Hodge szerkezet - Hodge structure

A matematikában a WVD Hodge-ról elnevezett Hodge-struktúra egy algebrai struktúra a lineáris algebra szintjén , hasonló ahhoz, amelyet a Hodge-elmélet ad egy sima és kompakt Kähler-sokaság kohomológiai csoportjainak . A Hodge-struktúrákat minden komplex változatra (még akkor is, ha egyesek és nem teljesek ) általánosítottuk vegyes Hodge-struktúrák formájában , amelyeket Pierre Deligne (1970) határoz meg . A Hodge-szerkezet egy változata egy Hodge-struktúrák családja, amelyet egy sokaság jellemez, amelyet először Phillip Griffiths (1968) tanulmányozott. Ezeket a fogalmakat Morihiko Saito (1989) komplex fajták helyett vegyes Hodge modulokként általánosította .

Hodge szerkezetek

A Hodge szerkezetek meghatározása

Egy tiszta Hodge szerkezete egész tömegére n áll egy Abel-csoport , és egy bomlási annak komplexitás H egy közvetlen összege komplex altér , ahol , a tulajdonság, hogy a komplex konjugáltját van : ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle H ^ {p, q}}$${\ displaystyle p + q = n}$${\ displaystyle H ^ {p, q}}$${\ displaystyle H ^ {q, p}}$

${\ displaystyle H: = H _ {\ mathbb {Z}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {C} = \ bigoplus \ nolimits _ {p + q = n} H ^ {p, q}, }$

${\ displaystyle {\ overline {H ^ {p, q}}} = H ^ {q, p}.}$

Egy ennek megfelelő meghatározást úgy kapjuk meg, a közvetlen összege bomlása H a Hodge szűréssel , egy véges csökkenő szűréssel a H által komplex altér az a feltétele ${\ displaystyle F ^ {p} H (p \ in \ mathbb {Z}),}$

${\ displaystyle \ forall p, q \: \ p + q = n + 1, \ qquad F ^ {p} H \ cap {\ overline {F ^ {q} H}} = 0 \ quad {\ text {és }} \ quad F ^ {p} H \ oplus {\ overline {F ^ {q} H}} = H.}$

E két leírás közötti kapcsolatot a következőképpen adjuk meg:

${\ displaystyle H ^ {p, q} = F ^ {p} H \ cap {\ overline {F ^ {q} H}},}$

${\ displaystyle F ^ {p} H = \ bigoplus \ nolimits _ {i \ geq p} H ^ {i, ni}.}$

Például, ha X egy kompakt Kähler sokrétű , az n -edik cohomology csoportja az X egész együtthatós, akkor az annak n -edik cohomology csoportot komplex együtthatók és Hodge elmélet biztosítja a bomlását H egy közvetlen összege a fenti, úgy, hogy ezek az adatok tiszta n súlyú Hodge-struktúrát határoznak meg . Másrészt a Hodge – de Rham spektrális szekvencia biztosítja a csökkenő szűrést a második meghatározás szerint. ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {Z}} = H ^ {n} (X, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H = H ^ {n} (X, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle H ^ {n}}$${\ displaystyle F ^ {p} H}$

Az olyan alkalmazások algebrai geometria, nevezetesen besorolása komplex projektív fajták által időszakok , a készlet minden Hodge szerkezetének súlya n a túl nagy. A Riemann-féle bilináris relációkat felhasználva , ebben az esetben Hodge Riemann-féle bilinear relációknak hívják , lényegesen leegyszerűsíthető. Az n súlyú polarizált Hodge-szerkezet egy Hodge-struktúrából és egy nem degenerált, Q on lineáris lineáris formából áll ( polarizáció ), amelyet a linearitás H-ra terjeszt ki , és megfelel a feltételeknek: ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle (H _ {\ mathbb {Z}}, H ^ {p, q})}$ ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {Z}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} Q (\ varphi, \ psi) & = (- 1) ^ {n} Q (\ psi, \ varphi); \\ Q (\ varphi, \ psi) & = 0 && { \ text {for}} \ varphi \ -ban H ^ {p, q}, \ psi \ H ^ {p ', q'}, p \ neq q '; \\ i ^ {pq} Q \ balra (\ varphi, {\ bar {\ varphi}} \ right) &> 0 && {\ text {for}} \ varphi \ in H ^ {p, q}, \ \ varphi \ neq 0. \ end {aligned}}}$

