Gauss -sugár - Gaussian beam

A szimulált Gauss -sugár intenzitása az adott pillanatban a fókusz körül , két hullámfrontonként két intenzitáscsúcsot mutatva .

Felső: az oldalon kívülről terjedő Gauss -sugár keresztirányú intenzitásprofilja. Kék görbe: elektromos (vagy mágneses) mező amplitúdója a sugárirányú helyzethez képest a sugár tengelyétől. A fekete görbe a megfelelő intenzitás.

5 mW -os zöld lézermutató sugárprofil, amely a TEM ₀₀ profilt mutatja .

A optika , egy Gauss-nyaláb egy gerenda a elektromágneses sugárzás nagy monochromaticity amelynek amplitúdója borítékot a keresztirányú sík által adott Gauss-függvény ; ez magában foglalja a Gauss -intenzitás (besugárzás) profilt is. Ez az alapvető (vagy TEM ₀₀ ) keresztirányú Gauss -mód a legtöbb (de nem minden) lézer tervezett kimenetét írja le, mivel egy ilyen sugár a legkoncentráltabb helyre fókuszálható. Amikor egy ilyen nyalábot egy lencse újra fókuszál , a keresztirányú fázisfüggés megváltozik; ez más Gauss -nyalábot eredményez . Az elektromos és mágneses mező amplitúdóprofiljait minden ilyen kör alakú Gauss-sugár mentén (adott hullámhosszon és polarizáción ) egyetlen paraméter határozza meg: az úgynevezett derék w ₀ . Bármely z pozícióban a derékhoz (fókuszhoz) képest egy meghatározott w ₀ sugár mentén , a mező amplitúdóit és fázisait az alábbiakban részletezett módon határozzuk meg .

Az alábbi egyenletek kör keresztmetszetű gerendát feltételeznek z minden értékénél ; ez látható azzal, hogy megjegyezzük, hogy egyetlen keresztirányú dimenzió, r jelenik meg. Gerendák elliptikus keresztmetszetű, vagy derék különböző pozíciókban z a két keresztirányú méretei ( asztigmatikus gerendák) is lehet leírni, mint Gauss-gerendák, de különböző értékek a w ₀ és Z = 0 helyét a két keresztirányú x és y méretek .

Önkényes megoldások a paraxiális Helmholtz egyenletet lehet kifejezni kombinációi Hermite-Gauss módok (amelynek amplitúdója profilok elkülöníthető a x és y segítségével derékszögű koordináták ) vagy hasonlóképpen, mint kombinációi Laguerre-Gauss módok (amelynek amplitúdója profilok elkülöníthető a r és θ segítségével hengeres koordinátákat ). A z sugár bármely pontján ezek a módok ugyanazt a Gauss -tényezőt tartalmazzák, mint az alapvető Gauss -mód, megszorozva a meghatározott mód további geometriai tényezőit. Azonban különböző módok szaporítására egy másik Gouy fázisban ezért a nettó keresztirányú profil miatt szuperpozíció módok fejlődik a Z , míg a terjedési bármely egyetlen Hermite-Gauss (vagy Laguerre-Gauss) módban megtartja ugyanazt a formát mentén gerenda.

Bár léteznek más lehetséges modális bontások is , ezek a megoldáscsaládok a leghasznosabbak a kompakt gerendákkal kapcsolatos problémák esetén, vagyis ahol az optikai teljesítmény meglehetősen szorosan van korlátozva egy tengely mentén. Még akkor is, ha a lézer nem az alapvető Gauss-módban működik, teljesítményét általában a legalacsonyabb rendű módok között találjuk meg, amelyek ezeket a bontásokat használják, mivel a magasabb rendű módok térbeli kiterjedése általában meghaladja a lézer rezonátor (üreg) határait. . A "Gauss -sugár" rendszerint az alapvető (TEM ₀₀ ) Gauss -üzemmódra korlátozódó sugárzást jelent .

Matematikai forma

Gauss sugárprofil w ₀ = 2 λ .

