente esclusivo, o parallela modo. Questo è l'analogo discreto della distribuzione Hyperexponential , ma non è detta distribuzione ipergeometrica , poiché tale nome viene utilizzato per un tipo completamente diverso di distribuzione discreta.

Guarda anche

• distribuzione di fase di tipo
• modello di accodamento
• teoria delle code

Riferimenti

• MF Neuts. Matrix-Geometric Solutions in modelli stocastici: un approccio algoritmico, Capitolo 2: distribuzioni di probabilità di tipo di fase; Dover Publications, 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Introduzione alla Matrix metodi analitici di modellazione stocastica , 1 ° edizione. Capitolo 2: Distribuzioni PH; ASA SIAM 1999.