Nagy örvényszimuláció - Large eddy simulation

A nagy örvényszimuláció ( LES ) a turbulencia matematikai modellje, amelyet a számítási folyadékdinamikában használnak . Eleinte 1963 -ban Joseph Smagorinsky javasolta a légköri légáramok szimulálására, és először Deardorff (1970) fedezte fel. A LES -t jelenleg sokféle mérnöki alkalmazásban alkalmazzák, beleértve az égést , az akusztikát és a légköri határréteg szimulációit.

A turbulens áramlások szimulálása a Navier – Stokes egyenletek számszerű megoldásával megköveteli az idő- és hosszúsági skálák nagyon széles tartományának feloldását, amelyek mind befolyásolják az áramlási mezőt. Ilyen felbontás közvetlen numerikus szimulációval (DNS) érhető el , de a DNS számítási szempontból drága, és költségei tiltják a bonyolult geometriájú vagy áramlási konfigurációjú gyakorlati mérnöki rendszerek, például turbulens fúvókák, szivattyúk, járművek és futóművek szimulálását.

A LES alapgondolata az, hogy a Navier – Stokes egyenletek aluláteresztő szűrésével a legkisebb hosszúságú skálákat figyelmen kívül hagyva csökkentse a számítási költségeket . Egy ilyen aluláteresztő szűrés, amely idő- és térbeli átlagolásnak tekinthető, hatékonyan eltávolítja a kis méretű információkat a numerikus megoldásból. Ez az információ azonban nem lényegtelen, és modellezni kell az áramlási mezőre gyakorolt ​​hatását, ami egy olyan feladat, amely aktív kutatási területe azoknak a problémáknak, amelyekben a kis léptékek fontos szerepet játszhatnak, mint például a falközeli áramlások, a reagáló folyamatok és többfázisú áramlások.

Szűrő definíció és tulajdonságok

A LES szűrő alkalmazható egy térbeli és időbeli mezőre, és végrehajthat egy térbeli szűrési műveletet, egy időbeli szűrési műveletet vagy mindkettőt. A szűrt mező, amelyet sáv jelöl, a következőképpen van definiálva: ${\ displaystyle \ phi ({\ boldsymbol {x}}, t)}$

${\ displaystyle {\ overline {\ phi ({\ boldsymbol {x}}, t)}} = \ displaystyle {\ int _ {-\ infty}^{\ infty}} \ int _ {-\ infty}^{ \ infty} \ phi ({\ boldsymbol {r}}, \ tau) G ({\ boldsymbol {x}}-{\ boldsymbol {r}}, t- \ tau) d \ tau d {\ boldsymbol {r} }}$

hol van a szűrő -konvolúciós kernel. Ezt úgy is fel lehet írni, hogy: ${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ overline {\ phi}} = G \ csillag \ phi.}$

A szűrőmaghoz tartozik egy határérték -skála és egy határidő -skála . Az ennél kisebb mérlegek kiküszöbölhetők . A fenti szűrődefiníció használatával bármely mező felosztható szűrt és alszűrt részre (prímvel jelölve), ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ tau _ {c}}$${\ displaystyle {\ overline {\ phi}}}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ phi = {\ bar {\ phi}}+\ phi ^{\ prime}.}$

Fontos megjegyezni, hogy a nagy örvényszimulációs szűrési művelet nem felel meg a Reynolds operátor tulajdonságainak .

Szűrt irányító egyenletek

A LES szabályozó egyenleteit az áramlási mezőt szabályozó parciális differenciálegyenletek szűrésével kapjuk . Különbségek vannak a tömöríthetetlen és tömöríthető LES szabályozó egyenletek között, amelyek új szűrési művelet meghatározásához vezetnek. ${\ displaystyle \ rho {\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {x}}, t)}$

Összenyomhatatlan áramlás

A tömöríthetetlen áramlás esetén a folytonossági egyenlet és a Navier -Stokes egyenletek szűrése történik, így a szűrt tömöríthetetlen folytonossági egyenlet jön létre,

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}}} {\ részleges x_ {i}}} = 0}$

és a szűrt Navier -Stokes egyenletek,

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}}} {\ részleges}}+{\ frac {\ részleges {{részleges x_ {j}}} \ bal ({\ overline { u_ {i} u_ {j}}} \ right) =-{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges {\ overline {p}}} {\ részleges x_ {i}}}+ \ nu {\ frac {\ rész} {\ részleges x_ {j}}} \ bal ({\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}}} {\ részleges x_ {j}}}+{\ frac {\ részleges {\ bar {u_ {j}}}} {\ részleges x_ {i}}} \ jobb) =-{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges {\ overline { p}}} {\ részleges x_ {i}}}+2 \ nu {\ frac {\ rész} {\ részleges x_ {j}}} {\ sáv {S}} _ {ij},}$

hol van a szűrt nyomásmező és a töréssebesség-tenzor a kiszűrt sebesség segítségével. A nemlineáris szűrt advekciós kifejezés a LES modellezés nehézségeinek fő oka. Szükség van a szűretlen sebességmező ismeretére, ami ismeretlen, ezért modellezni kell. A következő elemzés illusztrálja a nemlinearitás okozta nehézséget, nevezetesen azt, hogy kölcsönhatást okoz a nagy és a kis skála között, megakadályozva a skálák szétválasztását. ${\ displaystyle {\ bar {p}}}$${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {ij}}$${\ displaystyle {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}}$

A szűrt advekciós kifejezés Leonard (1975) nyomán a következőképpen osztható fel:

${\ displaystyle {\ overline {u_ {i} u_ {j}}} = \ tau _ {ij}+{\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}}$

hol van a maradék feszültség tenzor, így a szűrt Navier-Stokes egyenletek válnak ${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}}} {\ részleges}}+{\ frac {\ részleges {\ részleges x_ {j}}} \ bal ({\ overline { u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} \ right) =-{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges {\ overline {p}}} {\ részleges x_ {i}}}+2 \ nu {\ frac {\ részleges {{részleges x_ {j}}} {\ sáv {S}} _ {ij}-{\ frac {\ részleges \ tau _ {ij }} {\ rész x_ {j}}}}$

a reziduális feszültségfeszítővel minden lezárt kifejezést csoportosítva. Leonard ezt a feszültségfeszítőt lebontotta, és fizikai értelmezéseket adott minden egyes kifejezésre. , a Leonard tenzor, a nagy skálák közötti kölcsönhatásokat képviseli , a Reynolds-féle stressz-szerű kifejezés, az alszűrő skálák (SFS) közötti kölcsönhatásokat, a Clark tenzor pedig a nagy és kis skálák közötti kölcsönhatásokat. A le nem zárt kifejezés modellezése az alhálózati skála (SGS) modellek feladata. Ezt kihívássá teszi az a tény, hogy az alhálózati feszültségfeszítőnek figyelembe kell vennie az összes skála közötti kölcsönhatásokat, beleértve a szűretlen skálákat is. ${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij} = L_ {ij}+C_ {ij}+R_ {ij}}$${\ displaystyle L_ {ij} = {\ overline {{\ bar {u}} _ {i} {\ bar {u}} _ {j}}}-{\ bar {u}} _ {i} {\ sáv {u}} _ {j}}$${\ displaystyle R_ {ij} = {\ overline {u_ {i}^{\ prime} u_ {j}^{\ prime}}}}$${\ displaystyle C_ {ij} = {\ overline {{\ bar {u}} _ {i} u_ {j}^{\ prime}}}+{\ overline {{\ bar {u}} _ {j} u_ {i}^{\ prime}}}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$

A passzív skalár , például a keverék frakciója vagy a hőmérséklete szűrt szabályozó egyenlete a következőképpen írható fel ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ overline {\ phi}}} {\ részleges}}+{\ frac {\ részleges {\ részleges x_ {j}}} \ bal ({\ overline {u} } _ {j} {\ overline {\ phi}} \ right) = {\ frac {\ részleges {\ overline {J _ {\ phi}}}} {\ részleges x_ {j}}}+{\ frac {\ részleges q_ {j}} {\ részleges x_ {j}}}}$

ahol a diffúz fluxus és a skalár alszűrő fluxusa . A szűrt diffúziós fluxus zárt, hacsak nem feltételezünk egy bizonyos formát, például gradiens diffúziós modellt . analóg módon van definiálva , ${\ displaystyle J _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle q_ {j}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle {\ overline {J _ {\ phi}}}}$${\ displaystyle J _ {\ phi} = D _ {\ phi} {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x_ {i}}}}$${\ displaystyle q_ {j}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$

${\ displaystyle q_ {j} = {\ bar {\ phi}} {\ overline {u}} _ {j}-{\ overline {\ phi u_ {j}}}}$

és hasonlóképpen feloszthatók a különböző skálák közötti kölcsönhatásokból származó hozzájárulásokra. Ez az alszűrő fluxus egy alszűrő modellt is igényel.

Származtatás

Az Einstein -jelölést használva a Navier – Stokes -egyenletek egy tömöríthetetlen folyadékra derékszögű koordinátákban

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges u_ {i}} {\ részleges x_ {i}}} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges u_ {i}} {\ részleges}}+{\ frac {\ részleges u_ {i} u_ {j}} {\ részleges x_ {j}}} =-{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges p} {\ részleges x_ {i}}}+\ nu {\ frac {\ részleges ^{2} u_ {i}} {\ részleges x_ {j} \ részleges x_ {j}}}.}$

A lendület egyenlet szűrése azt eredményezi

${\ displaystyle {\ overline {\ frac {\ részleges u_ {i}} {\ részleges}}}+{\ overline {\ frac {\ részleges u_ {i} u_ {j}} {\ részleges x_ {j} }}} =-{\ overline {{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges p} {\ részleges x_ {i}}}}}+{\ overline {\ nu {\ frac { \ részleges ^{2} u_ {i}} {\ részleges x_ {j} \ részleges x_ {j}}}}}.}$

Ha feltételezzük, hogy a szűrés és a differenciálás ingázik, akkor

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}}} {\ részleges}}+{\ overline {\ frac {\ részleges u_ {i} u_ {j}} {\ részleges x_ { j}}}} =-{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges {\ sáv {p}}} {\ részleges x_ {i}}}+\ nu {\ frac {\ részleges ^{2} {\ bar {u_ {i}}}} {\ részleges x_ {j} \ részleges x_ {j}}}.}$

Ez az egyenlet modellezi a szűrt változók időbeli változásait . Mivel a szűretlen változók nem ismertek, lehetetlen közvetlenül kiszámítani . A mennyiség azonban ismert. Helyettesítés történik: ${\ displaystyle {\ bar {u_ {i}}}}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle {\ overline {\ frac {\ részleges u_ {i} u_ {j}} {\ részleges x_ {j}}}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}} {\ sáv {u_ {j}}}} {\ részleges x_ {j}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}}} {\ részleges}}+{\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}} {\ sáv {u_ {j }}}} {\ részleges x_ {j}}} =-{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges {\ sáv {p}}} {\ részleges x_ {i}}}+ \ nu {\ frac {\ részleges ^{2} {\ sáv {u_ {i}}}} {\ részleges x_ {j} \ részleges x_ {j}}}-\ bal ({\ overline {\ frac {\ részleges u_ {i} u_ {j}} {\ részleges x_ {j}}}}-{\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}} {\ sáv {u_ {j}}}} {\ részleges x_ {j}}} \ jobb).}$

