Teljesen behatárolt tér - Totally bounded space

A topológia és a kapcsolódó ágak matematika , teljes-korlátosság általánosítása tömörség a körülményeket, amelyek között egy sor nem feltétlenül zárt . Egy teljesen korlátos halmaz lehet lefedett által véges sok részhalmazát minden rögzített „méret” (ahol a jelentése a „méret” függ a szerkezet a környező tér .)

A kifejezés precompact (vagy precompact ) néha használják ugyanazt jelentik, de precompact is használják, hogy azt jelenti, viszonylag kompakt . Ezek a definíciók egy teljes metrikus tér részhalmazaira vonatkoznak , de általában nem.

Metrikus terekben

A metrikus tér van teljesen korlátos akkor és csak akkor minden valós szám létezik egy véges gyűjteményéből nyílt golyó a M sugarú amelyek uniója tartalmaz  M . Hasonlóképpen, az M metrikus tér akkor és csak akkor van teljesen korlátos, ha mindegyikre létezik olyan véges burkolat , amelynél a burkolat egyes elemeinek sugara legfeljebb . Ez egyenértékű egy véges ε-háló létezésével . A metrikus teret Cauchy-prekompakciónak nevezzük, ha minden szekvencia elfogad egy Cauchy -alsorozatot ; teljes metrikus terekben egy halmaz Cauchy-előtömörítés, ha és csak akkor, ha teljesen korlátos. ${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Minden teljesen korlátos tér korlátos (mint a véges sok korlátos halmaz egyesülése). Ennek a fordítottja igaz az euklideszi tér részhalmazaira (az altér topológiájával ), de általában nem. Például a diszkrét metrikával ellátott végtelen halmaz korlátos, de nem teljesen korlátos.

Egységes (topológiai) terek

A teljes korlát meghatározásában csak egy metrika jelenik meg annak biztosítására, hogy a véges burkolat minden eleme összehasonlítható méretű legyen, és gyengíthető legyen az egységes szerkezethez . A részhalmaza S egy egységes teret X teljesen korlátos, ha, és csak akkor, ha bármilyen kíséret E , létezik egy véges borítóján S által részhalmazát X mindegyikének amelynek derékszögű négyzet részhalmaza E . (Más szóval, E helyettesíti a "méret" ε -t , és egy részhalmaz E méretű, ha a derékszögű négyzete E részhalmaza .)

A definíció még tovább bővíthető a terek minden olyan kategóriájára, amely a tömörség és a Cauchy befejezés fogalmával rendelkezik : a tér akkor és csak akkor van teljesen korlátos, ha a (Cauchy) befejezése kompakt.

Példák és elemi tulajdonságok

• Minden kompakt készlet teljesen korlátos, a fogalom meghatározásakor.
• Minden teljesen korlátos halmaz határolt.
• A valódi vonal egy részhalmaza , vagy általában véve a véges dimenziós euklideszi tér , akkor és csak akkor teljesen korlátos, ha be van határolva .
• Az egység labda egy Hilbert-tér , vagy általánosabban, egy Banach tér , teljesen korlátos (a norma topológia) akkor és csak akkor, ha a tér véges dimenzióban .
• Az egységes topológiában az egyidejűleg behatárolt függvények kompakt készleten előre tömörítettek ; ez az Arzelà – Ascoli tétel .
• A metrikus tér is elkülöníthető akkor és csak akkor, ha homeomorf egy teljesen korlátos metrikus tér.
• Egy teljesen korlátos részhalmaz bezárása ismét teljesen korlátos.

Összehasonlítás kompakt készletekkel

Metrikus terekben a halmaz akkor és csak akkor kompakt, ha teljes és teljesen határolt; a választott axióma nélkül csak az előremenő irány érvényes. Az előre tömörített halmazok számos tulajdonsággal rendelkeznek a kompakt halmazokkal.

• A kompakt halmazokhoz hasonlóan a teljesen korlátos halmazok véges egyesülése is teljesen korlátos.
• A kompakt halmazokkal ellentétben egy teljesen korlátos halmaz minden részhalmaza ismét teljesen korlátos.
• A kompakt készlet folyamatos képe kompakt. Az előre tömörített halmaz egyenletesen folyamatos képe előtömörítés.

Topológiai csoportokban

Bár a teljes korlátosság fogalma szorosan kötődik a metrikus terekhez, a topológiai csoportok nagyobb algebrai szerkezete lehetővé teszi az egyes elválasztási tulajdonságok cseréjét . Például metrikus terekben a halmaz akkor és csak akkor kompakt, ha teljes és teljesen határolt. Az alábbi definíció szerint ugyanez vonatkozik minden topológiai vektor térre (nem feltétlenül Hausdorff és nem teljes!).

