Funkció létrehozása (fizika) - Generating function (physics)

A fizikában, pontosabban a hamiltoni mechanikában , a generáló függvény lazán egy olyan függvény, amelynek parciális deriváltjai létrehozzák azokat a differenciálegyenleteket, amelyek meghatározzák a rendszer dinamikáját. Gyakori példák: a statisztikai mechanika partíciós függvénye , a Hamilton-függvény és az a funkció, amely hídként funkcionál a kanonikus változók két halmaza között egy kanonikus transzformáció végrehajtása során .

Kanonikus átalakulásokban

Négy alapvető generáló funkció van, amelyeket az alábbi táblázat foglal össze:

Generáló funkció	Származékai
${\ displaystyle F = F_ {1} (q, Q, t) \, \!}$	${\ displaystyle p = ~~ {\ frac {\ részleges F_ {1}} {\ részleges q}} \, \!}$ és ${\ displaystyle P = - {\ frac {\ részleges F_ {1}} {\ részleges Q}} \, \!}$
${\ displaystyle F = F_ {2} (q, P, t) = F_ {1} + QP \, \!}$	${\ displaystyle p = ~~ {\ frac {\ részleges F_ {2}} {\ részleges q}} \, \!}$ és ${\ displaystyle Q = ~~ {\ frac {\ részleges F_ {2}} {\ részleges P}} \, \!}$
${\ displaystyle F = F_ {3} (p, Q, t) = F_ {1} -qp \, \!}$	${\ displaystyle q = - {\ frac {\ részleges F_ {3}} {\ részleges p}} \, \!}$ és ${\ displaystyle P = - {\ frac {\ részleges F_ {3}} {\ részleges Q}} \, \!}$
${\ displaystyle F = F_ {4} (p, P, t) = F_ {1} -qp + QP \, \!}$	${\ displaystyle q = - {\ frac {\ részleges F_ {4}} {\ részleges p}} \, \!}$ és ${\ displaystyle Q = ~~ {\ frac {\ részleges F_ {4}} {\ részleges P}} \, \!}$

Példa

Néha egy adott hamilton-i alakítható olyanra, amely úgy néz ki, mint a harmonikus oszcillátor, a hamiltoni

${\ displaystyle H = aP ^ {2} + bQ ^ {2}.}$

Például a Hamiltoniannal

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2q ^ {2}}} + {\ frac {p ^ {2} q ^ {4}} {2}},}$

ahol p az általánosított momentum és q az általánosított koordináta, akkor jó kánontranszformációt kell választani

${\ displaystyle P = pq ^ {2} {\ text {és}} Q = {\ frac {-1} {q}}. \,}$

( 1 )

Ezáltal a Hamiltonian válik

${\ displaystyle H = {\ frac {Q ^ {2}} {2}} + {\ frac {P ^ {2}} {2}},}$

amely a harmonikus oszcillátor Hamiltonian formájában van.

Az F generáló függvény ehhez az átalakításhoz a harmadik típusú,

${\ displaystyle F = F_ {3} (p, Q).}$

Ha F-et kifejezetten meg akarja találni , használja a származtatott egyenletet a fenti táblázatból,

${\ displaystyle P = - {\ frac {\ részleges F_ {3}} {\ részleges Q}},}$

és helyettesítsük a P kifejezését az ( 1 ) egyenletből , p-ben és Q- ban kifejezve :

${\ displaystyle {\ frac {p} {Q ^ {2}}} = - {\ frac {\ részleges F_ {3}} {\ részleges Q}}}$

Ennek integrálása a Q vonatkozásában egy egyenletet eredményez az ( 1 ) egyenlet által megadott transzformáció generáló függvényéhez :

${\ displaystyle F_ {3} (p, Q) = {\ frac {p} {Q}}}$

Annak megerősítésére, hogy ez a helyes generáló funkció, ellenőrizze, hogy megfelel-e ( 1 ):

${\ displaystyle q = - {\ frac {\ részleges F_ {3}} {\ részleges p}} = {\ frac {-1} {Q}}}$

Lásd még

• Hamilton – Jacobi egyenlet
• Poisson zárójel

Hivatkozások

További irodalom

• Goldstein, Herbert; Poole, CP; Safko, JL (2001). Klasszikus mechanika (3. kiadás). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9.