Gruppo alternato - Alternating group
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In matematica , un gruppo alternato è il gruppo di permutazioni pari di un insieme finito . Il gruppo alternato su un insieme di n elementi è chiamato il gruppo alternato di grado n , o il gruppo alternato su n lettere e denotato da A n o Alt ( n ).
Proprietà di base
Per n > 1 , il gruppo A n è il sottogruppo commutatore del gruppo simmetrico S n con indice 2 e ha quindi n ! / 2 elementi. È il nocciolo del gruppo di firme homomorphism sgn: S n → {1, −1} spiegato sotto il gruppo simmetrico .
Il gruppo A n è abeliano se e solo se n ≤ 3 e semplice se e solo se n = 3 oppure n ≥ 5 . A 5 è il più piccolo gruppo semplice non abeliano , avente ordine 60, e il più piccolo gruppo non risolvibile .
Il gruppo A 4 ha i quattro gruppi di Klein V come un sottogruppo normale proprio , vale a dire l'identità e le doppie trasposizioni {(), (12) (34), (13) (24), (14) (23)} , questo è il nocciolo della suriezione di A 4 su A 3 = Z 3 . Abbiamo la successione esatta V → A 4 → A 3 = Z 3 . Nella teoria di Galois , questa mappa, o meglio la corrispondente mappa S 4 → S 3 , corrisponde ad associare il cubico risolvente di Lagrange ad una quartica, che permette di risolvere per radicali il polinomio quartico , come stabilito da Lodovico Ferrari .
Classi di coniugazione
Come nel gruppo simmetrico , due elementi qualsiasi di A n che sono coniugati da un elemento di A n devono avere la stessa forma di ciclo . Il contrario, tuttavia, non è necessariamente vero. Se la forma del ciclo consiste solo di cicli di lunghezza dispari senza due cicli della stessa lunghezza, dove i cicli di lunghezza uno sono inclusi nel tipo di ciclo, allora ci sono esattamente due classi di coniugazione per questa forma di ciclo ( Scott 1987 , §11.1, p299 ).
Esempi:
- Le due permutazioni (123) e (132) non sono coniugate in A 3 , sebbene abbiano la stessa forma di ciclo, e sono quindi coniugate in S 3 .
- La permutazione (123) (45678) non è coniugata alla sua inversa (132) (48765) in A 8 , sebbene le due permutazioni abbiano la stessa forma di ciclo, quindi sono coniugate in S 8 .
Relazione con il gruppo simmetrico
- Vedi gruppo simmetrico .
Generatori e relazioni
Un n è generato da 3 cicli, poiché 3 cicli possono essere ottenuti combinando coppie di trasposizioni. Questo gruppo elettrogeno viene spesso utilizzato per dimostrare che A n è semplice per n ≥ 5 .
Gruppo automorfismo
| n | Aut (A n ) | Fuori (A n ) |
|---|---|---|
| n ≥ 4, n ≠ 6 | S n | Z 2 |
| n = 1, 2 | Z 1 | Z 1 |
| n = 3 | Z 2 | Z 2 |
| n = 6 | S 6 ⋊ Z 2 | V = Z 2 × Z 2 |
Per n > 3 , ad eccezione di n = 6 , il gruppo di automorfismi di A n è il gruppo simmetrico S n , con gruppo di automorfismi interni A n e gruppo di automorfismi esterni Z 2 ; l'automatismo esterno deriva dalla coniugazione per una strana permutazione.
Per n = 1 e 2, il gruppo automorfismo è banale. Per n = 3 il gruppo automorfismo è Z 2 , con banale gruppo automorfismo interno e gruppo automorfismo esterno Z 2 .
Il gruppo di automorfismo esterno di A 6 è il quattro gruppi di Klein V = Z 2 × Z 2 ed è correlato all'automorfismo esterno di S 6 . L'automatismo esterno extra in A 6 scambia i 3 cicli (come (123)) con elementi di forma 3 2 (come (123) (456) ).