A definíció általános logikai formája a következő : a tér egy részhalmaza akkor és csak akkor van teljesen korlátos, ha bármilyen méretre tekintettel létezik olyan véges burkolat , amelyen belül minden elem legfeljebb akkor van teljesen korlátos, ha és csak akkor teljesen korlátolt, ha önmaga részhalmazának tekintjük. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E,}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle E.}$ ${\ displaystyle X}$

Azt a konvenciót fogadjuk el, hogy az azonosság bármely szomszédságában egy részhalmazot ( balra ) -akkor és csak akkor nevezünk kicsinek, ha egy topológiai csoport egy részhalmaza ( balra ) teljesen határolt, ha megfelel az alábbi egyenértékű feltételek bármelyikének: ${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle (-S)+S \ subseteq U.}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$

1. Definíció : Egy szomszédságában az identitás létezik véges sok olyan, hogy${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ in X}$${\ texttyle S \ subseteq \ bigcup _ {j = 1}^{n} \ left (x_ {j}+U \ right): = \ left (x_ {1}+U \ right)+\ cdots+\ left (x_ {n}+U \ jobb).}$
2. Bármely szomszédságában a létezik véges részhalmaza úgy, hogy (ahol a jobb oldalon van a Minkowski összeg ).${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle F \ subseteq X}$${\ displaystyle S \ subseteq F+U}$ ${\ displaystyle F+U: = \ {f+u: f \ in F, u \ in U \}}$
3. Bármely szomszédságában a létezik véges sok részhalmaza az , hogy , és mindegyik jelentése -kis.${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq B_ {1} \ cup \ cdots \ cup B_ {n}}$${\ displaystyle B_ {j}}$${\ displaystyle U}$
4. Bármely adott szűrő alaplap az identitás elem szomszédságában szűrő (amely minden fajta környéken a ) és minden létezik a fedezete a véges sok -kis részhalmazainak${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}},}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X.}$
5. ${\ displaystyle S}$a Cauchy korlátos : minden szomszédságában az identitás, és minden megszámlálhatóan végtelen részhalmaza az létezik külön olyan, hogy (Ha véges, akkor ez a feltétel teljesül, üresen ).${\ displaystyle U}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle x, y \ in I}$${\ displaystyle xy \ u.}$${\ displaystyle S}$
6. Az alábbi három halmaz bármelyike ​​megfelel (a fenti definíciók bármelyikének) a (balra) teljesen korlátozottnak:
   1. A lezárás az a${\ displaystyle {\ overline {S}} = \ operatornév {cl} _ {X} S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X.}$
      • Ez a halmaz a listában azt jelenti, hogy a következő jellemzés érvényes: (balra) teljesen korlátos, és csak akkor, ha (balra) teljesen korlátos (a fent említett meghatározási feltételek bármelyike ​​szerint). Ugyanez jellemzi a többi alább felsorolt ​​készletet is.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ operatornév {cl} _ {X} S}$
   2. A kép a kanonikus hányados alatt, amelyet az (ahol az identitás elem található) határoz meg .${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X \ to X/{\ overline {\ {0 \}}},}$${\ displaystyle x \ mapsto x+{{overline {\ {0 \}}}}$${\ displaystyle 0}$
   3. Összege ${\ displaystyle S+\ operatornév {cl} _ {X} \ {0 \}.}$

Az előtömörítés kifejezés általában a Hausdorff topológiai vektorterek összefüggésében jelenik meg. Ebben az esetben a következő feltételek is egyenértékűek azzal, hogy teljesen balra vannak (balra): ${\ displaystyle S}$

7. A befejezése az a lezárás a kompakt.${\ displaystyle {\ widehat {X}}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatornév {cl} _ {\ widehat {X}} S}$${\ displaystyle S}$
8. Minden ultrafilter on egy Cauchy szűrő .${\ displaystyle S}$

A teljesen korlátos jog definíciója analóg: egyszerűen cserélje ki a termékek sorrendjét.

A 4. feltétel azt jelenti, hogy bármely részhalmaza teljesen korlátos (valójában tömör; lásd a fenti § Összehasonlítás kompakt halmazokkal ) részt. Ha nem Hausdorff, akkor például egy kompakt teljes készlet, amely nincs lezárva. ${\ displaystyle \ operatornév {cl} _ {X} \ {0 \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {0 \}}$

Topológiai vektor terek

Bármely topológiai vektortér egy abeli topológiai csoport, ami kiegészítés alatt áll, ezért a fenti feltételek érvényesek. Történelmileg az 1. b) definíció volt az első újrafogalmazása a topológiai vektoros terek teljes korlátjának ; John von Neumann 1935 -ös lapjához tartozik.

Ennek a definíciónak az a vonzó tulajdonsága, hogy a gyenge topológiával felruházott, lokálisan domború térben az előtömörített halmazok pontosan a határolt halmazok .

A szétválasztható Banach -terek esetében az előtömörített halmazok (a normál topológiában) jól jellemezhetők a funkcionálisan gyengén konvergens szekvenciák szempontjából: ha elkülöníthető Banach -tér , akkor előösszetétel akkor és csak akkor, ha a funkcionális összes gyengén konvergens sorozata konvergál egységesen tovább${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle S.}$

Interakció a konvexitással

• A topológiai vektortér teljesen korlátozott részhalmazának kiegyensúlyozott burkolata ismét teljesen korlátos.
• A két kompakt (teljesen behatárolt) halmaz Minkowski -összege kompakt (ill. Teljesen korlátos).
• Egy lokálisan domború (Hausdorff) térben a teljesen korlátos halmaz konvex hajóteste és a tárcsázott hajótestét akkor és csak akkor korlátozzák, ha teljes.${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Lásd még

• Kompakt tér
• Helyileg kompakt tér
• A nem tömörség mérése
• Orthocompact tér
• Parakompakt tér
• Viszonylag kompakt alterű

Hivatkozások

Bibliográfia