Geometria descrittiva - Descriptive geometry

Esempio di quattro diverse rappresentazioni 2D dello stesso oggetto 3D

Lo stesso oggetto disegnato da sei lati

La geometria descrittiva è il ramo della geometria che consente la rappresentazione di oggetti tridimensionali in due dimensioni utilizzando uno specifico insieme di procedure. Le tecniche risultanti sono importanti per l' ingegneria , l' architettura , il design e l' arte . La base teorica per la geometria descrittiva è fornita da proiezioni geometriche planari . La prima pubblicazione conosciuta sulla tecnica era "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt", pubblicata a Linien, Norimberga: 1525, da Albrecht Dürer . L'architetto italiano Guarino Guarini fu anche un pioniere della geometria proiettiva e descrittiva, come risulta chiaro dalla sua  Placita Philosophica (1665), Euclides Adauctus (1671) e Architettura Civile (1686 - non pubblicata fino al 1737), anticipando il lavoro di Gaspard Monge (1746) –1818), a cui di solito viene attribuita l'invenzione della geometria descrittiva. Gaspard Monge è generalmente considerato il "padre della geometria descrittiva" a causa dei suoi sviluppi nella risoluzione dei problemi geometrici. Le sue prime scoperte furono nel 1765 mentre lavorava come disegnatore per le fortificazioni militari, anche se le sue scoperte furono pubblicate in seguito.

I protocolli di Monge consentono di disegnare un oggetto immaginario in modo tale da poter essere modellato in tre dimensioni. Tutti gli aspetti geometrici dell'oggetto immaginario sono rappresentati in dimensioni reali / in scala e forma e possono essere rappresentati come visti da qualsiasi posizione nello spazio. Tutte le immagini sono rappresentate su una superficie bidimensionale.

La geometria descrittiva utilizza la tecnica di creazione di immagini di proiettori immaginari e paralleli che emanano da un oggetto immaginario e intersecano un piano di proiezione immaginario ad angolo retto. I punti di intersezione cumulativi creano l'immagine desiderata.

Protocolli

• Proietta due immagini di un oggetto in direzioni reciprocamente perpendicolari e arbitrarie. Ciascuna visualizzazione dell'immagine contiene tre dimensioni dello spazio, due dimensioni visualizzate come assi a grandezza naturale e reciprocamente perpendicolari e una come un asse invisibile (punto di vista) che si allontana nello spazio dell'immagine (profondità). Ciascuna delle due viste di immagini adiacenti condivide una vista a grandezza naturale di una delle tre dimensioni dello spazio.
• Ciascuna di queste immagini può servire come punto di inizio per una terza vista proiettata. La terza vista può iniziare una quarta proiezione e all'infinito. Queste proiezioni sequenziali rappresentano ciascuna una rotazione tortuosa di 90 ° nello spazio per vedere l'oggetto da una direzione diversa.
• Ogni nuova proiezione utilizza una dimensione in scala reale che appare come dimensione della vista puntiforme nella vista precedente. Per ottenere la visualizzazione a scala intera di questa dimensione e adattarla alla nuova visualizzazione, è necessario ignorare la visualizzazione precedente e procedere alla seconda visualizzazione precedente in cui questa dimensione appare a grandezza naturale.
• Ogni nuova vista può essere creata proiettando in una qualsiasi di un numero infinito di direzioni, perpendicolari alla direzione di proiezione precedente. (Immaginate le molte direzioni dei raggi di una ruota di carro, ciascuna perpendicolare alla direzione dell'asse.) Il risultato è quello di fare un passo tortuoso attorno a un oggetto con curve di 90 ° e di osservare l'oggetto da ogni gradino. Ogni nuova vista viene aggiunta come vista aggiuntiva a una visualizzazione del layout di proiezione ortografica e appare in un "dispiegamento del modello della scatola di vetro".