A Hodge-szűrés szempontjából ezek a feltételek azt sugallják

${\ displaystyle {\ begin {aligned} Q \ bal (F ^ {p}, F ^ {n-p + 1} \ jobb) & = 0, \\ Q \ bal (C \ varphi, {\ bar {\ varphi}} \ right) &> 0 && {\ text {for}} \ varphi \ neq 0, \ end {aligned}}}$

ahol C jelentése a Weil operátor a H , adott on . ${\ displaystyle C = i ^ {pq}}$${\ displaystyle H ^ {p, q}}$

A Hodge-szerkezet egy másik meghatározása egy komplex vektortér-osztályozásának és az U körcsoport (1) akciójának ekvivalenciáján alapul . Ebben a meghatározásban a komplex számok multiplikatív csoportjának kétdimenziós valós algebrai tórusként tekintett művelete adódik a H-ra . Ez a művelet kell, hogy az ingatlan valós szám egy fejti ki a ⁿ . Az altér az az altér, amelyen szorzásként működik ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle H ^ {p, q}}$${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ displaystyle z ^ {p} {\ overline {z}} ^ {q}.}$

A -Hodge szerkezet

A motívumok elméletében fontossá válik az általánosabb együtthatók engedélyezése a kohomológiára. A meghatározás a Hodge szerkezet módosított rögzítésével Noetherian subring A mező a valós számok , amelyekre a területen. Ezután a tiszta Hodge A szerkezetéből tömeg n jelentése az előbb megadott, cseréje a A . Vannak természetes funktorok bázis változás és korlátozás tárgyát Hodge A -structures és B -structures számára egy olyan subring a B . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Vegyes Hodge szerkezetek

Jean-Pierre Serre az 1960-as években vette észre a Weil-sejtések alapján, hogy még egyes (esetleg redukálható) és nem teljes algebrai fajtáknak is be kell ismerniük a „virtuális Betti-számokat”. Pontosabban, képesnek kell lennie bármely algebrai X változatra hozzárendelni egy P _X ( t ) polinomot , amelyet virtuális Poincaré-polinomnak nevezünk , a tulajdonságokkal

• Ha X nem egyedülálló és projektív (vagy teljes)
  $${\ displaystyle P_ {X} (t) = \ összeg \ kezelőnév {rang} (H ^ {n} (X)) t ^ {n}}$$

  
• Ha Y zárt X algebrai részhalmaza és U = X  \  Y
  $${\ displaystyle P_ {X} (t) = P_ {Y} (t) + P_ {U} (t)}$$

  

Az ilyen polinomok megléte a Hodge-struktúra analógjának létezéséből következne egy általános (egyes és nem teljes) algebrai változat kohomológiáiban. A regény jellemzője, hogy egy általános változat n . Kohomológiája úgy néz ki, mintha különböző súlyú darabokat tartalmazna. Ez vezette Alexander Grothendiecket a motívumok sejtéselméletéhez , és motiválta a Hodge-elmélet kiterjesztésének keresését, amely Pierre Deligne munkájával tetőzött . Ő vezette be a fogalmat vegyes Hodge szerkezet, kidolgozta velük dolgozni, így az építési (az Heisuke Hironaka „s felbontása szingularitás ) és a kapcsolódó őket a súlyok l-adikus cohomology , bizonyítva az utolsó része a Weil sejtések .

Példa görbékre

A definíció motiválásához vegyük figyelembe egy redukálható komplex algebrai X görbe esetét, amely két nem szinguláris komponensből áll, és amelyek keresztirányban keresztezik a pontokat és . Tegyük fel továbbá, hogy az alkatrészek nem tömörek, de a pontok összeadásával összenyomhatók . Az X görbe első kohomológiai csoportja (kompakt alátámasztással) kettős az első homológ csoporttal, amelyet könnyebb vizualizálni. Ebben a csoportban háromféle egyciklusú csoport létezik. Először is vannak olyan elemek, amelyek kis hurokokat képviselnek a szúrások körül . Aztán vannak olyan elemek , amelyek az egyes komponensek kompaktifikálásának első homológiájából származnak . Az egy ciklus ( ) -ben , amely megfelel ennek a komponensnek a kompaktifikációjában, nem kanonikus: ezeket az elemeket modulo-ban határozzák meg . Végül modulo az első két típus, a csoport által generált kombinatorikus ciklus , amely megy a pálya mentén az egyik komponens , és jön vissza egy útvonal mentén a másik komponens . Ez arra enged következtetni, hogy növekvő szűrést tesz lehetővé ${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle Q_ {1}}$${\ displaystyle Q_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}, \ pontok, P_ {n}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle P_ {i}}$${\ displaystyle \ beta _ {j}}$${\ displaystyle X_ {k} \ X halmaz$${\ displaystyle k = 1,2}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ pontok, \ alpha _ {n}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle Q_ {1}}$${\ displaystyle Q_ {2}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle H_ {1} (X)}$

