Integrálható rendszer - Integrable system

A matematikában az integrálhatóság bizonyos dinamikus rendszerek tulajdonsága . Míg informális értelemben több különböző formai definíció létezik, az integrálható rendszer olyan dinamikus rendszer, amely kellően sok konzervált mennyiséget vagy első integrált tartalmaz , így viselkedése jóval kevesebb szabadságfokú, mint fázistérének dimenziója ; azaz fejlődése a fázistérén belül egy alosztályra korlátozódik.

Három funkciót neveznek gyakran integrálható rendszerek jellemzésére:

• a konzervált mennyiségek maximális halmazának megléte (a teljes integrálhatóság szokásos meghatározó tulajdonsága )
• algebrai invariánsok létezése , amelyek az algebrai geometriában alapulnak (ez a tulajdonság néha algebrai integrálhatóság néven ismert )
• a megoldások kifejezett meghatározása explicit funkcionális formában (nem belső tulajdonság, hanem gyakran megoldhatóság )

Az integrálható rendszereket minőségi jellegükben nagyon különbözőnek tekinthetjük az általánosabb dinamikus rendszerektől, amelyek tipikusabban kaotikus rendszerek . Ez utóbbiaknak általában nincsenek konzervált mennyiségeik, és aszimptotikusan megoldhatatlanok, mivel a kezdeti körülmények között önkényesen kicsi zavarás tetszőlegesen nagy eltérésekhez vezethet pályájukban kellően hosszú idő alatt.

A teljes integrálhatóság tehát a dinamikus rendszerek nemgenerikus tulajdonsága. Mindazonáltal sok fizikában tanulmányozott rendszer teljesen integrálható, különösen Hamilton- értelemben, a kulcspélda a többdimenziós harmonikus oszcillátor. Egy másik szokásos példa a bolygómozgás vagy egy fix középpont (pl. A Nap) vagy kettő körül. Más elemi példák közé tartozik a merev test mozgása a tömegközéppontja körül (az Euler -csúcs ) és egy tengelyirányban szimmetrikus merev test mozgása a szimmetriatengely egy pontja körül (a Lagrange -csúcs ).

A modern elmélet integrálható rendszerek újjáéledt a numerikus felfedezése szolitonok által Martin Kruskal és Norman Zabusky 1965-ben, ami az inverz szórási transzformációs módszert 1967-ben felismerte, hogy vannak teljesen integrálható rendszerek fizika, amelynek végtelen sok szabadságfokok, például a sekély vízhullámok egyes modelljei ( Korteweg – de Vries-egyenlet ), a Kerr-effektus az optikai szálakban, amelyet a nemlineáris Schrödinger-egyenlet ír le , és bizonyos integrálható soktestű rendszerek, például a Toda-rács .

Abban a speciális esetben, Hamilton rendszerei, ha van elég független Poisson ingázás első integrálok az áramlási paramétereket, hogy képes kiszolgálni, mint egy koordináta-rendszerben az invariáns szinten határozza meg (a levelek , a Lagrange-indás ), és ha az áramlások teljes és az energiaszint-készlet kompakt, ez magában foglalja a Liouville-Arnold-tételt ; azaz az akciószög változók megléte . Az általános dinamikus rendszereknek nincsenek ilyen konzervált mennyiségeik; az autonóm Hamilton -rendszerek esetében általában az energia az egyetlen, és az energiaszint -halmazokon az áramlások jellemzően kaotikusak.

Az integrálható rendszerek jellemzésének kulcsfontosságú összetevője a Frobenius -tétel , amely kimondja, hogy egy rendszer Frobenius -integrálható (azaz integrálható eloszlás által generált), ha lokálisan a maximális integrális sokaságok foliációja van . De az integrálhatóság a dinamikus rendszerek értelmében globális tulajdonság, nem pedig lokális, mivel megköveteli, hogy a fóliázás szabályos legyen, a leveleket pedig alosztályokba ágyazva.