A Gauss -sugár egy keresztirányú elektromágneses (TEM) mód . Az elektromos mező amplitúdójának matematikai kifejezése megoldást jelent a paraxiális Helmholtz -egyenletre . Feltételezve a polarizációt x irányban és terjedést + z irányban, az elektromos mezőt a fázis (komplex) jelölésben a következőképpen adjuk meg:

${\ displaystyle {\ mathbf {E} (r, z)} = E_ {0} \, {\ hat {\ mathbf {x}}} \, {\ frac {w_ {0}} {w (z)} } \ exp \ balra ({\ frac {-r^{2}} {w (z)^{2}}} \ jobbra) \ exp \ balra (\!-i \ balra (kz+k {\ frac { r^{2}} {2R (z)}}-\ psi (z) \ jobb) \! \ jobb)}$

ahol

r a sugárirányú távolság a sugár középtengelyétől,

z a tengelyirányú távolság a sugár fókuszától (vagy "derék"),

én vagyok a képzeletbeli egység ,

k = 2 πn / λ a hullámszám ( radián per méter) egy λ szabad tér hullámhosszon, és n annak a közegnek a törésmutatója, amelyben a sugár terjed,

E ₀ = E (0, 0) , az elektromos mező amplitúdója (és fázisa) a kiindulási pontnál ( r = 0, z = 0),

w ( z ) az a sugár, amelynél a térerősség amplitúdójaa tengelyirányú értékeik 1/ e -re esik(azaz ahol az intenzitásértékekaz axiális értékeik 1/ e ² -re csökkennek),a sugár mentén lévő z síkban,

w ₀ = w (0) a derék sugara ,

R ( z ) a görbületi sugara a sugár -hullámfront a z , és

ψ ( z ) a Gouy fázis z -nél, egy extra fázisterm, amely meghaladjaa fény fázissebességének tulajdoníthatót.

Van is egy érteni időbeli változását e ^iωt szorozni ilyen phasor mennyiségeket; a tényleges mezőt egy adott időpontban és térben annak az összetett mennyiségnek a valós része adja.

Mivel ez a megoldás a paraxiális közelítésen alapul, nem pontos az erősen szétágazó gerendák esetében. A fenti forma a legtöbb gyakorlati esetben érvényes, ahol w ₀ ≫ λ / n .

A megfelelő intenzitás (vagy besugárzás ) eloszlást a

${\ displaystyle I (r, z) = {| E (r, z) |^{2} \ over 2 \ eta} = I_ {0} \ left ({\ frac {w_ {0}} {w (z )}} \ jobbra)^{2} \ exp \ balra ({\ frac {-2r^{2}} {w (z)^{2}}} \ jobbra),}$

ahol a konstans η a hullámimpedancia az a közeg, amelyben a fény terjedésével. Szabad hely esetén η = η ₀ ≈ 377 Ω. I ₀ = | E ₀ | ² /2 η az intenzitás a sugár közepén a derekán.

Ha P ₀ a sugár teljes teljesítménye,

${\ displaystyle I_ {0} = {2P_ {0} \ over \ pi w_ {0}^{2}}.}$

Fejlődő gerendaszélesség

A Gauss-függvény egy 1 / e ² átmérője ( 2 W , mint a szövegben használt) mintegy 1,7-szerese a FWHM .

Olyan helyzetben, Z mentén, a gerenda (mérve a fókusz), a folt mérete paraméter w kap egy hiperbolikus kapcsolatban :

${\ displaystyle w (z) = w_ {0} \, {\ sqrt {1+{\ left ({\ frac {z} {z _ {\ mathrm {R}}}} \ right)}^{2}} },}$

ahol

${\ displaystyle z _ {{mathrm {R}} = {\ frac {\ pi w_ {0}^{2} n} {\ lambda}}}$

Rayleigh tartománynak nevezzük, amint azt az alábbiakban tárgyaljuk, és a közeg törésmutatója. ${\ displaystyle n}$

A fénysugár w ( z ) sugara a gerenda bármely z pozíciójában a teljes szélességhez (FWHM) viszonyítva az adott helyzetben az alábbiak szerint:

${\ displaystyle w (z) = {\ frac {{\ text {FWHM}} (z)} {\ sqrt {2 \ ln 2}}}}$.

Hullámfront görbülete

A hullámfrontok görbülete a legnagyobb a Rayleigh -távolságnál, z = ± z _R , a derék két oldalán, és maga a derék keresztezi a nullát. A Rayleigh távolságon túl, | z | > z _R , ismét nagyságrendileg csökken, z → ± ∞ -ként megközelíti a nullát . A görbületet gyakran kölcsönös, R , görbületi sugarával fejezik ki ; egy alapvető Gauss -sugár esetében a z helyzetben lévő görbületet a következőképpen adjuk meg:

${\ displaystyle {\ frac {1} {R (z)}} = {\ frac {z} {z^{2}+z _ {\ mathrm {R}}^{2}}},}$

így a görbületi sugara R ( Z ) jelentése

${\ displaystyle R (z) = z \ left [{1+{\ left ({\ frac {z _ {\ mathrm {R}}} {z}} \ right)}^{2}} \ right].}$

Mivel a görbület kölcsönös, a görbületi sugár megfordítja a jelet, és végtelen a gerenda derekán, ahol a görbület nullán megy keresztül.