Hagyja . A kapott egyenlethalmaz a LES egyenlet: ${\ displaystyle \ tau _ {ij} = {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}-{\ bar {u}} _ {i} {\ bar {u}} _ {j}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i}}}} {\ részleges}}+{\ sáv {u_ {j}}} {\ frac {\ részleges {\ sáv {u_ {i }}}} {\ részleges x_ {j}}} =-{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges {\ sáv {p}}} {\ részleges x_ {i}}}+ \ nu {\ frac {\ részleges ^{2} {\ bar {u_ {i}}}} {\ részleges x_ {j} \ részleges x_ {j}}}-{\ frac {\ részleges \ tau _ {ij }} {\ rész x_ {j}}}.}$

Összenyomható irányító egyenletek

Az összenyomható áramlás szabályozó egyenleteihez minden egyenletet, a tömeg megőrzésével kezdve, szűrünk. Ez adja:

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ overline {\ rho}}} {\ részleges}}+{\ frac {\ részleges {\ overline {u_ {i} \ rho}}} {\ részleges x_ {i }}} = 0}$

ami további alszűrő kifejezést eredményez. Kívánatos azonban, hogy ne kelljen modellezni a tömegmegőrzési egyenlet alszűrő-skáláit. Ezért a Favre egy sűrűséggel súlyozott szűrési műveletet javasolt, amelyet Favre szűrésnek neveznek, és amelyet tetszőleges mennyiségre a következőképpen határoztak meg : ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ tilde {\ phi}} = {\ frac {\ overline {\ rho \ phi}} {\ overline {\ rho}}}}$

amely a tömöríthetetlenség határán a szokásos szűrési művelet lesz. Ez lehetővé teszi a tömegegyenlet megőrzését:

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ overline {\ rho}}} {\ részleges}}+{\ frac {\ részleges {\ overline {\ rho}} {\ tilde {u_ {i}}}} {\ rész x_ {i}}} = 0.}$

Ezt a fogalmat ezután ki lehet terjeszteni a Favre-szűrt impulzus-egyenlet írására az összenyomható áramláshoz. Vreman nyomán:

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ overline {\ rho}} {\ tilde {u_ {i}}}} {\ részleges}}+{\ frac {\ részleges {\ overline {\ rho}} { \ tilde {u_ {i}}} {\ tilde {u_ {j}}}} {\ részleges x_ {j}}}+{\ frac {\ részleges {\ overline {p}}} {\ részleges x_ {i }}}-{\ frac {\ részleges {\ tilde {\ sigma}} _ {ij}} {\ részleges x_ {j}}} =-{\ frac {\ részleges {\ overline {\ rho}} \ tau _ {ij}^{r}} {\ részleges x_ {j}}}+{\ frac {\ rész} {\ részleges x_ {j}}} \ bal ({\ overline {\ sigma}} _ {ij} -{\ tilde {\ sigma}} _ {ij} \ jobb)}$

hol van a nyírófeszültség -tenzor, amelyet a newtoni folyadékhoz ad: ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu (T) S_ {ij}-{\ frac {2} {3}} \ mu (T) \ delta _ {ij} S_ {kk}}$

és a kifejezés a szűrő alatti viszkózus hozzájárulást jelenti a viszkozitás Favre-szűrt hőmérséklet alkalmazásával történő értékeléséből . A Favre-szűrt momentummező alrács feszültségfeszítőjét a ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ részleges x_ {j}}} \ bal ({\ overline {\ sigma}} _ {ij}-{\ tilde {\ sigma}} _ {ij} \ jobb) }$${\ displaystyle \ mu (T)}$${\ displaystyle {\ tilde {T}}}$

${\ displaystyle \ tau _ {ij}^{r} = {\ widetilde {u_ {i} \ cdot u_ {j}}}-{\ tilde {u_ {i}}} {\ tilde {u_ {j}} }}$

Hasonlóképpen, a Leonard -bomlás felírható a szűrt hármas termék maradék feszültségfeszítőjére is . A hármas terméket átírható a Favre szűrés üzemeltető , amely egy nem lezárt távú (ismeretét igényli a mezők és , amikor csak a mezőket , és ismert). A fentiekhez hasonló módon fel lehet bontani , ami alszűrő feszültségfeszítőt eredményez . Ez az alszűrő kifejezés háromféle interakció hozzájárulására bontható: a Leondard tenzor , amely a felbontott skálák közötti kölcsönhatásokat képviseli; a Clark tenzor , amely a feloldott és a megoldatlan skálák közötti kölcsönhatásokat képviseli; és a Reynolds -tenzor , amely a megoldatlan skálák közötti kölcsönhatásokat képviseli. ${\ displaystyle {\ overline {\ rho \ phi \ psi}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ rho}} {\ widetilde {\ phi \ psi}}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle {\ tilde {\ phi}}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ psi}}}$${\ displaystyle {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ rho}} \ left ({\ widetilde {\ phi \ psi}}-{\ tilde {\ phi}} {\ tilde {\ psi}} \ right)}$${\ displaystyle L_ {ij}}$${\ displaystyle C_ {ij}}$${\ displaystyle R_ {ij}}$

Szűrt mozgási energia egyenlet

A szűrt tömeg- és lendületegyenletek mellett a kinetikus energia -egyenlet szűrése további betekintést nyújthat. A kinetikus energiamező szűrhető, hogy megkapja a teljes szűrt mozgási energiát:

${\ displaystyle {\ overline {E}} = {\ frac {1} {2}} {\ overline {u_ {i} u_ {i}}}}$

és a teljes szűrt mozgási energia két részre bontható: a szűrt sebességmező mozgási energiájára , ${\ displaystyle E_ {f}}$

${\ displaystyle E_ {f} = {\ frac {1} {2}} {\ overline {u_ {i}}} \, {\ overline {u_ {i}}}}$

és a maradék mozgási energia , ${\ displaystyle k_ {r}}$

${\ displaystyle k_ {r} = {\ frac {1} {2}} {\ overline {u_ {i} u_ {i}}}-{\ frac {1} {2}} {\ overline {u_ {i }}} \, {\ overline {u_ {i}}} = {\ frac {1} {2}} \ tau _ {ii}^{r}}$

olyan, hogy . ${\ displaystyle {\ overline {E}} = E_ {f}+k_ {r}}$

A megőrzési egyenlet a szűrt nyomatékszállítási egyenletet megszorozva kapható : ${\ displaystyle E_ {f}}$${\ displaystyle {\ overline {u_ {i}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges E_ {f}} {\ részleges}}+{\ overline {u_ {j}}} {\ frac {\ részleges E_ {f}} {\ részleges x_ {j}} }+{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges {\ overline {u_ {i}}} {\ bar {p}}} {\ részleges x_ {i}}}+{\ frac {\ részleges {\ overline {u_ {i}}} \ tau _ {ij}^{r}} {\ részleges x_ {j}}}-2 \ nu {\ frac {\ részleges {\ overline {u_ {i }}} {\ bar {S_ {ij}}}} {\ részleges x_ {j}}} =-\ epsilon _ {f}-\ Pi}$

ahol a szűrt sebességmező mozgási energiájának eloszlása ​​viszkózus feszültség hatására, és a mozgási energia szubszűrő skála (SFS) disszipációját jelenti. ${\ displaystyle \ epsilon _ {f} = 2 \ nu {\ bar {S_ {ij}}} {\ bar {S_ {ij}}}}$${\ displaystyle \ Pi =-\ tau _ {ij}^{r} {\ bar {S_ {ij}}}}$

A bal oldali kifejezések szállítást jelentenek, a jobb oldali kifejezések pedig mosogató kifejezések, amelyek eloszlatják a mozgási energiát.

Az SFS disszipációs kifejezés különösen érdekes, mivel az energia átvitelét jelenti a nagy felbontású skálákról a kis megoldatlan skálákra. Átlagosan energiát szállít nagyméretűről kis méretűre. Azonban azonnal pozitív vagy negatív lehet, vagyis forrásszóként is szolgálhat a szűrt sebességmező mozgási energiájára. Az energia átvitelét a fel nem oldott skálákról a feloldott skálákra visszaszórásnak nevezik (és hasonlóképpen az energiaátadást a felbontottról a megoldatlan skálákra előre-szórásnak ). ${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle E_ {f}}$

Numerikus módszerek LES -hez

A nagy örvényszimuláció magában foglalja a diszkrét szűrt szabályozó egyenletek megoldását számítási folyadékdinamika segítségével . A LES felbontja a skálákat a tartomány méretétől a szűrőméretig , és így a nagy hullámszámú turbulens ingadozások jelentős részét fel kell oldani. Ehhez vagy nagyrendű numerikus sémákra van szükség , vagy finom rácsfelbontásra, ha alacsony rendű numerikus sémákat használnak. A Pápa 13. fejezete azzal a kérdéssel foglalkozik, hogy milyen finom rácsfelbontásra van szükség a szűrt sebességmező feloldásához . Ghosal megállapította, hogy az alacsony rendű diszkretizációs sémáknál, például a véges térfogatú módszereknél, a csonkítási hiba ugyanaz lehet, mint az alszűrő skála hozzájárulása, kivéve, ha a szűrő szélessége lényegesen nagyobb, mint a rácsköz . Míg az egyenletes sorrendű rendszerek csonkítási hibát tartalmaznak, nem disszipatívak, és mivel az alszűrő skála modellek disszipatívak, az egyenletes sorrendű sémák nem befolyásolják olyan erősen az alszűrő skála modell hozzájárulásait, mint a disszipatív sémák. ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle {\ overline {u}} ({\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta x}$

Szűrő megvalósítás

A nagy örvényszimuláció szűrési művelete lehet implicit vagy explicit. Az implicit szűrés felismeri, hogy az alszűrő skála modellje ugyanúgy eloszlik, mint sok numerikus séma. Ily módon a rács vagy a numerikus diszkretizációs séma feltételezhető, hogy a LES aluláteresztő szűrő. Míg ez teljes mértékben kihasználja a rácsfelbontás előnyeit, és kiküszöböli az alszűrő skála modell kifejezés kiszámításának számítási költségeit, nehéz meghatározni a LES szűrő alakját, amely egyes számszerű problémákhoz kapcsolódik. Ezenkívül a csonkítási hiba is problémává válhat.