Az integrálható rendszerek nem feltétlenül rendelkeznek zárt formában vagy speciális funkciókkal kifejezhető megoldásokkal ; a jelen értelemben az integrálhatóság a rendszer fázistérbeli megoldásainak geometriája vagy topológiája.

Általános dinamikus rendszerek

Az összefüggésben differenciálható dinamikai rendszerek , a fogalom integrálhatóság utal, hogy a létezését invariáns, rendszeres foliations ; azaz olyanokat, amelyek levelei a lehető legkisebb dimenzióba ágyazott részhalmazok , amelyek változatlanok az áramlás alatt . Így az integráltság mértékének változó fogalma van, az invariáns lombozat leveleinek méretétől függően. Ezt a koncepciót finomítják a Hamilton -rendszerek esetében , Liouville értelmében teljes integráltságnak nevezik (lásd alább), erre hivatkoznak leggyakrabban ebben az összefüggésben.

Az integrálhatóság fogalmának kiterjesztése alkalmazható az olyan különálló rendszerekre is, mint a rácsok. Ez a meghatározás adaptálható olyan evolúciós egyenletek leírására, amelyek vagy differenciálegyenlet -rendszerek, vagy véges differenciálegyenletek .

Az integrálható és nem integrálható dinamikus rendszerek közötti megkülönböztetés a szabályos mozgás és a kaotikus mozgás minőségi következményeit vonja maga után, és ezért belső tulajdonság, nem csak az, hogy a rendszer kifejezetten integrálható -e pontos formában.

Hamilton -rendszerek és Liouville integrálhatóság

A Hamilton -rendszerek speciális környezetében a Liouville -i értelemben az integráltság fogalma él bennünket . (Lásd a Liouville – Arnold tételt .) A Liouville integrálhatósága azt jelenti, hogy a fázistér szabályos láncolása létezik invariáns sokaságok által úgy, hogy a fóliás invariánsaihoz tartozó Hamilton -vektormezők az érintő eloszlását átfogják. Egy másik módja annak megállapítására, hogy létezik egy maximális számú Poisson ingázási invariáns (azaz olyan funkciók a fázistérben, amelyek Poisson -zárójele a rendszer Hamilton -rendszerével és egymással eltűnik).

A véges méretei, ha a fázis tér van symplectic (azaz a központ a Poisson algebra az csak állandók), akkor kell még dimenziót , és a maximális számú független Poisson ingázó invariáns (beleértve a Hamilton önmagát) . A lombozat levelei teljesen izotrópok a szimplektikus formához képest, és az ilyen maximális izotróp lombozatot Lagrangiannak nevezik . Minden autonóm Hamilton -rendszernek (azaz azoknak, amelyek esetében a Hamilton- és a Poisson -zárójel nem kifejezetten időfüggő) van legalább egy invariánsa; mégpedig maga a Hamilton -féle, akinek értéke az áramlás mentén az energia. Ha az energiaszint halmazok kompaktak, a lagrangiai lombozat levelei tori, és az ezeken lévő természetes lineáris koordinátákat "szög" változóknak nevezzük. A kanonikus forma ciklusait akcióváltozóknak, a kapott kanonikus koordinátákat pedig cselekvésszög -változóknak nevezzük (lásd alább). ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1}$

Különbséget kell tenni a Liouville -i értelemben vett teljes integrálhatóság és a részleges integrálhatóság között, valamint a szuperintegrálhatóság és a maximális szuperintegráltság fogalma között . Lényegében ezek a megkülönböztetések megfelelnek a lombozat leveleinek méretének. Ha a független Poisson ingázó invariánsok száma kisebb, mint a maximális (de autonóm rendszerek esetén több, mint egy), akkor azt mondjuk, hogy a rendszer részben integrálható. Ha léteznek további funkcionálisan független invariánsok, a Poisson ingázás maximális számán túl, és ennélfogva az invariáns lombozat leveleinek mérete kisebb, mint n, akkor azt mondjuk, hogy a rendszer szuperintegrálható . Ha egydimenziós levelekkel (görbékkel) szabályos lombozat van, ezt maximálisan szuperintegrálhatónak nevezzük.