Gouy fázis

A Gouy fázis egy fázis előrehaladás, amelyet egy sugár fokozatosan megszerez a fókusz régió körül. A z pozícióban egy alapvető Gauss -sugár Gouy -fázisát adjuk meg

${\ displaystyle \ psi (z) = \ arctan \ left ({\ frac {z} {z _ {\ mathrm {R}}}} \ right).}$

Gouy fázis.

A Gouy fázis a látszólagos hullámhossz növekedését eredményezi a derék közelében ( z ≈ 0 ). Így a fázis sebessége ezen a területen formálisan meghaladja a fénysebességet. Ezt a paradox viselkedést úgy kell érteni, mint egy közeli mező jelenséget, ahol a fény fázissebességétől való eltérés (mint pontosan egy síkhullámra vonatkozna) nagyon kicsi, kivéve a nagy numerikus apertúrájú nyalábot , amely esetben a A hullámfrontok görbülete (lásd az előző részt) lényegesen változik egyetlen hullámhosszon belül. A hullámegyenlet minden helyzetben minden esetben teljesül.

Egy alapvető Gauss -sugár esetében a Gouy -fázis nettó fáziskülönbséget eredményez a fénysebességhez képest π radiánban (tehát fázisfordítás), amikor a derék egyik oldalán lévő távoli mezőből a távoli mezőbe halad a másik oldal. Ez a fázisváltozás a legtöbb kísérletben nem figyelhető meg. Ennek azonban elméleti jelentősége van, és nagyobb tartományba kerül a magasabb rendű Gauss-módok esetében .

Elliptikus és asztigmatikus gerendák

Sok lézersugár elliptikus keresztmetszettel rendelkezik. Szintén gyakoriak a deréktájú gerendák, amelyek eltérőek a két keresztirányú méretben, az asztigmatikus gerendáknak. Ezek a nyalábok a fenti két evolúciós egyenlet használatával kezelhetők, de minden egyes paraméter különálló értékei x és y esetén, valamint a z = 0 pont különböző definíciói . A Gouy fázis egyetlen érték, amelyet helyesen számoltak ki az egyes dimenziókból származó hozzájárulás összegzésével, egy Gouy fázissal a ± π /4 tartományon belül .

Az elliptikus sugár megfordítja ellipticitási arányát, amikor a távoli mezőtől a derékig terjed. Az a méret, amely nagyobb volt a deréktól távol, a kisebb lesz a derék közelében.

Sugár paraméterek

A geometriai függését a mezők egy Gauss-nyaláb szabályozza a hullámhossz λ ( az a dielektromos közegben, ha nem szabad hely), és a következő sugárnyaláb paramétereit , amelyek mind össze vannak kötve, amint az a következő részekben.

Gerendás derék

Gauss-nyaláb szélessége w ( Z ) , mint a távolság függvényében z mentén a gerenda, amely egy hiperbola . w ₀ : gerenda derék; b : a fókusz mélysége; z _R : Rayleigh tartomány ; Θ : teljes szögterjedés

Egy adott λ hullámhosszúságú Gauss -sugár alakját kizárólag egy paraméter határozza meg, a nyaláb dereka w ₀ . Ez a sugár méretének mértéke a fókuszpontjában ( z = 0 a fenti egyenletekben), ahol a nyaláb szélessége w ( z ) (a fentiek szerint) a legkisebb (és ugyanígy, ahol az intenzitás a tengelyen ( r = 0 ) a legnagyobb). Ebből a paraméterből határozzák meg a gerenda geometriáját leíró többi paramétert. Ez magában foglalja a Rayleigh z _R tartományt és az aszimptotikus nyalábeltérést θ , az alábbiakban részletezve.

Rayleigh tartomány és konfokális paraméter

A Rayleigh -távolságot vagy a z _R Rayleigh -tartományt Gauss -sugár derékmérete határozza meg:

${\ displaystyle z _ {{mathrm {R}} = {\ frac {\ pi w_ {0}^{2} n} {\ lambda}}.}$

Itt λ a fény hullámhossza, n a törésmutató. A deréktól a z _R Rayleigh -tartománynak megfelelő távolságban a sugár w szélessége √ 2 -rel nagyobb, mint a fókuszban, ahol w = w ₀ , a gerenda derékszáma. Ez azt is jelenti, hogy a tengelyen ( r = 0 ) lévő intenzitás a csúcsintenzitás egyik fele ( z = 0 esetén ). Az a pont a sugár mentén szintén ott van, ahol a legnagyobb a hullámfront görbülete ( 1/ R ).

A távolság a két pont z = ± z _R nevezzük konfokális paramétert vagy mélységélesség a nyaláb.