Az explicit szűrés során LES szűrőt alkalmaznak a diszkretizált Navier – Stokes egyenletekre, ezáltal jól definiált szűrőalakot biztosítanak, és csökkentik a csonkítási hibát. Az explicit szűrés azonban finomabb rácsot igényel, mint az implicit szűrés, és a számítási költség együtt nő . A Sagaut (2006) 8. fejezete részletesebben foglalkozik a LES számokkal. ${\ displaystyle (\ Delta x)^{4}}$

Nagy örvényszimulációk határfeltételei

A bemeneti peremfeltételek jelentősen befolyásolják a LES pontosságát, és a LES bevezetési feltételeinek kezelése bonyolult probléma. Elméletileg a LES jó határfeltételének a következő jellemzőket kell tartalmaznia:

(1) pontos információ biztosítása az áramlási jellemzőkről, azaz a sebességről és a turbulenciáról;

(2) a Navier-Stokes-egyenletek és más fizika kielégítése;

(3) könnyen megvalósítható és alkalmazkodik a különböző esetekhez.

Jelenleg a LES bemeneti feltételeinek előállításának módszereit nagyjából két kategóriába sorolják, Tabor és mtsai.

A turbulens bemenetek előállításának első módszere, hogy bizonyos esetekben, például Fourier -technikák, elvi ortogonális bontás (POD) és örvény módszerek szerint szintetizálják őket. A szintézis technikái turbulens mezőt próbálnak létrehozni a megfelelő turbulencia-szerű tulajdonságokkal rendelkező beömlőnyílásokon, és megkönnyítik a turbulencia paramétereinek, például a turbulens kinetikus energia és a turbulens disszipációs sebesség meghatározását. Ezenkívül a véletlen számok használatával létrehozott bemeneti feltételek számítási szempontból olcsók. Azonban van egy súlyos hátránya a módszernek. A szintetizált turbulencia nem elégíti ki a folyadékáramlás Navier-Stokes-egyenletek által szabályozott fizikai szerkezetét.

A második módszer egy különálló és prekurzoros számítást foglal magában egy turbulens adatbázis létrehozásához, amelyet be lehet vezetni a fő számításba a bemeneteknél. Az adatbázis (más néven „könyvtár”) számos módon hozható létre, például ciklikus tartományok, előre elkészített könyvtár és belső leképezés. A turbulens beáramlás prekurzor szimulációkkal történő előállításának módja azonban nagy számítási kapacitást igényel.

A különböző típusú szintetikus és prekurzor számítások alkalmazását vizsgáló kutatók azt találták, hogy minél reálisabb a bemeneti turbulencia, annál pontosabb az LES előrejelzése.

Megoldatlan skálák modellezése

A megoldatlan skálák modellezésének tárgyalásához először a megoldatlan skálákat kell osztályozni. Két csoportba sorolhatók: felbontott alszűrő skálák (SFS) és alrács skálák (SGS).

A felbontott alszűrő skálák a vágási hullámszámnál nagyobb hullámszámú skálákat képviselik , de amelyek hatásait a szűrő csillapítja. A felbontott alszűrő skálák csak akkor léteznek, ha a hullámtérben nem helyi szűrőket használnak (például doboz vagy Gauss- szűrő). Ezeket a feloldott alszűrő skálákat szűrőrekonstrukcióval kell modellezni. ${\ displaystyle k_ {c}}$

Az alhálózati skálák olyan skálák, amelyek kisebbek, mint a határoló szűrő szélessége . Az SGS modell formája a szűrő implementációjától függ. Amint azt a Számok módszerei LES szakaszban említettük, ha implicit LES -t veszünk figyelembe, akkor nem hajtunk végre SGS -modellt, és feltételezzük, hogy a diszkretizálás számszerű hatásai utánozzák a megoldatlan turbulens mozgások fizikáját. ${\ displaystyle \ Delta}$

Alhálózati skála modellek

A turbulencia univerzálisan érvényes leírása nélkül empirikus információkat kell felhasználni az SGS modellek megalkotásakor és alkalmazásakor, kiegészítve olyan alapvető fizikai korlátokkal, mint a galileai invariancia . Az SGS modellek két osztálya létezik; az első osztály a funkcionális modellek , a második osztály a strukturális modellek . Egyes modellek mindkettő kategóriába sorolhatók.

Funkcionális (örvény – viszkozitás) modellek

A funkcionális modellek egyszerűbbek, mint a szerkezeti modellek, és csak az energia eloszlására összpontosítanak, amely fizikailag helyes. Ezek egy mesterséges örvényviszkozitási megközelítésen alapulnak, ahol a turbulencia hatása turbulens viszkozitásba kerül. A megközelítés a kinetikus energia eloszlását alhálózati skálákon a molekuláris diffúzióval analóg módon kezeli. Ebben az esetben a deviátor része a következőképpen van modellezve: ${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$

${\ displaystyle \ tau _ {ij}^{r}-{\ frac {1} {3}} \ tau _ {kk} \ delta _ {ij} =-2 \ nu _ {\ mathrm {t}} { \ bar {S}} _ {ij}}$

hol van a turbulens örvényviszkozitás és a húzási sebesség tenzora. ${\ displaystyle \ nu _ {\ mathrm {t}}}$${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial {\ bar {u}} _ {i}} {\ rész x_ {j}}}+{\ frac {\ részleges {\ sáv {u}} _ {j}} {\ részleges x_ {i}}} \ jobb)}$

A méretelemzés alapján az örvény viszkozitás egységeinek kell lennie . A legtöbb örvényviszkozitású SGS modell az örvényviszkozitást egy jellemző hossz skála és egy jellemző sebesség skála szorzataként modellezi. ${\ displaystyle \ left [\ nu _ {\ mathrm {t}} \ right] = {\ frac {\ mathrm {m^{2}}} {\ mathrm {s}}}}$

Smagorinsky -Lilly modell

Az első SGS modell a Smagorinsky – Lilly SGS modell volt, amelyet Smagorinsky fejlesztett ki és a Deardorff első LES szimulációjában használt. Az örvény viszkozitását a következőképpen modellezi:

${\ displaystyle \ nu _ {\ mathrm {t}} = C \ Delta ^{2} {\ sqrt {2 {\ bar {S}} _ {ij} {\ bar {S}} _ {ij}}} = C \ Delta ^{2} \ bal | {\ sáv {S}} \ jobb |}$

ahol a rács mérete és állandó. ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle C}$

Ez a módszer azt feltételezi, hogy a kis mérleg energiatermelése és eloszlása ​​egyensúlyban van - azaz . ${\ displaystyle \ epsilon = \ Pi}$

A dinamikus modell (Germano et al. És azon túl)

Germano és mtsai. számos tanulmányt azonosított a Smagorinsky -modell segítségével, amelyek mindegyike különböző értékeket talált a Smagorinsky -állandóra a különböző áramlási konfigurációkhoz. Germano et al. egy dinamikus Smagorinsky modellt javasolt, amely két szűrőt használt: egy rácsos LES szűrőt , és egy teszt LES szűrőt, amelyet bármilyen turbulens mezőre jelöltek . A tesztszűrő mérete nagyobb, mint a rácsszűrő, és a turbulenciamező további simítását teszi lehetővé a LES által már kisimított mezők felett. A teszt szűrő alkalmazása a LES egyenletekre (amelyeket a "rács" szűrő Navier-Stokes egyenletekre történő alkalmazásával kapunk) új egyenlethalmazot eredményez, amelyek formailag megegyeznek, de az SGS feszültséget helyettesítik . Germano {\ it et} al. megjegyezte, hogy annak ellenére, hogy sem nem, sem nem lehet pontosan kiszámítani a megoldatlan skálák jelenléte miatt, van egy pontos összefüggés e két tenzor között. Ez az összefüggés, amelyet Germano azonosságként itt ismerünk, kifejezetten értékelhető, mivel csak a szűrt sebességeket és a tesztszűrés működését foglalja magában. A jelentősége az azonosság, hogy ha feltételezzük, hogy turbulencia önhasonló, hogy az SGS stressz a rács és a vizsgálati szint ugyanolyan alakú és , akkor a Germano identitás egy olyan egyenletet, amelyből a Smagorinsky együttható (ami már nem „állandó”) potenciálisan meghatározható. [Az eljárás velejárója az a feltételezés, hogy az együttható skálainvariáns (lásd az áttekintést)]. Ennek érdekében az eredeti megfogalmazásban két további lépést vezettek be. Először is azt feltételezték, hogy bár elvileg változó, az ingadozás elég lassú ahhoz, hogy ki lehessen mozdítani a szűrési műveletből . Másodszor, mivel skalár volt, a Germano -identitást egy második rangú tenzorral kötötték le (a törzsfeszítő sebességét választottuk), hogy azt skaláris egyenletké alakítsuk, amelyből meghatározható. Lilly kevésbé önkényes és ezért kielégítőbb módszert talált a C tenzorezonosságból történő megszerzésére. Megjegyezte, hogy a Germano -identitás megköveteli a tér minden pontján kilenc egyenlet kielégítését (amelyek közül csak öt független) egyetlen mennyiség esetén . A megszerzés problémája ezért túlzottan meghatározott volt. Ezért azt javasolta, hogy a legkisebb négyzet alakú illeszkedés alkalmazásával határozzák meg a maradványok minimalizálásával. Ennek eredménye ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {\ overline {f}}}$${\ displaystyle {\ hat {f}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ tau _ {ij} = {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}-{\ bar {u}} _ {i} {\ bar {u}} _ {j}}$${\ displaystyle T_ {ij} = {\ widehat {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}}-{\ hat {\ bar {u}}} _ {i} {\ hat {\ bar {u }}} _ {j}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$${\ displaystyle T_ {ij}}$${\ displaystyle L_ {ij} = T_ {ij}-{\ hat {\ tau}} _ {ij}.}$${\ displaystyle L_ {ij} = {\ widehat {{\ bar {u}} _ {i} {\ bar {u}} _ {j}}}-{\ widehat {{\ bar {u}} _ { i}}} {\ widehat {{\ bar {u}} _ {j}}}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij}-(\ tau _ {kk}/3) \ delta _ {ij} =-2C \ Delta ^{2} | {\ bar {S}} _ {ij} | {\ sáv {S}} _ {ij}}$${\ displaystyle T_ {ij}-(T_ {kk}/3) \ delta _ {ij} =-2C {\ hat {\ Delta}}^{2} | {\ hat {\ bar {S}}} _ {ij} | {\ kalap {\ bár {S}}} _ {ij}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {\ widehat {C (.)}} = C {\ widehat {(.)}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C = {\ frac {L_ {ij} m_ {ij}} {m_ {kl} m_ {kl}}}.}$