${\ displaystyle 0 \ W_halmaz W_ {0} \ W_halmaz W_ {1} \ W__halmaz W_ {2} = H ^ {1} (X),}$

amelynek egymást követő hányadai W _n / W _{n −1} a sima teljes fajták kohomológiájából származnak, ezért elismerik (tiszta) Hodge struktúrákat, bár különböző súlyúak. További példák találhatók a "Naiv útmutató a vegyes Hodge-elmélethez" c.

A vegyes Hodge-szerkezet meghatározása

Egy vegyes Hodge-szerkezet egy abeli csoporton egy véges csökkenő F ^p szűrésből áll a H komplex vektortérben (a komplexképződés ), az úgynevezett Hodge-szűrésből, és egy végesen növekvő W _i szűrésből a racionális vektortérben (amelyet a skalárok meghosszabbításával kapunk) racionális számokhoz), amelyet tömegszűrésnek nevezünk , azzal a feltétellel, hogy az n- edik társított súlyozott hányados a tömegszűréshez viszonyítva, az F által annak komplexképződésével indukált szűréssel együtt az n tömeg tiszta Hodge-szerkezete , az n egész számra . Itt az indukált szűrés tovább ${\ displaystyle H _ {\ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle H _ {\ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle H _ {\ mathbb {Q}} = H _ {\ mathbb {Z}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle H _ {\ mathbb {Q}}}$

${\ displaystyle \ kezelőnév {gr} _ {n} ^ {W} H = W_ {n} \ otimes \ mathbb {C} / W_ {n-1} \ otimes \ mathbb {C}}$

által meghatározott

${\ displaystyle F ^ {p} \ kezelőnév {gr} _ {n} ^ {W} H = \ bal (F ^ {p} \ cap W_ {n} \ otimes \ mathbb {C} + W_ {n-1 } \ otimes \ mathbb {C} \ right) / W_ {n-1} \ otimes \ mathbb {C}.}$

Meghatározhatjuk a vegyes Hodge-struktúrák morfizmusának fogalmát, amelynek kompatibilisnek kell lennie az F és W szűréssel, és be kell bizonyítania a következőket:

Tétel. A vegyes Hodge szerkezetek abeli kategóriát alkotnak . Az ebbe a kategóriába tartozó magok és kokszok egybeesnek a vektorterek kategóriájában szokásos magokkal és kokszokkal, az indukált szűrésekkel.

A kompakt Kähler-elosztó teljes kohomológiája vegyes Hodge szerkezettel rendelkezik, ahol a tömegszűrés n- edik tere W _n a kohomológiai csoportok közvetlen összege (racionális együtthatókkal), kisebb vagy egyenlő, mint n . Ezért, az egyik lehet gondolni a klasszikus Hodge elmélet a kompakt, komplex esetén a biztosító kettős osztályozási a komplex cohomology csoport, amely meghatározza növekvő fitration F ^p és csökkenő szűrési W _n , amely kompatibilis bizonyos módon. Általánosságban elmondható, hogy a teljes kohomológiai térben még mindig van ez a két szűrés, de ezek már nem közvetlen összegbontásból származnak. A tiszta Hodge-struktúra harmadik meghatározásával kapcsolatban elmondható, hogy a vegyes Hodge-struktúra nem írható le a csoport tevékenységével . Deligne fontos betekintése, hogy a vegyes esetben van egy bonyolultabb, nem kommutatív proalgebrai csoport, amely képes ugyanarra a hatásra lehet használni a tannaki formalizmust . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}.}$

