Semi-Thue rendszer - Semi-Thue system

Az elméleti számítógép-tudomány és a matematikai logika egy húr újraírás rendszer ( SRS ), történelmileg úgynevezett félig Thue rendszer , egy újraírás rendszer felett húrok egy (általában véges ) ábécé . Adott egy bináris reláció a fix húrok alatt az ábécé, az úgynevezett átírási szabályokat , amelyek jelölése , SRS húzódik az újraírás kapcsolatban minden húrok, amelyben a bal és a jobb oldali a szabályok jelennek alkarakterláncok , azaz , ahol , , , és húrok. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle s \ rightarrow t}$${\ displaystyle usv \ rightarrow utv}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

A fél-Thue rendszer fogalma lényegében egybeesik egy monoid bemutatásával . Így ők alkotják a természetes keretet megoldásához szöveges feladat az monoids és csoportok.

Az SRS közvetlenül elvont átírási rendszerként definiálható . Úgy is tekinthetünk, mint a terminus átírási rendszerének korlátozott fajtája . Formalizmusként a karakterlánc-átírási rendszerek befejeződtek Turing-ben . A fél-Thue név Axel Thue norvég matematikustól származik , aki egy 1914-es cikkben vezette be a húrok újraírási rendszereinek szisztematikus kezelését. Thue bevezette ezt a gondolatot, remélve, hogy megoldja a végesen bemutatott félcsoportok szövegfeladatát. Csak 1947-ben bizonyították, hogy a probléma eldönthetetlen - ezt az eredményt függetlenül szerezte meg Emil Post és AA Markov Jr.

Meghatározás

A húr átírása rendszer vagy félig Thue rendszer egy tuple , ahol ${\ displaystyle (\ Sigma, R)}$

• Σ egy ábécé, általában feltételezett véges. A halmaz elemeit (* a Kleene csillag itt) véges (esetleg üres) húrok Σ , néha szó a formális nyelvek ; itt egyszerűen húroknak hívjuk őket.${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}$
• R egy bináris reláció a Σ karakterláncokból , azaz Minden elemet (átírás) szabálynak nevezünk, és általában írjuk .${\ displaystyle R \ subseteq \ Sigma ^ {*} \ times \ Sigma ^ {*}.}$${\ displaystyle (u, v) \ R-ben}$${\ displaystyle u \ rightarrow v}$

Ha a kapcsolat R jelentése szimmetrikus , akkor a rendszert nevezzük Thue rendszer .

Az R-ben szereplő átírási szabályok természetesen kiterjeszthetők más karakterláncokra is azáltal, hogy lehetővé teszik az alsorok R-nek megfelelő átírását . Formálisabban az egylépéses újraírás kapcsolatban kapcsolatban által indukált R on bármely húrok : ${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {}}}$${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle s, t \ in \ Sigma ^ {*}}$

${\ displaystyle s {\ xrightarrow [{R}] {}} t}$akkor és csak akkor létezik olyan, hogy , és .${\ displaystyle x, y, u, v \ in \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle s = xuy}$${\ displaystyle t = xvy}$${\ displaystyle u \ rightarrow v}$

Mivel kapcsolatban van , a pár illeszkedik az absztrakt átírási rendszer definíciójához . Nyilván R az . Egyes szerzők más jelölést használnak a nyílra (pl. ) Annak érdekében, hogy megkülönböztessék magától R-től ( ), mert később el akarják tudni dobni az indexet, és még mindig elkerülik az R és az R által kiváltott egylépéses átírás közötti összetévesztést . ${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {}}}$${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle (\ Sigma ^ {*}, {\ xrightarrow [{R}] {}})}$${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {}}}$${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {}}}$${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {}}}$${\ displaystyle \ rightarrow}$

Nyilvánvaló, hogy egy fél-Thue rendszerben kialakíthatunk egy (véges vagy végtelen) karakterlánc-szekvenciát, amelyet úgy állítunk elő, hogy kiindulási karakterlánccal kezdjük, és többször átírjuk azt úgy, hogy egyszerre egy alfejettesítést cserélünk: ${\ displaystyle s_ {0} \ in \ Sigma ^ {*}}$

${\ displaystyle s_ {0} \ {\ xrightarrow [{R}] {}} \ s_ {1} \ {\ xrightarrow [{R}] {}} \ s_ {2} \ {\ xrightarrow [{R}] {}} \ \ ldots}$

A nulla-vagy-több-lépések újraírás mint ez megkötjük reflexszerű tranzitív lezárása az , jelöljük (lásd absztrakt újraírás rendszer # alapfogalmak ). Ez az úgynevezett újraírás kapcsolatban vagy csökkentése vonatkozásában a által indukált R . ${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {}}}$${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {*}}}$${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}$