Itt

${\ displaystyle m_ {ij} = \ alpha _ {ij}-{\ widehat {\ beta}} _ {ij}}$

és az egyszerűség kedvéért , kezdeti kísérletek végrehajtására modell LES szimulációk sikertelennek bizonyult. Először is, a számított együttható egyáltalán nem volt "lassan változó", mint feltételezték, és annyira változott, mint bármely más turbulens mező. Másodszor, a számított lehet pozitív és negatív is. Ez utóbbi tény önmagában nem tekinthető hiányosságnak, mivel a szűrt DNS -mezőket használó a priori tesztek kimutatták, hogy a helyi alhálózati disszipációs arány egy turbulens mezőben majdnem ugyanolyan valószínű, mint negatív, mint pozitív, annak ellenére, hogy a folyadék feletti integrál tartomány mindig pozitív, ami az energia nettó eloszlását jelenti a nagy skálákon. A pozitív értékek enyhe túlsúlya az örvényviszkozitás szigorú pozitivitásával szemben a megfigyelt nettó disszipációt eredményezi. Ez az úgynevezett "visszaszórás" az energiától a kis és nagy skálák között valóban megfelel a Smagorinsky -modell negatív C értékeinek. Ennek ellenére kiderült, hogy a Germano-Lilly készítmény nem eredményez stabil számításokat. Ad hoc intézkedést fogadtak el a számláló és a nevező átlagolásával a homogén irányok között (amennyiben ilyen irányok vannak a folyamatban) ${\ displaystyle \ alpha _ {ij} =-2 {\ hat {\ Delta}}^{2} | {\ kalap {\ bar {S}}} | {\ kalap {\ bar {S}}} _ { ij}}$${\ displaystyle \ beta _ {ij} =-2 \ Delta ^{2} | {\ bar {S}} | {\ bar {S}} _ {ij}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle -\ tau _ {ij} {\ bar {S}} _ {ij}}$

${\ displaystyle C = {\ frac {\ left \ langle L_ {ij} m_ {ij} \ right \ rangle} {\ left \ langle m_ {kl} m_ {kl} \ right \ rangle}}.}$

Amikor az átlagoláshoz elegendő nagy statisztikai minta tartozott , a számítás pozitív (vagy legalábbis csak ritkán negatív) volt, akkor stabil számítások lehetségesek. A negatív értékek pusztán nullára állítása ("vágás" eljárás) az átlagolással vagy anélkül is stabil számításokat eredményezett. Meneveau átlagolást javasolt a lagrangiai folyadékpályákon, exponenciálisan romló "memóriával". Ez alkalmazható a homogén irányok nélküli problémákra, és akkor lehet stabil, ha az átlagolás tényleges ideje elég hosszú, de nem olyan hosszú, hogy kiegyenlítse az érdeklődésre számot tartó térbeli inhomogenitásokat. ${\ displaystyle C}$

Lilly módosítása a Germano módszerrel, amelyet a negatív viszkozitású régiók statisztikai átlagolása vagy szintetikus eltávolítása követ, ad hocnak tűnik, még akkor is, ha "működőképes". A legkisebb négyzet alakú minimalizálási eljárás "Dynamic Localization Model" (DLM) néven ismert alternatív megfogalmazását javasolták Ghosal és mtsai. Ebben a megközelítésben először meg kell határozni a mennyiséget

${\ displaystyle E_ {ij} = L_ {ij} -T_ {ij}+{\ hat {\ tau}} _ {ij}}$

a tenzorokkal, és a megfelelő SGS modellel helyettesítik. Ez a tenzor azt az összeget jelzi, amellyel az alrácsmodell nem tartja tiszteletben a Germano identitást minden térbeli helyen. Lilly megközelítésében ezután kihúzzák a kalapkezelőből ${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$${\ displaystyle T_ {ij}}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle {\ widehat {C (.)}} = C {\ widehat {(.)}}}$

így egy algebrai funkciója , amely ezután úgy határozzuk meg megkövetelésével, hogy tekinthető függvényében C van a lehető legkisebb értéket. Mivel azonban az így kapott eredmény ugyanolyan változó, mint bármely más ingadozó mennyiségű turbulencia, az állandóság eredeti feltételezése utólag nem igazolható. A DLM megközelítésben ezt az ellentmondást úgy lehet elkerülni, hogy nem hívjuk meg a C eltávolításának lépését a tesztszűrési műveletből. Ehelyett egy globális hibát határoz meg a teljes folyamattartományban a mennyiség alapján ${\ displaystyle E_ {ij}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle E_ {ij} E_ {ij}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle E [C] = \ int E_ {ij} E_ {ij} dV}$

ahol az integrál a teljes folyadéktérfogatra kiterjed. Ez a globális hiba ekkor a térben változó függvény függvénye (itt az időpillanat, rögzített, és ezért csak paraméterként jelenik meg), amelyet úgy határoznak meg, hogy minimalizálják ezt a funkciót. Ennek a variációs problémának a megoldása az, hogy meg kell felelnie egy második típusú Fredholm integrál egyenletnek ${\ displaystyle E [C (x, y, z, t)]}$${\ displaystyle C (x, y, z, t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C ({\ boldsymbol {x}}) = f ({\ boldsymbol {x}})+\ int K ({\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {y}}) C ({\ boldsymbol {y}}) d {\ boldsymbol {y}}}$

ahol a függvények és a felbontott mezők alapján vannak definiálva, és ezért minden egyes lépésnél ismertek, és az integrált tartományok a teljes folyadéktartományban. Az integrálegyenletet numerikusan egy iterációs eljárással oldják meg, és a konvergencia általában gyorsnak bizonyult, ha előkondicionáló sémával használják. Annak ellenére, hogy ez a variációs megközelítés megszünteti a velejáró következetlenséget Lilly megközelítésében, az integrál -egyenletből kapott eredmény továbbra is a negatív viszkozitáshoz kapcsolódó instabilitást mutatta. Ezt úgy lehet megoldani, ha ragaszkodunk ahhoz, hogy a korlátozásnak megfelelően minimálisra csökkentsük . Ez egy egyenlethez vezet, amely nemlineáris ${\ displaystyle K ({\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {y}})}$${\ displaystyle f ({\ boldsymbol {x}})}$${\ displaystyle L_ {ij}, \ alpha _ {ij}, \ beta _ {ij}}$${\ displaystyle C (x, y, z, t)}$${\ displaystyle E [C]}$${\ displaystyle C (x, y, z, t) \ geq 0}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C ({\ boldsymbol {x}}) = \ left [f ({\ boldsymbol {x}})+\ int K ({\ boldsymbol {x}}, {\ boldsymbol {y}}) C ( {\ boldsymbol {y}}) d {\ boldsymbol {y}} \ right] _ {+}}$