Akciószög változók

Amikor egy véges dimenziós Hamilton-rendszer teljesen integrálható a Liouville-értelemben, és az energiaszint-halmazok kompaktak, akkor az áramlások teljesek, és a változatlan lombozat levelei tori . A fentiekben említettek szerint léteznek speciális kanonikus koordináta- halmazok a fázistéren , akciószög-változók néven , úgy, hogy az invariáns tori a cselekvési változók együttes szintű halmaza . Ezek tehát a Hamilton -áramlás invariánsainak teljes sorozatát (mozgási állandók) biztosítják, és a szögváltozók a tórusz természetes periodikus koordinátái. Az invariáns tori mozgása ezen kanonikus koordinátákkal kifejezve lineáris a szögváltozókban.

Hamilton – Jacobi megközelítés

A kanonikus transzformációs elméletben létezik a Hamilton – Jacobi módszer , amelyben Hamilton egyenleteire keresnek megoldásokat úgy, hogy először megtalálják a kapcsolódó Hamilton – Jacobi egyenlet teljes megoldását . A klasszikus terminológiában ezt úgy írják le, hogy meghatározzák a transzformációt egy kanonikus koordinátahalmazzá, amely teljesen figyelmen kívül hagyható változókból áll; azaz azok, amelyekben a Hamilton -féle függés nincs a kanonikus "pozíció" koordináták teljes halmazától, és ezért a megfelelő kanonikusan konjugált momentumok mind konzervált mennyiségek. A kompakt energiaszint-halmazok esetében ez az első lépés az akciószög-változók meghatározása felé . A Hamilton – Jacobi típusú parciális differenciálegyenletek általános elméletében nagyon általános esetekben létezik teljes megoldás (azaz olyan megoldás, amely n független integrációs állandótól függ , ahol n a konfigurációs tér dimenziója), de csak helyi értelemben. Ezért a Hamilton – Jacobi egyenlet teljes megoldásának létezése semmiképpen sem a Liouville -i értelemben vett teljes integráltság jellemzése. A legtöbb "kifejezetten integrálható" eset a változók teljes elkülönítését foglalja magában , amelyben az elválasztási állandók a szükséges integrációs állandók teljes készletét biztosítják. Csak akkor tekinthető a rendszer Liouville -i értelemben teljesen integrálhatónak, ha ezeket az állandókat a teljes fázistér beállításán belül újra lehet értelmezni a Poisson ingázási funkciók teljes készletének értékeiként, amelyek a lagrangiai lombozat leveleire korlátozódnak.

Szolitonok és inverz spektrális módszerek

A klasszikus integrálható rendszerek iránti érdeklődés újbóli megjelenése az 1960-as évek végén történt, amikor felfedezték, hogy a szitonok , amelyek erősen stabilak, lokalizált részleges differenciálegyenletek, például a Korteweg-de Vries egyenlet (amely egydimenziós nem disszipatív folyadékdinamikát ír le) sekély medencékben), akkor érthető, ha ezeket az egyenleteket végtelen dimenziós integrálható Hamilton-rendszereknek tekintjük. Tanulmányuk nagyon gyümölcsöző megközelítéshez vezet az ilyen rendszerek "integrálásához", az inverz szórás -transzformációhoz és az általánosabb inverz spektrális módszerekhez (gyakran redukálható Riemann -Hilbert -problémákra ), amelyek a helyi lineáris módszereket, például a Fourier -analízist non -lokális linearizációvá általánosítják. a kapcsolódó integrálegyenletekből.

