Funzione beta (fisica) - Beta function (physics)

Teoria quantistica dei campi
diagramma di Feynman
Storia
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Nella fisica teorica , in particolare nella teoria quantistica dei campi , una funzione beta , β(g) , codifica la dipendenza di un parametro di accoppiamento , g , sulla scala dell'energia , μ , di un dato processo fisico descritto dalla teoria quantistica dei campi . È definito come

${\displaystyle \beta (g)={\frac {\partial g}{\partial \log(\mu)}}~,}$

e, a causa del gruppo di rinormalizzazione sottostante , non ha alcuna dipendenza esplicita da μ , quindi dipende solo da μ implicitamente attraverso g . Questa dipendenza dalla scala energetica così specificata è nota come esecuzione del parametro di accoppiamento, una caratteristica fondamentale della dipendenza dalla scala nella teoria quantistica dei campi, e il suo calcolo esplicito è ottenibile attraverso una varietà di tecniche matematiche.

Invarianza di scala

Se le funzioni beta di una teoria quantistica dei campi svaniscono, di solito a particolari valori dei parametri di accoppiamento, allora si dice che la teoria è invariante di scala . Quasi tutti i QFT invarianti di scala sono anche conformi invarianti . Lo studio di tali teorie è la teoria del campo conforme .

I parametri di accoppiamento di una teoria quantistica dei campi possono essere eseguiti anche se la corrispondente teoria dei campi classica è invariante di scala. In questo caso, la funzione beta diversa da zero ci dice che l'invarianza di scala classica è anomala .

Esempi

Le funzioni beta sono solitamente calcolate in una sorta di schema di approssimazione. Un esempio è la teoria delle perturbazioni , dove si assume che i parametri di accoppiamento siano piccoli. Si può quindi effettuare un'espansione in potenze dei parametri di accoppiamento e troncare i termini di ordine superiore (noti anche come contributi di loop superiori , per via del numero di loop nei corrispondenti grafici di Feynman ).

Ecco alcuni esempi di funzioni beta calcolate nella teoria delle perturbazioni:

Elettrodinamica quantistica

La funzione beta a un ciclo in elettrodinamica quantistica (QED) è

• ${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,}$

o, equivalentemente,

• ${\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha }{3}}{\sqrt {\frac {\alpha }{\pi }}}~,}$

scritto in termini della costante di struttura fine in unità naturali, α = e ² /4π .

Questa funzione beta ci dice che l'accoppiamento aumenta con l'aumentare della scala di energia e QED diventa fortemente accoppiato ad alta energia. In effetti, l'accoppiamento diventa apparentemente infinito a una certa energia finita, risultando in un polo di Landau . Tuttavia, non ci si può aspettare che la funzione beta perturbativa dia risultati accurati all'accoppiamento forte, e quindi è probabile che il polo di Landau sia un artefatto dell'applicazione della teoria delle perturbazioni in una situazione in cui non è più valido.

Cromodinamica quantistica

La funzione beta a un ciclo in cromodinamica quantistica con sapori e bosoni colorati scalari è ${\displaystyle n_{f}}$ ${\displaystyle n_{s}}$

${\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g ^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

o

${\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right) {\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,}$

scritto in termini di α _s = . ${\displaystyle g^{2}/4\pi}$

Se n _f ≤ 16, la conseguente funzione beta impone che l'accoppiamento decresca all'aumentare della scala dell'energia, fenomeno noto come libertà asintotica . Al contrario, l'accoppiamento aumenta al diminuire della scala energetica. Ciò significa che l'accoppiamento diventa grande a basse energie e non si può più fare affidamento sulla teoria delle perturbazioni.

SU(N) Teoria di gauge non abeliana

Mentre il gruppo di gauge (Yang-Mills) di QCD è , e determina 3 colori, possiamo generalizzare a qualsiasi numero di colori, , con un gruppo di gauge . Quindi per questo gruppo di gauge, con fermioni di Dirac in una rappresentazione di e con scalari complessi in una rappresentazione , la funzione beta a un ciclo è ${\displaystyle SU(3)}$${\displaystyle N_{c}}$${\displaystyle G=SU(N_{c})}$ ${\displaystyle R_{f}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R_{s}}$