Ezenkívül a (vegyes) Hodge-struktúrák kategóriája elfogadja a tenzortermék jó fogalmát, amely megfelel a fajták szorzatának, valamint a belső Hom és a kettős tárgy kapcsolódó fogalmait , így tannakiai kategóriába kerül . By Tannaka-Kerin filozófia , ebben a kategóriában egyenértékű a kategóriába véges dimenziós ábrázolása egy bizonyos csoport, amely Deligne, Milne és munkatársai el. kifejezetten leírta, lásd Deligne (1982) és Deligne (1994) . Ennek a csoportnak a leírását geometrikusabban fogalmazta meg Kapranov (2012) . A racionális tiszta polarizálható Hodge-struktúrák megfelelő (sokkal inkább érintett) elemzését Patrikis (2016) végezte el . harvtxt hiba: nincs cél: CITEREFDeligne1982 ( help )

Vegyes Hodge-szerkezet a kohomológiában (Deligne-tétel)

Deligne bebizonyította, hogy egy tetszőleges algebrai változat n . Kohomológiai csoportjának kanonikus vegyes Hodge szerkezete van. Ez a szerkezet funkcionális és kompatibilis a fajták termékeivel ( Künneth izomorfizmus ) és a kohomológia termékével. Egy teljes nem szinguláris X változat esetében ez a szerkezet tiszta, n tömegű , és a Hodge-szűrés a csonka de Rham-komplex hiperkohomológiájával határozható meg .

A bizonyítás nagyjából két részből áll, ügyelve a tömörítésre és a szingularitásokra. Mindkét rész lényeges módon használja a szingularitások (Hironaka miatt) feloldását. Egyetlen esetben a fajtákat egyszerűsítő sémák váltják fel, amelyek bonyolultabb homológiai algebra vezetnek, és a komplexek Hodge-struktúrájának technikai fogalmát alkalmazzák (szemben a kohomológiával).

A motívumok elméletének segítségével finomítani lehet a kohomológián a súlyszűrést racionális együtthatókkal integrált együtthatókkal.

Példák

• A Tate – Hodge struktúra a Hodge-struktúra, amelynek mögöttes moduljával a (egy alcsoportja ) adott, tehát Tehát definíció szerint tiszta a -2-es súlytól, és ez az egyedi 1-dimenziós tiszta Hodge-szerkezet, amelynek súlya −2 az izomorfizmusokig. Általánosságban elmondható, hogy n- edik tenzorteljesítményét 1-dimenziósnak és tiszta -2 n súlyúnak nevezzük . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} (1)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 2 \ pi i \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} (1) \ otimes \ mathbb {C} = H ^ {- 1, -1}.}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} (n);}$
• A teljes Kähler-sokaság kohomológiája egy Hodge-struktúra, és az n- edik kohomológiai csoportból álló altér tiszta n súlyú .
• Egy komplex változat (esetleg szinguláris vagy hiányos) kohomológiája vegyes Hodge-szerkezet. Ezt a sima fajták esetében Deligne (1971) , Deligne (1971a) és általában Deligne (1974) mutatta be .
• Normál kereszteződésű szingularitásokkal rendelkező vetítőváltozat esetén van egy olyan degenerált E _2- oldallal rendelkező spektrális szekvencia, amely kiszámítja az összes vegyes hodge-szerkezetet. Az E _{1 oldal} kifejezett kifejezéseket tartalmaz, amelyek különbsége egy egyszerű halmazból származik. ${\ displaystyle X}$
• Bármelyik sima affin fajta egyenletes kompakciót eredményez (amely projektív lezárása és szingularitások felbontásának megállapítása mellett áll fenn) normál keresztező osztóval. A megfelelő logaritmikus formák felhasználhatók a kevert hodge-szerkezet kifejezett tömegszűrésének megtalálásához.
• A fokozat sima projektív hiperfelületének Hodge-struktúráját Griffiths kifejezetten kidolgozta "Algebrai elosztók periodikus integráljai" című cikkében. Ha a hipinfelületet meghatározó polinom, akkor a fokozatozott jakobiai hányados gyűrű${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle f \ in \ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n + 1}]}$${\ displaystyle X}$
  $${\ displaystyle R (f) = {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n + 1}]} {\ balra ({\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {0}}}, \ ldots, {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {n + 1}}} \ jobbra)}}}$$

  
  középső kohomológiájának összes információját tartalmazza . Ezt megmutatja ${\ displaystyle X}$
  $${\ displaystyle H ^ {p, np} (X) _ {\ text {prim}} \ cong R (f) _ {(n + 1-p) dn-2}}$$

