Piano proiettivo complesso - Complex projective plane

In matematica , il piano proiettivo complesso , solitamente indicato con P 2 ( C ), è lo spazio proiettivo complesso bidimensionale . È una varietà complessa di dimensione complessa 2, descritta da tre coordinate complesse

dove, invece, si individuano le triple che differiscono per un riscalaggio complessivo:

Cioè, queste sono coordinate omogenee nel senso tradizionale di geometria proiettiva .

Topologia

I numeri di Betti del piano proiettivo complesso sono

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

La dimensione media 2 è rappresentata dalla classe di omologia della complessa linea proiettiva, o sfera di Riemann , che giace nel piano. I gruppi di omotopia non banali del piano proiettivo complesso sono . Il gruppo fondamentale è banale e tutti gli altri gruppi di omotopia superiori sono quelli della 5-sfera, cioè la torsione.

Geometria algebrica

Nella geometria birazionale , una superficie razionale complessa è qualsiasi superficie algebrica birazionalmente equivalente al piano proiettivo complesso. È noto che qualsiasi varietà razionale non singolare è ottenuta dal piano mediante una sequenza di trasformazioni di esplosione e loro inverse ('abbattimento') di curve, che devono essere di tipo molto particolare. In un caso speciale, una quadrica complessa non singolare in P 3 si ottiene dal piano facendo esplodere due punti in curve e quindi soffiando lungo la linea attraverso questi due punti; l'inverso di questa trasformazione può essere visto prendendo un punto P sul quadrica Q , soffia lo compongono, e proietta su un piano generale in P 3 disegnando linee attraverso P .

Il gruppo degli automorfismi birazionali del piano proiettivo complesso è il gruppo di Cremona .

Geometria differenziale

In quanto varietà Riemanniana, il piano proiettivo complesso è una varietà quadridimensionale la cui curvatura in sezione è schiacciata in un quarto, ma non strettamente. Cioè, raggiunge entrambi i limiti e quindi evita di essere una sfera, come altrimenti richiederebbe il teorema della sfera . Le normalizzazioni rivali prevedono che la curvatura sia compresa tra 1/4 e 1; in alternativa, tra 1 e 4. Rispetto alla prima normalizzazione, la superficie incorporata definita dalla linea proiettiva complessa ha curvatura gaussiana 1. Rispetto a quest'ultima normalizzazione, il piano proiettivo reale incorporato ha curvatura gaussiana 1.

Una dimostrazione esplicita dei tensori di Riemann e Ricci è data nella sottosezione n = 2 dell'articolo sulla metrica Fubini-Study .

Guarda anche

Riferimenti