Isomorfismi eccezionali
Ci sono alcuni isomorfismi eccezionali tra alcuni dei piccoli gruppi alternati e piccoli gruppi di tipo Lie , in particolare gruppi lineari speciali proiettivi . Questi sono:
- A 4 è isomorfo a PSL 2 (3) e al gruppo di simmetria della simmetria tetraedrica chirale .
- A 5 è isomorfo a PSL 2 (4), PSL 2 (5) e al gruppo di simmetria della simmetria icosaedrica chirale . (Vedi per un isomorfismo indiretto di PSL 2 (F 5 ) → A 5 usando una classificazione di gruppi semplici di ordine 60, e qui per una dimostrazione diretta).
- A 6 è isomorfo a PSL 2 (9) e PSp 4 (2) '.
- A 8 è isomorfo a PSL 4 (2).
Più ovviamente, A 3 è isomorfo al gruppo ciclico Z 3 , e A 0 , A 1 e A 2 sono isomorfi al gruppo banale (che è anche SL 1 ( q ) = PSL 1 ( q ) per ogni q ).
Esempi S 4 e A 4
Tavola di Cayley del gruppo simmetrico S 4
Le permutazioni dispari sono colorate: trasposizioni in verde e 4 cicli in arancione |
Tavola di Cayley del gruppo alternato A 4
Elementi: Le permutazioni pari (l'identità, otto 3 cicli e tre doppie trasposizioni (doppie trasposizioni in grassetto)) Sottogruppi: .svg) .svg) .svg) .svg) .svg)
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 A 3 = Z 3 (ordine 3) |
 A 4 (ordine 12) |
 A 4 × Z 2 (ordine 24) |
 S 3 = Dih 3 (ordine 6) |
 S 4 (ordine 24) |
 A 4 in S 4 a sinistra |
Esempio A 5 come sottogruppo di rotazioni di 3 spazi
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A 5 è il gruppo di isometrie di un dodecaedro nello spazio 3, quindi c'è una rappresentazione A 5 → SO 3 ( R ) .
In questa immagine i vertici dei poliedri rappresentano gli elementi del gruppo, con il centro della sfera che rappresenta l'elemento identitario. Ogni vertice rappresenta una rotazione attorno all'asse che punta dal centro a quel vertice, di un angolo uguale alla distanza dall'origine, in radianti. I vertici nello stesso poliedro sono nella stessa classe di coniugazione. Poiché l'equazione della classe di coniugazione per A 5 è 1 + 12 + 12 + 15 + 20 = 60 , otteniamo quattro poliedri distinti (non banali).
I vertici di ciascun poliedro sono in corrispondenza biiettiva con gli elementi della sua classe di coniugazione, ad eccezione della classe di coniugazione dei (2,2) -cicli, che è rappresentata da un icosidodecaedro sulla superficie esterna, con i suoi vertici antipodali identificati con l'un l'altro. La ragione di questa ridondanza è che le rotazioni corrispondenti sono di π radianti e quindi possono essere rappresentate da un vettore di lunghezza π in una delle due direzioni. Quindi la classe dei (2,2) -cicli contiene 15 elementi, mentre l'icosidodecaedro ha 30 vertici.
Le due classi di coniugazione di dodici 5 cicli in A 5 sono rappresentate da due icosaedri, di raggio 2 π / 5 e 4 π / 5, rispettivamente. L'automorfismo esterno non banale in Out (A 5 ) ≃ Z 2 scambia queste due classi e l'icosaedro corrispondente.
Esempio: il 15 puzzle
Si può dimostrare che il 15 puzzle , un famoso esempio di puzzle scorrevole , può essere rappresentato dal gruppo alternato A 15 , perché le combinazioni del 15 puzzle possono essere generate da 3 cicli . In effetti, qualsiasi puzzle scorrevole 2 k - 1 con tessere quadrate di uguale dimensione può essere rappresentato da A 2 k −1 .