  
  Például vegyük figyelembe a K3 felületet , ezért és . Ezután a osztályozott jakobiai gyűrű ${\ displaystyle g = x_ {0} ^ {4} + \ cdots + x_ {3} ^ {4}}$${\ displaystyle d = 4}$${\ displaystyle n = 2}$
  $${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]} {(x_ {0} ^ {3}, x_ {1} ^ {3}, x_ {2} ^ {3}, x_ {3} ^ {3})}}}$$

  
  Ezután a primitív kohomológiai csoportok izomorfizmusa olvasható
  $${\ displaystyle H ^ {p, np} (X) _ {prim} \ cong R (f) _ {(2 + 1-p) 4-2-2} = R (f) _ {4 (3-p ) -4}}$$

  
  ennélfogva
  $${\ displaystyle {\ begin {aligned} H ^ {0,2} (X) _ {\ text {prim}} & \ cong R (g) _ {8} = \ mathbb {C} \ cdot x_ {0} ^ {2} x_ {1} ^ {2} x_ {2} ^ {2} x_ {3} ^ {2} \\ H ^ {1,1} (X) _ {\ text {prim}} és \ kong R (g) _ {4} \\ H ^ {2,0} (X) _ {\ text {prim}} és \ cong R (g) _ {0} = \ mathbb {C} \ cdot 1 \ vége {igazítva}}}$$

  
  Figyeljük meg, hogy ez a vektorterület által lefedett ${\ displaystyle R (g) _ {4}}$
  $${\ displaystyle {\ begin {array} {rrrrrrrr} x_ {0} ^ {2} x_ {1} ^ {2}, & x_ {0} ^ {2} x_ {1} x_ {2} és x_ {0} ^ {2} x_ {1} x_ {3} és x_ {0} ^ {2} x_ {2} ^ {2}, és x_ {0} ^ {2} x_ {2} x_ {3}, és x_ {0 } ^ {2} x_ {3} ^ {2}, és x_ {0} x_ {1} ^ {2} x_ {2}, és x_ {0} x_ {1} ^ {2} x_ {3}, \\ x_ {0} x_ {1} x_ {2} ^ {2}, és x_ {0} x_ {1} x_ {2} x_ {3}, és x_ {0} x_ {1} x_ {3} ^ {2} , & x_ {0} x_ {2} ^ {2} x_ {3}, & x_ {0} x_ {2} x_ {3} ^ {2}, és x_ {1} ^ {2} x_ {2} ^ {2 }, & x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3}, & x_ {1} ^ {2} x_ {3} ^ {2}, \\ x_ {1} x_ {2} ^ {2} x_ {3}, és x_ {1} x_ {2} x_ {3} ^ {2}, és x_ {2} ^ {2} x_ {3} ^ {2} \ end {tömb}}}$$

  
  ami 19 dimenziós. Van egy extra vektor a Lefschetz osztályban . A Lefschetz hipers'ık tétel és Hodge kettősség, a többi cohomology van mint dimenziós. Ezért a hodge gyémánt olvasható ${\ displaystyle H ^ {1,1} (X)}$${\ displaystyle [L]}$${\ displaystyle H ^ {k, k} (X)}$${\ displaystyle 1}$

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

• A korábbi izomorfizmust is felhasználhatjuk egy fokos síkgörbe nemzetségének igazolására . Mivel ez egy sima görbe, és az Ehresmann-fibrációs tétel garantálja, hogy a nemzetség minden más sima görbéje diffeomorf, ezért a nemzetség ugyanaz. Tehát a primitív kohomológia izomorfizmusát a jakobiai gyűrű osztályozott részével felhasználva azt látjuk, hogy ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle x ^ {d} + y ^ {d} + z ^ {d}}$${\ displaystyle g}$
  $${\ displaystyle H ^ {1,0} \ cong R (f) _ {d-3} \ cong \ mathbb {C} [x, y, z] _ {d-3}}$$

  
  Ez azt jelenti, hogy a dimenzió az
  $${\ displaystyle {2 + d-3 \ select 2} = {d-1 \ select 2} = {\ frac {(d-1) (d-2)} {2}}}$$

  
  a kívántaknak megfelelően.
• A teljes kereszteződés Hodge-számai szintén könnyen kiszámíthatók: van egy kombinatorikus képlet, amelyet Friedrich Hirzebruch talált .