Ennek a módszernek az az alapötlete, hogy olyan lineáris operátort kell bevezetni, amelyet a fázistérben elfoglalt helyzet határoz meg, és amely a kérdéses rendszer dinamikája alatt úgy alakul, hogy a "spektruma" (megfelelően általánosított értelemben) változatlan az evolúció alatt, vö. Lax páros . Ez bizonyos esetekben elegendő invariánsot vagy "mozgásintegrált" biztosít ahhoz, hogy a rendszer teljesen integrálható legyen. A végtelen számú szabadságfokú rendszerek, például a KdV egyenlet esetében ez nem elegendő a Liouville integrálhatóság tulajdonságainak pontos meghatározásához. Megfelelően meghatározott peremfeltételek esetén azonban a spektrális transzformáció valójában teljesen figyelmen kívül hagyható koordinátákra való transzformációként is értelmezhető, amelyben a konzervált mennyiségek a kétszeresen végtelen kanonikus koordináták halmazának felét alkotják, és az áramlás ezekben linearizálódik. Bizonyos esetekben ezt akár cselekvési szögváltozókká való átalakításnak is tekinthetjük, bár a „pozíció” változók jellemzően csak véges számú valójában szögkoordináták, a többi pedig nem kompakt.

Hirota bilineáris egyenletek és -függvények${\ displaystyle \ tau}$

Az integrálható rendszerek modern elméletében felmerült másik nézőpont Ryogo Hirota úttörő számítási megközelítéséből származik , amely magában foglalja az eredeti nemlineáris dinamikus rendszer lecserélését egy bilineáris állandó együttható -egyenletrendszerre egy segédmennyiségre , amelyet később az úgynevezett -működés . Ezeket most Hirota -egyenleteknek nevezzük . Bár eredetileg csak számítási eszközként jelent meg, anélkül, hogy egyértelmű összefüggést mutatna a fordított szórási megközelítéssel vagy a Hamilton -struktúrával, ez mégis nagyon közvetlen módszert adott, amelyből a megoldások fontos osztályai, például a szolitonok származtathatók. ${\ displaystyle \ tau}$

Ezt követően Mikio Sato és tanítványai ezt szépen értelmezték először a PDE-k integrálható hierarchiái, például a Kadomtsev-Petviashvili hierarchia esetében, de az integrálható hierarchiák sokkal általánosabb osztályai esetében, mint egyfajta univerzális fázist. tér megközelítés, amelyben jellemzően az ingázási dinamikát egyszerűen úgy tekintették, mint amelyet egy (véges vagy végtelen) Grassmann -sokaságon rögzített (véges vagy végtelen) abeli csoportos cselekvés határozott meg. A függvényt a vetítő operátor meghatározójának tekintették a csoportpálya elemeitől a Grassmann -féle valamilyen eredetig , a Hirota -egyenletek pedig a Plucker -kapcsolatokat fejezik ki , és jellemzik a Grassmann -féle Plücker -beágyazást a megfelelően meghatározott ( végtelen) külső tér, fermionikus Fock -térként tekintve . ${\ displaystyle \ tau}$

Kvantumba integrálható rendszerek

Van egy kvantumintegrálható rendszerek fogalma is.

A kvantumbeállításban a fázistér függvényeit egy Hilbert térben öncsatoló operátorokkal kell helyettesíteni, a Poisson ingázási függvények fogalmát pedig ingázó operátorokkal. A természetvédelmi törvények fogalmának a helyi természetvédelmi törvényekre kell specializálódnia . Minden hamiltonnak van egy végtelen számú konzervált mennyisége, amelyet a projektorok adnak az energia saját állapotainak . Ez azonban nem jelent különleges dinamikus szerkezetet.

A kvantumintegrálhatóság magyarázatához hasznos figyelembe venni a szabad részecskék beállítását. Itt minden dinamika egy testtel redukálható. A kvantumrendszert akkor lehet integrálhatónak tekinteni, ha a dinamika kéttesttel redukálható. A Yang – Baxter egyenlet ennek a redukálhatóságnak a következménye, és nyomkövetési azonosságokhoz vezet, amelyek végtelen számú konzervált mennyiséget biztosítanak. Mindezeket az ötleteket beépítették a kvantum -inverz szórási módszerbe, ahol az algebrai Bethe ansatz felhasználható explicit megoldások megszerzésére. Példák a kvantumba integrálható modellekre a Lieb – Liniger modell , a Hubbard modell és a Heisenberg modell számos változata . A kvantumintegrálhatóság néhány más típusa kifejezetten időfüggő kvantumproblémákban ismert, például a hajtott Tavis-Cummings modell.