Sugár -divergencia

Bár egy Gauss -függvény farka valójában soha nem éri el a nullát, a következő tárgyalás alkalmazásában a sugár "élének" azt a sugarat tekintjük, ahol r = w ( z ) . Ez az, ahol az intenzitás 1/ e ^2- re csökkent a tengelyen lévő értékről. Most z ≫ z _{R esetén} a w ( z ) paraméter lineárisan növekszik z -vel . Ez azt jelenti, hogy a deréktól távol a gerenda "széle" (a fenti értelemben) kúp alakú. A kúp (amelynek r = w ( z ) ) és a sugár tengelye ( r = 0 ) közötti szög határozza meg a sugár eltérését :

${\ displaystyle \ theta = \ lim _ {z \ rightarrow \ infty} \ arctan \ left ({\ frac {w (z)} {z}} \ right).}$

A paraxiális esetben, amint azt már figyelembe vettük, θ (radiánban) ekkor megközelítőleg

${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ lambda} {\ pi nw_ {0}}}}$

ahol n a közeg törésmutatója, amelyen a sugár terjed, és λ a szabad tér hullámhossza. A szerteágazó sugár teljes szögterjedését vagy a fent leírt kúp csúcsszögét ezután a

${\ displaystyle \ Theta = 2 \ theta \.}$

Ez a kúp tartalmazza a Gauss -sugár teljes teljesítményének 86% -át.

Mivel a divergencia fordítottan arányos a folt méretével, egy adott λ hullámhosszon egy kis pontra fókuszált Gauss -sugár gyorsan eltér, ahogy elmozdul a fókusztól. Ezzel szemben a lézersugár eltérésének minimalizálása érdekében a távoli mezőben (és csúcsintenzitásának növelése nagy távolságokban) nagy keresztmetszetűnek kell lennie ( w ₀ ) a derékban (és így nagy átmérőjűnek kell lennie, amikor elindul, mivel w ( z ) soha nem kisebb w ₀ -nál ). Ez a kapcsolat a sugár szélessége és a divergencia között a diffrakció és a Fraunhofer -diffrakciót leíró Fourier -transzformáció alapvető jellemzője . Bármely meghatározott amplitúdóprofillal rendelkező sugár is engedelmeskedik ennek a fordított összefüggésnek, de az alapvető Gauss-mód egy speciális eset, amikor a fókuszban lévő sugárméret és a távolsági divergencia szorzata kisebb, mint bármely más esetben.

Mivel a Gauss -sugármodell a paraxiális közelítést használja, nem sikerül, ha a hullámfrontokat több mint 30 ° -kal megdöntik a sugár tengelyétől. A divergencia fenti kifejezése alapján ez azt jelenti, hogy a Gauss -sugármodell csak a 2 λ / π -nél nagyobb derékú gerendákra pontos .

A lézersugár minőségét a sugárparaméteres termék (BPP) számszerűsíti . Gauss -sugár esetén a BPP a nyaláb divergenciájának és w ₀ derékméretének szorzata . A valódi nyaláb BPP-jét a nyaláb minimális átmérőjének és távolsági divergenciájának mérésével és azok szorzatának kiszámításával kapjuk meg. A valós sugár BPP -jének aránya az ideális Gauss -sugárhoz azonos hullámhosszon M ² (" M négyzet ") néven ismert . A Gauss -sugár M ² egy. Minden valódi lézersugár M ² értéke nagyobb, mint egy, bár a nagyon jó minőségű sugarak értékei nagyon közel lehetnek egyhez.

A numerikus apertúra egy Gauss-nyaláb úgy definiáljuk, hogy NA = N sin θ , ahol n jelentése a törésmutatója a közeg, amelyen keresztül a nyaláb elterjed. Ez azt jelenti, hogy a Rayleigh tartomány a szám szerinti rekeszértékkel függ össze

${\ displaystyle z _ {{mathrm {R}} = {\ frac {nw_ {0}} {\ mathrm {NA}}}.}$

Erő és intenzitás

Tápellátás nyíláson keresztül

A gerenda központos egy nyíláson , a teljesítmény P áthaladó sugarú kör r a keresztirányú síkban pozícióban z van

${\ displaystyle P (r, z) = P_ {0} \ left [1-e^{-2r^{2}/w^{2} (z)} \ right],}$

ahol

${\ displaystyle P_ {0} = {1 \ over 2} \ pi I_ {0} w_ {0}^{2}}$

a sugár által továbbított teljes teljesítmény.