${\displaystyle \beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s })-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

dove è il Casimir quadratico di ed è un altro invariante di Casimir definito da per i generatori dell'algebra di Lie nella rappresentazione R. (Per i fermioni di Weyl o Majorana , sostituire con , e per scalari reali, sostituire con .) Per i campi di gauge ( cioè gluoni) , necessariamente in adjoint di , ; per i fermioni nella rappresentazione fondamentale (o antifondamentale) di , . Quindi per QCD, con , l'equazione di cui sopra si riduce a quella elencata per la funzione beta della cromodinamica quantistica. ${\displaystyle C_{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T(R)}$${\displaystyle Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}}$${\displaystyle T_{R}^{a,b}}$${\displaystyle 4/3}$${\displaystyle 2/3}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle 1/6}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C_{2}(G)=N_{c}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T(R)=1/2}$${\displaystyle N_{c}=3}$

Questo famoso risultato è stato derivato quasi contemporaneamente nel 1973 da Politzer , Gross e Wilczek , per i quali i tre hanno ricevuto il Premio Nobel per la Fisica nel 2004. All'insaputa di questi autori, G. 't Hooft aveva annunciato il risultato in un commento a seguito di un discorso di K. Symanzik in un piccolo convegno a Marsiglia nel giugno 1972, ma non lo pubblicò mai.

Giunti Higgs-Yukawa modello standard

Nel Modello Standard , quark e leptoni hanno " accoppiamenti Yukawa " al bosone di Higgs . Questi determinano la massa della particella. La maggior parte degli accoppiamenti Yukawa dei quark e dei leptoni sono piccoli rispetto all'accoppiamento Yukawa del quark top . Questi giunti Yukawa cambiano i loro valori a seconda della scala energetica in cui vengono misurati, attraverso la corsa . La dinamica degli accoppiamenti Yukawa dei quark è determinata dall'equazione del gruppo di rinormalizzazione :

${\displaystyle \mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\circa {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2} }y^{2}-8g_{3}^{2}\right)}$,

dove è il colore calibro di accoppiamento (che è una funzione di e associato libertà asintotica ) ed è l'accoppiamento Yukawa. Questa equazione descrive come cambia l'accoppiamento Yukawa con la scala dell'energia . ${\displaystyle g_{3}}$ ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle y}$${\displaystyle\mu}$

Gli accoppiamenti Yukawa dei quark up, down, charm, strani e bottom sono piccoli alla scala energetica estremamente alta della grande unificazione , GeV. Pertanto, il termine può essere trascurato nell'equazione precedente. Risolvendo, troviamo quindi che aumenta leggermente alle scale di bassa energia in cui le masse di quark sono generate dall'Higgs, GeV. ${\displaystyle \mu \circa 10^{15}}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu \circa 100}$

D'altra parte, le soluzioni di questa equazione per grandi valori iniziali fanno sì che rhs si avvicini rapidamente a valori più piccoli mentre scendiamo nella scala dell'energia. L'equazione di cui sopra si blocca quindi sull'accoppiamento QCD . Questo è noto come punto quasi fisso (infrarosso) dell'equazione del gruppo di rinormalizzazione per l'accoppiamento Yukawa. Non importa quale sia il valore di partenza iniziale dell'accoppiamento, se è sufficientemente grande raggiungerà questo valore di punto quasi fisso e viene prevista la massa di quark corrispondente. ${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g_{3}}$

Il valore del punto quasi fisso è determinato in modo abbastanza preciso nel Modello standard, portando a una massa del quark top prevista di 230 GeV. [citazione necessaria] La massa del quark top osservata di 174 GeV è leggermente inferiore alla previsione del modello standard di circa 30% che suggerisce che potrebbero esserci più doppietti di Higgs oltre il singolo bosone di Higgs modello standard.

Modello standard supersimmetrico minimo

Gli studi di gruppo di rinomalizzazione nel modello standard supersimmetrico minimo (MSSM) della grande unificazione e i punti fissi di Higgs-Yukawa sono stati molto incoraggianti sul fatto che la teoria fosse sulla strada giusta. Finora, tuttavia, nessuna prova delle predette particelle MSSM è emersa negli esperimenti al Large Hadron Collider .

Guarda anche

• Banche-Zaks punto fisso
• Equazione di Callan-Symanzik
• Banalità quantistica

Riferimenti

Ulteriori letture

• Peskin, M e Schroeder, D.; Introduzione alla teoria dei campi quantistici, Westview Press (1995). Un testo introduttivo standard, che copre molti argomenti in QFT incluso il calcolo delle funzioni beta; vedere in particolare il capitolo 16.
• Weinberg, Steven; La teoria quantistica dei campi, (3 volumi) Cambridge University Press (1995). Un monumentale trattato su QFT.
• Zinn-Justin, Jean; Teoria dei campi quantistici e fenomeni critici, Oxford University Press (2002). Enfasi sul gruppo di rinormalizzazione e argomenti correlati.

link esterno