A parte l'ortogonale, sei viste principali standard (anteriore; lato destro; lato sinistro; alto; basso; retro), la geometria descrittiva si sforza di fornire quattro viste di soluzione di base: la lunghezza reale di una linea (cioè, a grandezza naturale, non di scorcio) , la vista puntiforme (vista finale) di una linea, la vera forma di un piano (cioè, a grandezza naturale in scala, o non accorciata) e la vista laterale di un piano (cioè, vista di un piano con la linea di vista perpendicolare alla linea di vista associata alla linea di vista per produrre la vera forma di un aereo). Questi spesso servono a determinare la direzione della proiezione per la vista successiva. Con il processo di avanzamento tortuoso a 90 °, la proiezione in qualsiasi direzione dal punto di vista di una linea produce la sua vista di lunghezza reale ; la proiezione in una direzione parallela a una vista di linea di lunghezza reale produce la sua vista puntiforme, proiettando la vista puntiforme di qualsiasi linea su un piano produce la vista del bordo del piano; la proiezione in una direzione perpendicolare alla vista del bordo di un piano produrrà la vista della forma reale (in scala). Queste varie viste possono essere utilizzate per aiutare a risolvere i problemi di ingegneria posti dai principi della geometria solida

Euristico

C'è un valore euristico nello studio della geometria descrittiva. Promuove la visualizzazione e le capacità analitiche spaziali, nonché la capacità intuitiva di riconoscere la direzione della visualizzazione per presentare al meglio un problema geometrico per la soluzione. Esempi rappresentativi:

La migliore direzione da vedere

• Due linee oblique (tubi, forse) in posizioni generali per determinare la posizione del loro connettore più corto (perpendicolare comune)
• Due linee oblique (tubi) in posizioni generali in modo tale che il loro connettore più corto sia visto in scala reale
• Due linee oblique in posizioni generali come il connettore più corto parallelo a un dato piano è visto in scala intera (ad esempio, per determinare la posizione e la dimensione del connettore più corto a una distanza costante da una superficie radiante)
• Una superficie piana tale che un foro perforato perpendicolare sia visto in scala reale, come se guardasse attraverso il foro (ad esempio, per verificare i giochi con altri fori praticati)
• Un piano equidistante da due linee oblique in posizioni generali (ad esempio, per confermare la distanza di radiazione di sicurezza?)
• La distanza più breve da un punto a un piano (ad esempio, per individuare la posizione più economica per il rinforzo)
• La linea di intersezione tra due superfici, comprese le superfici curve (diciamo, per il dimensionamento più economico delle sezioni?)
• La dimensione reale dell'angolo tra due piani

Non è stato ancora adottato uno standard per la presentazione di viste di modellazione al computer analoghe alle proiezioni ortografiche e sequenziali. Un candidato per tale è presentato nelle illustrazioni seguenti. Le immagini nelle illustrazioni sono state create utilizzando una computer grafica di ingegneria tridimensionale.

La modellazione tridimensionale al computer produce spazio virtuale "dietro il tubo", per così dire, e può produrre qualsiasi vista di un modello da qualsiasi direzione all'interno di questo spazio virtuale. Lo fa senza la necessità di viste ortogonali adiacenti e quindi può sembrare rendere obsoleto il protocollo tortuoso e graduale della Geometria Descrittiva. Tuttavia, poiché la geometria descrittiva è la scienza dell'imaging legittimo o consentito di uno spazio tridimensionale o più , su un piano piano, è uno studio indispensabile per migliorare le possibilità di modellazione al computer.

Esempi

Trovare il connettore più corto tra due linee di inclinazione date PR e SU

Esempio di utilizzo della geometria descrittiva per trovare il connettore più corto tra due linee oblique. Le luci rosse, gialle e verdi mostrano le distanze che sono le stesse per le proiezioni del punto P.

Date le coordinate X, Y e Z di P, R, S e U, le proiezioni 1 e 2 vengono disegnate in scala rispettivamente sui piani XY e XZ.