Egy r = w ( z ) sugarú kör esetén a körön átvitt teljesítmény töredéke

${\ displaystyle {P (z) \ over P_ {0}} = 1-e^{-2} \ kb 0.865.}$

Hasonlóképpen, a sugár teljesítményének 90% -a az r = 1,07 × w ( z ) sugarú körön, 95% -a az r = 1,224 × w ( z ) sugarú körön és 99% -a egy r sugarú körön keresztül áramlik. = 1,52 × w ( z ) .

Csúcs intenzitás

A csúcsintenzitás a gerenda derékától számított tengelyirányú z tengelyes távolságban kiszámítható a zárt teljesítmény határaként egy r sugarú körön belül , elosztva a πr ² kör területével, amikor a kör zsugorodik:

${\ displaystyle I (0, z) = \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {P_ {0} \ left [1-e^{-2r^{2}/w^{2} (z) } \ jobb]} {\ pi r^{2}}}.}$

A határérték a L'Hôpital szabálya alapján értékelhető :

${\ displaystyle I (0, z) = {\ frac {P_ {0}} {\ pi}} \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {\ left [-(-2) (2r) e^ {-2r^{2}/w^{2} (z)} \ right]} {w^{2} (z) (2r)}} = {2P_ {0} \ over \ pi w^{2} (z)}.}$

Komplex sugárparaméter

A Gauss -sugár foltmérete és görbülete a z függvényében a nyaláb mentén szintén kódolható a q ( z ) összetett sugárparaméterben, amelyet a következők adnak meg:

${\ displaystyle q (z) = z+iz _ {\ mathrm {R}}.}$

Ennek a komplikációnak a bevezetése a Gauss -sugármező egyenletének egyszerűsítéséhez vezet, amint az alább látható. Látható, hogy a q ( z ) reciprokja tartalmazza a hullámfront görbületét és a tengely relatív intenzitását a valós és a képzeletbeli részeiben:

${\ displaystyle {1 \ over q (z)} = {1 \ over z+iz _ {\ mathrm {R}}} = {z \ over z^{2}+z _ {\ mathrm {R}}^{2 }}-i {z _ {\ mathrm {R}} \ over z^{2}+z _ {\ mathrm {R}}^{2}} = {1 \ R (z)} felett-i {\ lambda \ n \ pi w^felett {2} (z)}.}$

A komplex nyaláb paraméter leegyszerűsíti a matematikai analízis Gauss nyaláb terjedési, és különösen az elemzése az optikai rezonátor üregek segítségével ray átviteli mátrixok .

Ezt az űrlapot használva az elektromos (vagy mágneses) mező korábbi egyenlete jelentősen leegyszerűsödik. Ha u elliptikus Gauss -sugár relatív térerősségének nevezzük (az elliptikus tengelyekkel x és y irányban), akkor x -ben és y -ban elválasztható :

${\ displaystyle u (x, y, z) = u_ {x} (x, z) \, u_ {y} (y, z),}$

ahol

${\ displaystyle {\ begin {aligned} u_ {x} (x, z) & = {\ frac {1} {\ sqrt {{q} _ {x} (z)}}} \ exp \ left (-ik {\ frac {x^{2}} {2 {q} _ {x} (z)}} \ jobb), \\ u_ {y} (y, z) & = {\ frac {1} {\ sqrt {{q} _ {y} (z)}}} \ exp \ bal (-ik {\ frac {y^{2}} {2 {q} _ {y} (z)}} \ jobb), \ vége {igazítva}}}$

ahol q _x ( z ) és q _y ( z ) a komplex nyalábparaméterek x és y irányban.

A gyakori esetben egy körkörös sugárprofil , q _x ( Z ) = q _y ( z ) = q ( z ) , és x ² + y ² = r ² , amely hozamok

${\ displaystyle u (r, z) = {\ frac {1} {q (z)}} \ exp \ left (-ik {\ frac {r^{2}} {2q (z)}} \ right) .}$

Hullám egyenlet

Az elektromágneses sugárzás különleges eseteként a Gauss-nyalábok (és az alábbiakban részletezett magasabb rendű Gauss-módok) megoldások a szabad térben vagy homogén dielektromos közegben lévő elektromágneses mező hullámegyenletére , amelyet Maxwell egyenleteinek kombinálásával kapunk. E és a H göndörödése , melynek eredménye:

${\ displaystyle \ nabla ^{2} U = {\ frac {1} {c ^{2}}} {\ frac {\ partial ^{2} U} {\ részleges t ^{2}}},}$

ahol c a fény sebessége a közegben , és U vagy utalhat az elektromos vagy mágneses mező vektorra, mivel bármelyik konkrét megoldás meghatározza a másikat. A Gauss -sugár megoldás csak paraxiális közelítésben érvényes , vagyis ahol a hullámok terjedése a tengely kis szögén belüli irányokra korlátozódik. Az általánosság elvesztése nélkül tegyük ezt az irányt + z iránynak, amely esetben az U megoldás általában u kifejezéssel írható, amelynek nincs időfüggése, és térben viszonylag simán változik, a fő variáció térben megfelel a hullámszámnak k a z irányba:

${\ displaystyle U (x, y, z, t) = u (x, y, z) e^{-i (kz- \ omega t)} \, {\ hat {\ mathbf {x}}} \; .}$

Ha ezt a formát a paraxiális közelítéssel együtt használjuk, akkor ∂ ² u /∂ z ² lényegében elhanyagolható. Mivel az elektromágneses hullámegyenlet megoldásai csak a ( z ) terjedési irányra merőleges polarizációkra érvényesek , az általánosság elvesztése nélkül úgy tekintettük, hogy a polarizáció x irányú, így most megoldjuk az u ( x skaláris egyenletet) , y , z ) .

Ha ezt a megoldást behelyettesítjük a fenti hullámegyenletbe , akkor a skalárhullám -egyenlet paraxiális közelítését kapjuk:

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^{2} u} {\ részleges x ^{2}}}+{\ frac {\ részleges ^{2} u} {\ részleges y ^{2}}} = 2ik {\ frac {\ rész u} {\ részleges z}}.}$

Érdemes megjegyezni, hogy a Paul Dirac „s fény-kúp koordinátákat , a hullám egyenlet áttért: ${\ displaystyle x^{\ pm} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (z \ pm ct)}$${\ displaystyle \ nabla ^{2} U = {\ frac {1} {c ^{2}}} {\ frac {\ partial ^{2} U} {\ részleges t ^{2}}}}$

${\ displaystyle \ nabla ^{2} U = 2 {\ frac {\ részleges ^{2} U} {\ részleges x ^{-} \ részleges x ^{+}}}.}$

Tehát egy hullám esetében egy alakban megkapjuk a pontos egyenletet ${\ displaystyle U \ left (x, y, x^{+}, x^{-} \ right) = u \ left (x, y, x^{+} \ right) e^{ikx^{-} } \, {\ kalap {\ mathbf {x}}} \;}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^{2} u} {\ részleges x ^{2}}}+{\ frac {\ részleges ^{2} u} {\ részleges y ^{2}}} = 2ik {\ frac {\ rész u} {\ részleges x^{+}}}.}$

A paraxiális megoldások tehát a fénykúp koordinátáiban pontosak . A koordináta időfüggésétől függően ezeknek a pontos megoldásoknak a csúcsai az idő múlásával mozognak, így ezek a megoldások hullámcsomagokat képviselnek , nem pedig sugarakat. ${\ displaystyle x^{+}}$

Bármely w ₀ derékszögű Gauss -nyaláb kielégíti ezt a hullámegyenletet; ezt a legegyszerűbben úgy ellenőrizhetjük, hogy a hullámot z -nél fejezzük ki a fentebb meghatározott komplex q ( z ) sugárparaméterrel. Sok más megoldás is létezik. A lineáris rendszer megoldásaiként a megoldások bármely kombinációja (konstans hozzáadásával vagy szorzásával) is megoldás. Az alapvető Gauss-féle történetesen az, amely minimálisra csökkenti a minimális pontméret és a távoli divergencia szorzatát, amint azt fentebb említettük. A paraxiális megoldások keresése során, különösen azokban, amelyek olyan lézersugárzást írnak le, amely nem az alapvető Gauss -módban van, olyan megoldáscsaládokat fogunk keresni, amelyek eltérései és minimális foltméretei fokozatosan növekednek. Az ilyen típusú két fontos ortogonális bontás a Hermite – Gauss vagy a Laguerre-Gauss mód, amelyek megfelelnek a téglalap alakú és a kör alakú szimmetriának, amint azt a következő részben részletezzük. Mindkettőnél az alapvető Gauss -sugár, amelyet figyelembe vettünk, a legalacsonyabb rendű mód.