Pontosan megoldható modellek

A fizikában a teljesen integrálható rendszereket, különösen a végtelen dimenziós környezetben, gyakran pontosan megoldható modelleknek nevezik. Ez elfedi a különbséget a hamiltoni értelemben vett integrálhatóság és az általánosabb dinamikai rendszerek között.

A statisztikai mechanikában is vannak pontosan megoldható modellek, amelyek szorosabban kapcsolódnak a kvantumintegrálható rendszerekhez, mint a klasszikusok. Két, egymással szorosan összefüggő módszer: a modern értelemben vett Bethe ansatz -megközelítés , amely a Yang – Baxter -egyenleteken alapul, és a kvantum -inverz -szórási módszer az inverz spektrális módszerek kvantum analógjait nyújtja. Ezek ugyanolyan fontosak a statisztikai mechanika megoldható modelljeinek tanulmányozásakor.

A "pontos megoldhatóság" pontatlan fogalmát, mint jelentést: "A megoldásokat kifejezetten néhány korábban ismert függvényben is kifejezhetjük", néha használják is, mintha ez maga a rendszer saját tulajdonsága lenne, nem pedig pusztán számítási jellemző. történetesen van néhány "ismert" függvényünk, amelyek alapján a megoldások kifejezhetők. Ennek a fogalomnak nincs belső jelentése, mivel az "ismert" függvények gyakran jelentését pontosan az határozza meg, hogy megfelelnek bizonyos egyenleteknek, és az ilyen "ismert függvények" listája folyamatosan bővül. Bár az "integrálhatóság" ilyen jellemzése nem rendelkezik belső érvényességgel, gyakran magában foglalja azt a fajta rendszerességet, amely az integrálható rendszerekben várható.

Néhány jól ismert klasszikus integrálható rendszer listája

Klasszikus mechanikai rendszerek (véges dimenziós fázistér)

• Harmonikus oszcillátorok a n méretei
• Központi erőmozgás ( a klasszikus központi erő problémáinak pontos megoldásai )
• Két középpontú newtoni gravitációs mozgás
• Geodéziai mozgás ellipszoidokon
• Neumann oszcillátor
• Lagrange, Euler és Kovalevskaya csúcsai
• Integrálható Clebsch és Steklov rendszerek folyadékokban
• Calogero – Moser – Sutherland modell

Integrálható rácsos modellek

• Toda rács
• Ablowitz – Ladik rács
• Volterra rács
• Korteweg – de Vries egyenlet
• Sine – Gordon egyenlet
• Nemlineáris Schrödinger -egyenlet
• AKNS rendszer
• Boussinesq egyenlet (vízhullámok)
• Camassa-Holm egyenlet
• Nemlineáris szigma modellek
• Klasszikus Heisenberg ferromágneses modell (centrifugálási lánc)
• Klasszikus Gaudin centrifugálási rendszer (Garnier rendszer)
• Kaup-Kupershmidt egyenlet
• Krichever-Novikov egyenlet
• Landau – Lifshitz egyenlet (folyamatos centrifugálási mező)
• Benjamin – Ono egyenlet
• Degasperis-Procesi egyenlet
• Dym egyenlet
• Masszív Thirring modell
• Három hullámú egyenlet

Integrálható PDE -k 2 + 1 méretben

• Kadomtsev – Petviashvili egyenlet
• Davey – Stewartson egyenlet
• Ishimori egyenlet
• Novikov-Veselov egyenlet
• A Belinski – Zakharov transzformáció Lax -párt generál az Einstein -mezegyenletekhez ; az általános megoldásokat gravitációs szolitonoknak nevezzük , amelyekre a Schwarzschild -metrika , a Kerr -metrika és néhány gravitációs hullám megoldás is példa.