Per ottenere una visione reale (la lunghezza nella proiezione è uguale alla lunghezza nello spazio 3D) di una delle linee: SU in questo esempio, la proiezione 3 è disegnata con la linea cerniera H _2,3 parallela a S ₂ U ₂ . Per ottenere una vista di estremità di SU, la proiezione 4 è disegnata con la linea di cerniera H _3,4 perpendicolare a S ₃ U ₃ . La distanza perpendicolare d fornisce la distanza più breve tra PR e SU.

Per ottenere i punti Q e T su queste linee che danno questa distanza più breve, la proiezione 5 è disegnata con la linea cerniera H _4,5 parallela a P ₄ R ₄ , rendendo sia P ₅ R ₅ che S ₅ U ₅ vere viste (qualsiasi proiezione di un la vista finale è una vista reale). Proiettando l'intersezione di queste linee, Q ₅ e T _{5 di} nuovo alla proiezione 1 (linee ed etichette magenta) consente la lettura delle loro coordinate dagli assi X, Y e Z.

Soluzioni generali

Le soluzioni generali sono una classe di soluzioni all'interno della geometria descrittiva che contengono tutte le possibili soluzioni a un problema. La soluzione generale è rappresentata da un singolo oggetto tridimensionale, solitamente un cono, le cui direzioni degli elementi sono la direzione di osservazione (proiezione) desiderata per qualsiasi numero infinito di viste di soluzione.

Ad esempio: per trovare la soluzione generale in modo tale che compaiano due linee oblique di lunghezza diversa in posizioni generali (ad esempio, razzi in volo?):

• Uguale lunghezza
• Uguale lunghezza e parallela
• Uguale lunghezza e perpendicolare (ad esempio, per il targeting ideale di almeno uno)
• Uguale a lunghezze di un rapporto specificato
• altri.

Negli esempi, la soluzione generale per ciascuna soluzione caratteristica desiderata è un cono, ogni elemento del quale produce una delle infinite viste di soluzione. Quando due o più caratteristiche di, diciamo quelle elencate sopra, sono desiderate (e per le quali esiste una soluzione) sporgere nella direzione di uno dei due elementi di intersezione (un elemento, se i coni sono tangenti) tra i due coni produce il desiderato vista della soluzione. Se i coni non si intersecano non esiste una soluzione. Gli esempi seguenti sono annotati per mostrare i principi geometrici descrittivi utilizzati nelle soluzioni. TL = True-Length; EV = Edge View.

Fichi. 1-3 di seguito dimostrano (1) Geometria descrittiva, soluzioni generali e (2) simultaneamente, un potenziale standard per presentare tali soluzioni in formati ortografici, multivista e di layout.

Il potenziale standard utilizza due viste ortogonali standard adiacenti (qui, anteriore e superiore) con una "linea di piegatura" standard tra. Poiché non vi è alcuna necessità successiva di 'fare un passo tortuoso' di 90 ° attorno all'oggetto, nelle sequenze standard a due fasi per arrivare a una vista della soluzione (è possibile andare direttamente alla vista della soluzione), questo protocollo più breve viene considerato per nel layout. Laddove il protocollo in una fase sostituisce il protocollo in due fasi, vengono utilizzate le linee di "doppia piegatura". In altre parole, quando si attraversano le doppie linee non si effettua una svolta tortuosa di 90 ° ma una svolta non ortogonale direttamente alla vista della soluzione. Poiché la maggior parte dei pacchetti di grafica computerizzata di ingegneria genera automaticamente le sei viste principali del modello della scatola di vetro, oltre a una vista isometrica, queste viste a volte vengono aggiunte per curiosità euristica.

Figura 1: Geometria descrittiva: linee oblique che appaiono perpendicolari

Figura 2: Geometria descrittiva: le linee oblique appaiono di uguale lunghezza

Figura 3: Geometria descrittiva: le linee oblique vengono visualizzate nel rapporto di lunghezza specificato

Guarda anche

Riferimenti