Magasabb rendű módok

Hermite-Gauss módok

Tizenkét Hermite-Gauss mód

Lehetőség van koherens paraxiális sugár bontására az úgynevezett Hermite-Gauss-módok ortogonális halmazával , amelyek bármelyikét egy x és egy y szorzat szorzata adja . Ilyen megoldás lehetséges a paraxialis Helmholtz -egyenlet x -ben és y -ban való elválaszthatósága miatt, amint azt a derékszögű koordináták írják . Így az x és y irányokra vonatkozó sorrend ( l , m ) alapján az x , y , z elektromos mező amplitúdója a következőképpen adható meg:

${\ displaystyle E (x, y, z) = u_ {l} (x, z) \, u_ {m} (y, z) \, \ exp (-ikz),}$

ahol az x és y függőség tényezőit a következők adják meg:

${\ displaystyle u_ {J} (x, z) = \ left ({\ frac {\ sqrt {2/\ pi}} {2^{J} \, J! \; w_ {0}}} \ right) ^{\! \! 1/2} \! \! \ Balra ({\ frac {{q} _ {0}} {{q} (z)}} \ jobbra)^{\! \! 1/2 } \! \! \ bal (-{\ frac {{q}^{\ ast} (z)} {{q} (z)}} \ jobb)^{\! \! J/2} \! \ ! H_ {J} \! \ Balra ({\ frac {{\ sqrt {2}} x} {w (z)}} \ jobbra) \, \ exp \ balra (\!-i {\ frac {kx^ {2}} {2 {q} (z)}} \ jobb),}$

ahol már alkalmazott komplex nyaláb paraméter q ( z ) (a fentiekben meghatározott) egy gerenda a derék w ₀ a z a hangsúly. Ebben a formában az első tényező csak egy normalizálási állandó, amely az u _J halmazát ortonormálissá teszi . A második tényező a z -től függő további normalizálás, amely kompenzálja az üzemmód térbeli kiterjedésének w ( z )/ w ₀ szerinti bővülését (az utolsó két tényező miatt). A Gouy fázis egy részét is tartalmazza. A harmadik tényező egy tiszta fázis, amely fokozza a Gouy fáziseltolás magasabb megrendelések J .

Az utolsó két tényező az x (vagy y ) feletti térbeli eltéréseket veszi figyelembe . A negyedik tényező a J rendű Hermite polinom ("fizikusok alakja", azaz H ₁ ( x ) = 2 x ), míg az ötödik a Gauss-amplitúdó leesését exp ( -x ² / w ( z ) ²⁾ ) , bár ez nem nyilvánvaló a kitevőben lévő q komplex használatával . Ennek az exponenciálnak a kiterjesztése egy fázistényezőt is eredményez x -ben, amely figyelembe veszi a hullámfront görbületét ( 1/ R ( z ) ) a z sugár mentén.

A Hermite-Gauss módokat tipikusan "TEM _lm " -nek nevezik ; az alapvető Gauss nyaláb ily módon nevezik TEM ₀₀ (ahol TEM jelentése keresztirányú elektromágneses ). Az u _l ( x , z ) és u _m ( y , z ) megszorozásával kapjuk meg a 2-D módú profilt, és eltávolítjuk a normalizálást, hogy a vezető tényezőt csak E ₀ -nak hívjuk, írhatjuk az ( l , m ) módot hozzáférhetőbb formában:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} E_ {l, m} (x, y, z) = {} & E_ {0} {\ frac {w_ {0}} {w (z)}} \, H_ {l } \! {\ Bigg (} {\ frac {{\ sqrt {2}} \, x} {w (z)}} {\ Bigg)} \, H_ {m} \! {\ Bigg (} {\ frac {{\ sqrt {2}} \, y} {w (z)}} {\ Bigg)} \ alkalommal {} \\ & \ exp {\ Bigg (} {-{\ frac {x^{2} +y^{2}} {w^{2} (z)}}} {\ Bigg)} \ exp {\ Bigg (} {-i {\ frac {k (x^{2}+y^{2 })} {2R (z)}}} {\ Bigg)} \ alkalommal {} \\ & \ exp {\ big (} i \ psi (z) {\ big)} \ exp (-ikz). \ End {igazítva}}}$

Ebben a formában a w ₀ paraméter a korábbiakhoz hasonlóan meghatározza az üzemmódok családját, különösen az alapmód derekának térbeli kiterjedését és minden más módmintát skálázva z = 0 -nál . Tekintettel arra, hogy w ₀ , w ( z ) és R ( z ) ugyanazokkal a definíciókkal rendelkezik, mint a fent leírt alapvető Gauss -sugár . Látható, hogy l = m = 0 esetén megkapjuk a korábban leírt Gauss -féle nyalábot (mivel H ₀ = 1 ). Az egyetlen specifikus különbség az x és y profilokban bármely z -nél az l és m rendszámú Hermite polinom tényezőinek köszönhető . Azonban az üzemmódok Gouy -fázisának alakulása a z -hez képest megváltozik :

${\ displaystyle \ psi (z) = (N+1) \, \ arctan \ left ({\ frac {z} {z _ {\ mathrm {R}}}} \ jobb),}$

ahol az együttes sorrendben a mód N definiáljuk N = l + m . Míg a Gouy fáziseltolódás az alapvető (0,0) Gauss -módban csak ± π /2 radiánnal változik az összes z -en (és csak ± π /4 radiánnal ± z _{R között} ), ezt növeli az N + tényező 1 a magasabb rendű módokhoz.