Itt a + utótag a "pozitív részét" jelzi, azaz . Annak ellenére, hogy ez felületesen "kivágásnak" tűnik, ez nem ad hoc séma, hanem a korlátozott variációs probléma jóhiszemű megoldása. Ezt a DLM (+) modellt stabilnak találták, és kiváló eredményeket hozott a kényszerített és bomló izotróp turbulencia, a csatornaáramok és számos más összetettebb geometria esetén. Ha egy folyamatnak homogén irányai vannak (mondjuk az x és z irányokat), akkor bevezethetjük az ansatz -t . A variációs megközelítés ezután azonnal meghozza Lilly eredményét, átlagolva a homogén irányokat, anélkül, hogy szükség lenne az előző eredmény eseti módosítására. ${\ displaystyle x _ {+} = (x+| x |)/2}$${\ displaystyle C = C (y, t)}$

A DLM (+) modell egyik hiányossága az volt, hogy nem írta le a DNS -adatok elemzéséből ismert "visszaszórást". Ennek megoldására két megközelítést dolgoztak ki. Az egyik megközelítésben Carati et al. a fluktuációs-disszipációs tétel által meghatározott amplitúdójú ingadozó erőt analóg módon adunk hozzá Landau ingadozó hidrodinamikai elméletéhez. A második megközelítésben az egyik megjegyzi, hogy a "visszaszórt" energia a felbontott skálákon csak az alrács skálák energia rovására jelenik meg. A DLM egyszerűen módosítható ennek a fizikai ténynek a figyelembevételére, hogy lehetővé tegye a visszaszórást, miközben eleve stabil. Ez a DLM k-egyenletű változata, a DLM (k) a Smagorinsky örvényviszkozitási modellben megfelelő sebességskálával helyettesíti. A meghatározási eljárás megegyezik a "korlátlan" verzióval, azzal a különbséggel, hogy a tenzorok , ahol az al-teszt skála K kinetikus energiája a k almennyiségű kinetikus energiához kapcsolódik (ezt követi a Germano-identitás nyoma). A k meghatározásához most egy szállítási egyenletet használunk ${\ displaystyle \ Delta | {\ bar {S}} |}$${\ displaystyle {\ sqrt {k}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ alpha _ {ij} =-2 {\ hat {\ Delta}} {\ sqrt {K}} {\ kalap {\ bar {S}}} _ {ij}}$${\ displaystyle \ beta _ {ij} =-2 {\ hat {\ Delta}} {\ sqrt {k}} {\ bar {S}} _ {ij}}$${\ displaystyle K = k+L_ {ii}/2}$

${\ displaystyle {\ frac {\ rész k} {\ részleges t}}+u_ {j} {\ frac {\ részleges k} {\ részleges x_ {j}}} =-\ tau _ {ij} {\ bar {S}} _ {ij}-{\ frac {C _ {*}} {\ Delta}} k^{3/2}+{\ frac {\ partial} {\ rész x_ {j}}} \ bal ( D \ Delta {\ sqrt {k}} {\ frac {\ rész k} {\ részleges x_ {j}}} \ jobb)+\ nu {\ frac {\ rész ^{2} k} {\ részleges x_ { j} \ részleges x_ {j}}}}$

ahol a kinematikai viszkozitás és a pozitív együtthatók a mozgási energia disszipációját és diffúzióját jelzik. Ezeket a dinamikus eljárást követve, korlátozott minimalizálással lehet meghatározni, mint a DLM (+) esetében. Ez a megközelítés, bár drágább kivitelezésű, mint a DLM (+), stabilnak bizonyult, és jó egyezést eredményezett a különböző vizsgált folyamatok kísérleti adataival. Ezenkívül matematikailag lehetetlen, hogy a DLM (k) instabil számítást eredményezzen, mivel a nagy skála és az SGS energiák összege nem növekszik. Mindkét módszer, amely magában foglalja a visszaszórást, jól működik. Olyan modelleket hoznak létre, amelyek valamivel kevésbé disszipálóak, és némileg jobb teljesítményt nyújtanak a DLM -hez képest (+). A DLM (k) modell ezenkívül az alrács kinetikus energiáját adja, amely lehet egy érdekes fizikai mennyiség. Ezeket a fejlesztéseket némileg megnövelt költséggel érik el a modell megvalósításában. ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle C _ {*}, D}$

A dinamikus modell eredetileg az 1990-es nyári Program a Center for Research turbulencia (CTR) a Stanford Egyetemen . A "CTR-Tea" szeminárium-sorozat a turbulencia modellezés e fontos mérföldkőjének 30. évfordulóját ünnepelte .

Szerkezeti modellek

Lásd még

• Közvetlen numerikus szimuláció
• Áramlástan
• Galilei invariancia - bizonyos típusú szűrők fontos tulajdonsága
• Reynolds átlagolta Navier – Stokes egyenleteket
• Légörvény

További irodalom

• Heus, T .; van Heerwaarden, CC, Jonker, HJJ; Pier Siebesma, A .; Axelsen, S. « A holland légköri nagy örvényszimuláció (DALES) megfogalmazása és alkalmazásainak áttekintése »  Geoscientific Model Development , 3, 2, 2010-09-30, pàg. 415–444. DOI : 10.5194/gmd-3-415-2010 . ISSN : 1991-9603.

Hivatkozások