Lásd még

• Hitchin rendszer

Kapcsolódó területek

• Matematikai fizika
• Soliton
• Fájdalmas transzcendensek
• Statisztikai mechanika
• Integrálható algoritmus

Néhány fontos közreműködő (1965 óta)

Hivatkozások

• Arnold, VI (1997). A klasszikus mechanika matematikai módszerei (2. kiadás). Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Audin, M. (1996). Spinning Tops: Tanfolyam az integrálható rendszerekről . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 51 . Cambridge University Press . ISBN 978-0521779197.
• Babelon, O .; Bernard, D .; Talon, M. (2003). Bevezetés a klasszikus integrálható rendszerekbe . Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511535024 . ISBN 0-521-82267-X.
• Baxter, RJ (1982). Pontosan megoldott modellek a statisztikai mechanikában . Academic Press. ISBN 978-0-12-083180-7.
• Dunajski, M. (2009). Solitons, Instantons és Twistors . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-857063-9.
• Faddeev, LD ; Takhtajan, LA (1987). Hamilton -módszerek a Solitons -elméletben . Addison-Wesley. ISBN 978-0-387-15579-1.
• Fomenko, AT (1995). Szimplektikus geometria. Módszerek és alkalmazások (2. kiadás). Gordon és Breach. ISBN 978-2-88124-901-3.
• Fomenko, AT ; Bolsinov, AV (2003). Integrálható Hamilton -rendszerek: geometria, topológia, osztályozás . Taylor és Francis. ISBN 978-0-415-29805-6.
• Goldstein, H. (1980). Klasszikus mechanika (2. kiadás). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Harnad, J .; Winternitz, P .; Sabidussi, G. , szerk. (2000). Integrálható rendszerek: a klasszikustól a kvantumig . Amerikai Matematikai Társaság . ISBN 0-8218-2093-1.
• Harnad, J .; Balogh, F. (2021). A Tau függvények és alkalmazásuk . Cambridge -i monográfiák a matematikai fizikáról. Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781108610902 . ISBN 9781108492683.
• Hietarinta, J .; Joshi, N .; Nijhoff, F. (2016). Diszkrét rendszerek és integrálhatóság . Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9781107337411 . ISBN 978-1-107-04272-8.
• Korepin, VE ; Bogoliubov, NM; Izergin, AG (1997). Kvantumos fordított szórási módszer és korrelációs függvények . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-58646-7.
• Afrajmovich, V. S .; Arnold, VI ; Il'yashenko, Yu. S .; Shil'nikov, LP dinamikai rendszerek V . Springer. ISBN 3-540-18173-3.
• Mussardo, Giuseppe (2010). Statisztikai mezőelmélet. Bevezetés a statisztikai fizika pontosan megoldott modelljeibe . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-954758-6.
• Sardanashvily, G. (2015). Integrálható Hamilton -rendszerek kézikönyve . URSS. ISBN 978-5-396-00687-4.

További irodalom

• Beilinson, A .; Drinfeld, V. "Hitchin integrálható rendszerének és Hecke saját hullámainak kvantálása" (PDF) .
• Donagi, R .; Markman, E. (1996). "Spektrális borítások, algebrai szempontból teljesen integrálhatók, Hamilton -rendszerek és a kötegek moduljai". Integrálható rendszerek és kvantumcsoportok . Springer. 1–119. doi : 10.1007/BFb0094792 .
• Sonnad, Kiran G .; Cary, John R. (2004). "Egy nemlineáris rács megtalálása javított integrálhatósággal a Lie transzformációs zavarok elméletével". Physical Review E . 69 (5): 056501. Bibcode : 2004PhRvE..69e6501S . doi : 10.1103/PhysRevE.69.056501 .

Külső linkek

• "Integrálható rendszer" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "SIDE - Symmetries and Integrability of Difference Equations" , egy konferencia, amely az integrálható differenciálegyenletek és a kapcsolódó témák tanulmányozására irányul.

Megjegyzések