Thu kongruencia

Általában a készlet húrok ábécére képez szabad monoid együtt művelet a szövegösszefűzés (jelölés és írásbeli szorzataként bontja a szimbólum). Egy SRS, a csökkentés vonatkozásában összeegyeztethető a monoid művelet, ami azt jelenti, hogy magában foglalja az összes húrok . Mivel definíció szerint előrendelés , monoid előrendelést alkot . ${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {*}}}$${\ displaystyle x {\ xrightarrow [{R}] {*}} y}$${\ displaystyle uxv {\ xrightarrow [{R}] {*}} uyv}$${\ displaystyle x, y, u, v \ in \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {*}}}$${\ displaystyle \ left (\ Sigma ^ {*}, \ cdot, {\ xrightarrow [{R}] {*}} \ right)}$

Hasonlóképpen, a reflexszerű tranzitív szimmetrikus bezárása a , jelöljük (lásd absztrakt újraírás rendszer # Alapfogalmak ), egy kongruencia , ami azt jelenti, egy ekvivalencia reláció (definíció szerint), és ez is kompatibilis szövegösszefűzés. A relációt R által generált Thue kongruenciának nevezzük . Thue rendszerben, azaz ha R szimmetrikus, az átírási reláció egybeesik a Thue kongruenciájával . ${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {}}}$${\ displaystyle {\ overset {*} {\ underset {R} {\ leftrightarrow}}}}$${\ displaystyle {\ overset {*} {\ underset {R} {\ leftrightarrow}}}}$${\ displaystyle {\ xrightarrow [{R}] {*}}}$${\ displaystyle {\ overset {*} {\ underset {R} {\ leftrightarrow}}}}$

Faktor monoid és monoid prezentációk

Mivel ez egy kongruencia, a szabad monoid faktor monoidját meghatározhatjuk a Thue kongruenciával a szokásos módon . Ha egy monoid van izomorf azzal , majd a félig Thue rendszer nevezzük monoid bemutatása az . ${\ displaystyle {\ overset {*} {\ underset {R} {\ leftrightarrow}}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R} = \ Sigma ^ {*} / {\ overset {*} {\ underset {R} {\ leftrightarrow}}}}$ ${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ displaystyle (\ Sigma, R)}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Azonnal nagyon hasznos kapcsolatokat kapunk az algebra más területeivel. Például az { a , b } ábécé az { ab → ε, ba → ε} szabályokkal, ahol ε az üres karakterlánc , a szabad csoport bemutatása egy generátoron. Ha ehelyett a szabályok csak { ab → ε}, akkor a biciklusos monoid bemutatását kapjuk .

A fél-Thue rendszerek jelentőségét a monoidok bemutatásakor a következők erősítik:

Tétel : Minden monoidnak van egy formája , így mindig egy fél-Thue rendszer, esetleg egy végtelen ábécé fölött jelenítheti meg. ${\ displaystyle (\ Sigma, R)}$

Ebben az összefüggésben a készlet az úgynevezett set generátor az , és az úgynevezett sor meghatározó kapcsolatok . A monoidokat megjelenítésük alapján azonnal osztályozhatjuk. nak, nek hívják ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

• végesen generált, ha véges.${\ displaystyle \ Sigma}$
• végesen bemutatott, ha mindkettő és véges.${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle R}$

Szóprobléma fél-Thue rendszereknél

A fél-Thue rendszerek szóproblémája a következőképpen állapítható meg: Adva egy fél-Thue rendszert és két szót (karakterláncot) , átalakítható a -tól származó szabályok alkalmazásával . Ez a probléma eldönthetetlen , vagyis nincs általános algoritmus a probléma megoldására. Ez akkor is érvényes, ha a bemenetet véges rendszerekre korlátozzuk. ${\ displaystyle T: = (\ Sigma, R)}$${\ displaystyle u, v \ in \ Sigma ^ {*}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle R}$

Martin Davis a laikus olvasónak kétoldalas igazolást kínál a "Mi a számítás?" Című cikkében. 258–259. oldal kommentárokkal. 257. Davis így bizonyítja: "Feltalál [egy szöveges problémát], amelynek megoldása megoldást eredményezne a leállási problémára ."

Kapcsolatok más fogalmakkal

A fél-Thue rendszer egyben kifejezés-átírási rendszer is - olyan monadikus szavakkal (függvényekkel), amelyek ugyanabban a változóban végződnek, mint a bal és a jobb oldali oldali kifejezések, például egy kifejezés szabály egyenértékű a karakterlánc szabályával . ${\ displaystyle f_ {2} (f_ {1} (x)) \ rightarrow g (x)}$${\ displaystyle f_ {1} f_ {2} \ rightarrow g}$