Alkalmazások

A Hodge-struktúra és a vegyes Hodge-struktúra fogalmain alapuló gépezet az Alexander Grothendieck által tervezett motívumok még mindig nagyrészt sejtéselméletének része . A nem szinguláris X algebrai változat aritmetikai információi , amelyeket az l-adikus kohomológiájára ható Frobenius elemek sajátértéke kódol , van valami közös a komplex algebrai változatnak tekintett X- ből fakadó Hodge-szerkezettel . Szergej Gelfand és Jurij Manin 1988 körül a homológiai algebra módszereiben megjegyezte , hogy a más kohomológiai csoportokra ható Galois-szimmetriákkal ellentétben a "Hodge-szimmetriák" eredete nagyon titokzatos, bár formailag mégis a meglehetősen bonyolult csoport tevékenysége révén fejeződik ki. a de Rham-kohomológiáról. Azóta a rejtély elmélyült a tükörszimmetria felfedezésével és matematikai megfogalmazásával .${\ displaystyle R _ {\ mathbf {C / R}} {\ mathbf {C}} ^ {*}}$

A Hodge szerkezetének variációja

A Hodge-szerkezet variációja ( Griffiths (1968) , Griffiths (1968a) , Griffiths (1970) ) a Hodge-struktúrák családja, amelyet egy összetett X sokaság jellemez . Pontosabban egy variációja Hodge szerkezetének tömege n egy bonyolult sokaság X áll egy helyileg állandó köteg S a véges generált Abel-csoportok a X , együtt csökkenő Hodge szűréssel F on S ⊗ O _X , az alábbi két feltétel:

• A szűrés n súlyú Hodge szerkezetet indukál az S köteg minden szárán
• ( Griffiths transzverzalitási ) A természetes kapcsolatot S ⊗ O _X térképek figyelembe ${\ displaystyle F ^ {n}}$${\ displaystyle F ^ {n-1} \ otimes \ Omega _ {X} ^ {1}.}$

Itt a természetes (lapos) csatlakozást S ⊗ O _X indukálnak a lapos kapcsolatot S és a lapos csatlakozó d a O _X , és O _X jelentése a kéve Holomorf funkciók X , és a köteg 1-formák X . Ez a természetes lapos kapcsolat Gauss – Manin kapcsolat ∇, és a Picard – Fuchs egyenlettel írható le . ${\ displaystyle \ Omega _ {X} ^ {1}}$

A variációs vegyes Hodge szerkezet lehet meghatározni hasonló módon, hozzáadásával egy osztályozási vagy szűréssel W a S . Tipikus példák találhatók algebrai morfizmusokból . Például, ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} f: \ mathbb {C} ^ {2} \ to \ mathbb {C} \\ f (x, y) = y ^ {6} -x ^ {6} \ end { esetek}}}$

rostjai vannak

${\ displaystyle X_ {t} = f ^ {- 1} (\ {t \}) ​​= \ bal \ {(x, y) \ in \ mathbb {C} ^ {2}: y ^ {6} -x ^ {6} = t \ jobb \}}$

amelyek a 10. nemzetség sima síkbeli görbéi a szinguláris görbévé degenerálódnak, majd a kohomológia ${\ displaystyle t \ neq 0}$${\ displaystyle t = 0.}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} f _ {*} ^ {i} \ bal ({\ aláhúzás {\ mathbb {Q}}} _ {\ mathbb {C} ^ {2}} \ jobb)}$

adjon variációkat a vegyes hodge szerkezetekről.

Hodge modulok

A Hodge modulok a Hodge struktúrák variációinak általánosítása egy komplex elosztón. Informálisan úgy gondolhatunk rájuk, mint valami Hodge-szerkezetek kötegére egy sokaságon; a pontos definíció, Saito (1989) meglehetősen technikai és bonyolult. Vannak általánosítások a vegyes Hodge modulokra és a szingularitásokkal rendelkező sokaságokra.

Minden sima komplex változat esetében van egy abeli kategóriája a vegyes Hodge moduloknak. Ezek formálisan úgy viselkednek, mint az osztócsövek fölötti kévék kategóriái; például morfizmusok f közötti sokaságok indukálnak funktorok f _* , f * , f _! , f ^! a vegyes Hodge modulok ( származtatott kategóriái ) között, hasonlóak a tárcsákhoz.