Sottogruppi
A 4 è il gruppo più piccolo che dimostra che il contrario del teorema di Lagrange non è vero in generale: dato un gruppo finito G e un divisore d di | G |, non esiste necessariamente un sottogruppo di G di ordine d : il gruppo G = A 4 , di ordine 12, non ha un sottogruppo di ordine 6. Un sottogruppo di tre elementi (generato da una rotazione ciclica di tre oggetti) con qualsiasi elemento distinto non banale genera l'intero gruppo.
Per tutti gli n > 4 , A n non ha sottogruppi normali non banali (cioè propri) . Quindi, A n è un gruppo semplice per tutti gli n > 4 . A 5 è il più piccolo gruppo non risolvibile .
Omologia di gruppo
L' omologia di gruppo dei gruppi alternati mostra stabilizzazione, come nella teoria dell'omotopia stabile : per n sufficientemente grande , è costante. Tuttavia, ci sono alcune omologie eccezionali a bassa dimensione. Si noti che l' omologia del gruppo simmetrico mostra una stabilizzazione simile, ma senza le eccezioni a bassa dimensione (elementi di omologia aggiuntivi).
H 1 : Abelianizzazione
Il primo gruppo di omologia coincide con l' abelianizzazione , e (poiché A n è perfetta , salvo le citate eccezioni) è così:
- H 1 (A n , Z) = Z 1 per n = 0, 1, 2;
-
H 1 (A 3 , Z) = A ab
3 = A 3 = Z 3 ; -
H 1 (A 4 , Z) = A ab
4 = Z 3 ; - H 1 (A n , Z) = Z 1 per n ≥ 5.
Questo è facilmente visibile direttamente, come segue. Un n è generato da 3 cicli - quindi le uniche mappe di abelianizzazione non banali sono A n → Z 3 , poiché gli elementi di ordine 3 devono mappare agli elementi di ordine 3 - e per n ≥ 5 tutti i 3 cicli sono coniugati, quindi devono mappare allo stesso elemento nell'abelianizzazione, poiché la coniugazione è banale nei gruppi abeliani. Quindi un 3 cicli come (123) deve mappare allo stesso elemento della sua inversa (321), ma quindi deve mappare all'identità, poiché deve quindi avere un ordine che divide 2 e 3, quindi l'abelianizzazione è banale.
Per n <3 , A n è banale e quindi ha una banale abelianizzazione. Per A 3 e A 4 si può calcolare direttamente l'abelianizzazione, notando che i 3 cicli formano due classi di coniugazione (invece di essere tutte coniugate) e ci sono mappe non banali A 3 ↠ Z 3 (in effetti un isomorfismo) e A 4 ↠ Z 3 .
H 2 : moltiplicatori di Schur
I moltiplicatori di Schur dei gruppi alternati A n (nel caso in cui n è almeno 5) sono i gruppi ciclici di ordine 2, tranne nel caso in cui n è 6 o 7, nel qual caso c'è anche una tripla copertura. In questi casi, quindi, il moltiplicatore di Schur è (il gruppo ciclico) di ordine 6. Questi sono stati calcolati per la prima volta in ( Schur 1911 ).
- H 2 (A n , Z) = Z 1 per n = 1, 2, 3;
- H 2 (A n , Z) = Z 2 per n = 4, 5;
- H 2 (A n , Z) = Z 6 per n = 6, 7;
- H 2 (A n , Z) = Z 2 per n ≥ 8.
Appunti
Riferimenti
- Robinson, Derek John Scott (1996), Un corso in teoria dei gruppi , Testi laureati in matematica, 80 (2 ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94461-6
- Schur, Issai (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 139 : 155–250, doi : 10.1515 / crll.1911.139.155
- Scott, WR (1987), Teoria dei gruppi , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-65377-8