A fél-Thue rendszer szintén a Post kanonikus rendszerének speciális típusa , de minden Post kanonikus rendszer SRS-re is redukálható. Mindkét formalizmusok vannak Turing-teljes , és így egyenértékű Noam Chomsky „s korlátlan nyelvtanok , amelyek néha félig Thue nyelvtanok . A formális nyelvtan csak abban különbözik a fél-Thue rendszertől, hogy az ábécét terminálokra és nem terminálokra választja szét , és a kezdő szimbólum rögzül a nem terminálok között. A szerzők kisebbsége valójában egy fél-Thue rendszert határoz meg hármasként , amelyet axiómák halmazának nevezünk . A fél-Thue rendszer ezen "generatív" definíciója szerint a korlátozás nélküli nyelvtan csak egy fél-Thue rendszer, egyetlen axiómával, amelyben az ábécét terminálokra és nem terminálokra osztja, és az axiómát nem terminálissá teszi. Az ábécé terminálokra és nem terminálokra történő felosztásának egyszerű mesterkélése hatalmas; lehetővé teszi a Chomsky-hierarchia meghatározását az alapján, hogy a szabályok milyen terminálok és nem terminálok kombinációját tartalmazzák. Ez döntő fejlemény volt a formális nyelvek elméletében . ${\ displaystyle (\ Sigma, A, R)}$${\ displaystyle A \ subseteq \ Sigma ^ {*}}$

A kvantumszámítás során kifejleszthető a kvantum Thue rendszer fogalma. Mivel a kvantumszámítás önmagában reverzibilis, az ábécé átírási szabályainak kétirányúaknak kell lenniük (vagyis az alapul szolgáló rendszer Thue rendszer, nem pedig fél Thue rendszer). Az ábécé karaktereinek egy részén fel lehet kötni egy Hilbert-teret , és egy átírási szabály, amely egy alszekvenciát visz egy másikra, egységes műveletet hajthat végre a húrokhoz kapcsolt Hilbert-tér tenzor szorzatán; ez azt jelenti, hogy megőrzik a karakterek számát a halmazból . A klasszikus esethez hasonlóan megmutatható, hogy a kvantum Thue rendszer egy univerzális számítási modell a kvantumszámításhoz, abban az értelemben, hogy a végrehajtott kvantumműveletek megfelelnek az egységes áramköri osztályoknak (például a BQP- ben levőknek, amikor pl. Garantáljuk a karakterlánc-átírási szabályok megszüntetését) polinomiálisan sok lépésben a bemeneti méretben), vagy ekvivalensen egy Quantum Turing gépet . ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle Q \ subseteq \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {d}}$${\ displaystyle Q}$

Történelem és fontosság

A fél-thue rendszereket egy program részeként fejlesztették ki, hogy további konstrukciókat vegyenek fel a logikába , hogy olyan rendszereket hozzanak létre, mint például a propozíciós logika , amelyek lehetővé tennék az általános matematikai tételek hivatalos nyelven való kifejezését , majd automatikus bizonyítást és igazolást. , mechanikus divat. Az volt a remény, hogy a tétel bizonyító tényét ezután a karakterláncok halmazán meghatározott manipulációk halmazává lehet csökkenteni. Ezt követően rájöttek, hogy a fél-Thue rendszerek izomorfak a korlátozás nélküli nyelvtanokkal szemben , amelyek viszont ismeretesek a Turing-gépek izomorfjai . Ez a kutatási módszer sikeres volt, és most számítógépekkel lehet ellenőrizni a matematikai és logikai tételek igazolását.

A javaslatot a Alonzo Church , Emil Hozzászólás a papír 1947-ben megjelent első bizonyult „egy bizonyos probléma Thue”, hogy megoldhatatlan, mi Martin Davis kimondja, hogy”... az első unsolvability bizonyítéka a probléma a klasszikus matematika - ebben az esetben a félcsoportok szövegfeladata. "

Davis azt is állítja, hogy a bizonyítást AA Markov függetlenül ajánlotta fel .

Lásd még

• L-rendszer
• MU puzzle

Megjegyzések

Hivatkozások

Monográfiák

• Ronald V. Book és Friedrich Otto, Húr-átírási rendszerek , Springer, 1993, ISBN  0-387-97965-4 .
• Matthias Jantzen, Confluent string rewriting , Birkhäuser, 1988, ISBN  0-387-13715-7 .

Tankönyvek

• Martin Davis , Ron Sigal, Elaine J. Weyuker, Összeszámíthatóság, összetettség és nyelvek: az elméleti számítástechnika alapjai , 2. kiadás, Academic Press, 1994, ISBN  0-12-206382-1 , 7. fejezet
• Elaine Rich, automaták, kiszámíthatóság és komplexitás: elmélet és alkalmazások , Prentice Hall, 2007, ISBN  0-13-228806-0 , 23.5. Fejezet.

Felmérések

• Samson Abramsky, Dov M. Gabbay, Thomas SE Maibaum (szerk.), Logikai kézikönyv a számítástechnikában: szemantikai modellezés , Oxford University Press, 1995, ISBN  0-19-853780-8 .
• Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa (szerk.), A hivatalos nyelvek kézikönyve: szó, nyelv, nyelvtan , Springer, 1997, ISBN  3-540-60420-0 .

Jelentős papírok

• Emil Post (1947) a Thue-probléma rekurzív megoldhatatlansága , The Journal of Symbolic Logic 12: 1–11 az Euclid projekten keresztül .