Lásd még

• Vegyes Hodge szerkezet
• Hodge sejtés
• Jakobiai ideál
• Hodge – Tate szerkezet , a Hodge szerkezetek p- adikai analógja.
• Logaritmikus forma

Megjegyzések

Bevezető hivatkozások

• Debarre, Olivier, Periods and Moduli
• Arapura, Donu, Komplex algebrai fajták és azok kohomológiája (PDF) , 120–123. Oldal, archiválva az eredetiről (PDF) 2020.01.04. (Eszközöket ad a házszámok kiszámításához a köteg kohomológiájával)
• Naiv útmutató a vegyes Hodge elmélethez
• Dimca, Alexandru (1992). A hiperfelületek szingularitása és topológiája . Universitext. New York: Springer-Verlag . 240., 261. oldal. doi : 10.1007 / 978-1-4612-4404-2 . ISBN   0-387-97709-0 . MR   1194180 . (Képletet és generátorokat ad a súlyozott homogén polinom affinális Milnor rostjainak vegyes Hodge-számához , valamint képletet a súlyozott vetítőtér súlyozott homogén polinomjainak komplementereihez.)

Felmérési cikkek

• Arapura, Donu, Vegyes Hodge struktúrák társítva a geometriai variációkhoz (PDF)

Hivatkozások

• Deligne , Pierre (1971b), Travaux de Griffiths , Sem. Bourbaki Exp. 376, Lect. matematikai jegyzetek. 180. évfolyam, 213–235
• Deligne, Pierre (1971), "Théorie de Hodge. I" (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) , 1 , Gauthier-Villars, 425–430 ., MR   0441965 , az eredetiből archiválva ( PDF) a 2015-04-02 Ez egy komplex változat kohomológiáján vegyes Hodge-struktúrát épít.
• Deligne, Pierre (1971a), Théorie de Hodge. II. , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 40. szám, 5–57 . Oldal, MR   0498551 Ez egy komplex változat kohomológiáján vegyes Hodge-struktúrát épít.
• Deligne, Pierre (1974), Théorie de Hodge. III. , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 44. szám, 5–77 . Oldal, MR   0498552 Ez egy komplex változat kohomológiáján vegyes Hodge-struktúrát épít.
• Deligne, Pierre (1994), "Structures de Hodge mixtes réelles", Motívumok (Seattle, WA, 1991), 1. rész , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics , 55 , Providence, RI: American Mathematical Society , 509–514. MR   1265541
• Deligne, Pierre ; Milne, James (1982), "Tannakian categories", Hodge Cycles, Motives , and Shimura Variety, Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shih , Lecture Notes in Mathematics , 900 , Springer-Verlag , pp. 1–414 . A cikk kommentált változata megtalálható J. Milne honlapján .
• Griffiths, Phillip (1968), "I algebrai sokaságok integráljainak periódusai (a moduláris fajták felépítése és tulajdonságai"), American Journal of Mathematics , 90 (2): 568–626, doi : 10.2307 / 2373545 , JSTOR   2373545
• Griffiths, Phillip (1968a), "Az integrálok periódusai az algebrai sokaságokon II (Local Study of the Period Mapping)", American Journal of Mathematics , 90 (3): 808–865, doi : 10.2307 / 2373485 , JSTOR   2373485
• Griffiths, Phillip (1970), "Integrálok periódusai az algebrai sokaságokon III. A periódus-leképezés néhány globális differenciál-geometriai tulajdonsága". , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 38 : 228–296
• Kapranov, Mihail (2012), "Real mixed Hodge szerkezetek", Journal of Noncommutative Geometry , 6 (2): 321–342, arXiv : 0802.0215 , doi : 10.4171 / jncg / 93 , MR   2914868
• Ovseevich, Alexander I. (2001) [1994], "Hodge-szerkezet" , Matematika Enciklopédia , EMS Press
• Patrikis, Stefan (2016), "Polarizálható Hodge struktúrák Mumford-Tate csoportjai", Proceedings of the American Mathematical Society , 144 (9) : 3717–3729 , arXiv : 1302.1803 , doi : 10.1090 / proc / 13040 , MR   3513533
• Saito, Morihiko (1989), Bevezetés a vegyes Hodge modulokba. Actes du Colloque de Théorie de Hodge (Luminy, 1987). , Astérisque No. 179–180, 145–162. O., MR   1042805
• Schnell, Christian, Morihiko Saito vegyes Hodge modulok elméletének áttekintése (PDF)
• Steenbrink, Joseph HM (2001) [1994], "Hodge-szerkezet variációja" , Matematika Enciklopédia , EMS Press