A Hermite Gauss módok téglalap alakú szimmetriájukkal különösen alkalmasak olyan lézerek sugárzásának modális elemzésére, amelyek üregének kialakítása téglalap alakú. Másrészt a lézerek és a körkörös szimmetriájú rendszerek jobban kezelhetők a következő részben bemutatott Laguerre-Gauss módok használatával.

Laguerre-Gauss módok

A kör alakú szimmetrikus sugárprofilokat (vagy hengeres szimmetrikus üregekkel rendelkező lézereket) gyakran a legjobban a Laguerre-Gauss-féle modális bontással lehet megoldani. Ezek a funkciók vannak írva hengeres koordináták segítségével általános Laguerre polinomok . Mindegyik keresztirányú mód ismét jelzett két egész szám, ebben az esetben a sugárirányú index p ≥ 0 és az azimutális index L amely lehet pozitív vagy negatív (vagy nulla):

${\ displaystyle {\ begin {aligned} u (r, \ phi, z) = {} & C_ {lp}^{LG} {\ frac {w_ {0}} {w (z)}} \ left ({\ frac {r {\ sqrt {2}}} {w (z)}} \ jobb)^{\! | l |} \ exp \! \ bal (\!-{\ frac {r^{2}} { w^{2} (z)}} \ jobbra) L_ {p}^{| l |} \! \ balra ({\ frac {2r^{2}} {w^{2} (z)}} \ jobb) \ alkalommal {} \\ & \ exp \! \ balra (\!-ik {\ frac {r^{2}} {2R (z)}} \ jobb) \ exp (-il \ phi) \, \ exp (i \ psi (z)), \ end {igazítva}}}$

ahol L _p ^l az általánosított Laguerre -polinomok . C^LG
_lp kötelező normalizálási állandó:

${\ displaystyle C_ {lp}^{LG} = {\ sqrt {\ frac {2p!} {\ pi (p+| l |)!}}} \ Rightarrow \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ phi \ int _ {0}^{\ infty} rdr | u (r, \ phi, z) |^{2} = 1}$.

w ( z ) és R ( z ) jelentése megegyezik a fentiekkel . A magasabb rendű Hermite-Gauss módokhoz hasonlóan a Laguerre-Gauss-féle módok Gouy-fáziseltolódásának nagyságát eltúlozza az N + 1 tényező:

${\ displaystyle \ psi (z) = (N+1) \, \ arctan \ left ({\ frac {z} {z _ {\ mathrm {R}}}} \ jobb),}$

ahol ebben az esetben a kombinált módszám N = | l | + 2 p . A korábbiakhoz hasonlóan a keresztirányú amplitúdóváltozásokat az utolsó két tényező tartalmazza az egyenlet felső sorában, amely ismét tartalmazza az alapvető Gauss -csökkenést r -ben, de most megszorozva egy Laguerre -polinommal. A hatás a forgási üzemmódban száma l , amellett, hogy érintő Laguerre polinom, főként tartalmazza a fázisban faktor exp (- ilφ ) , amelyben a sugár profil előrehaladott (vagy késleltetett) által l komplett 2 π fázis egy rotációs a gerenda körül (in φ ). Ez egy példa az l topológiai töltés optikai örvényére , és összefüggésbe hozható a fény orbitális szögimpulzusával ebben az üzemmódban.

Ince-Gauss módok

Az elliptikus koordinátákat , lehet írni a magasabb rendű mód használatával Ince polinomok . A páros és páratlan Ince-Gauss módokat a

${\ displaystyle u _ {\ varepsilon} \ left (\ xi, \ eta, z \ right) = {\ frac {w_ {0}} {w \ left (z \ right)}} \ mathrm {C} _ {p }^{m} \ bal (i \ xi, \ varepsilon \ jobb) \ mathrm {C} _ {p}^{m} \ bal (\ eta, \ varepsilon \ jobb) \ exp \ bal [-ik {\ frac {r^{2}} {2q \ left (z \ right)}}-\ left (p+1 \ right) \ zeta \ left (z \ right) \ right],}$

ahol ξ és η az által definiált sugárirányú és szögletes elliptikus koordináták

${\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = {\ sqrt {\ varepsilon /2}} \; w (z) \ cosh \ xi \ cos \ eta, \\ y & = {\ sqrt {\ varepsilon /2}} \; w (z) \ sinh \ xi \ sin \ eta. \ end {igazítva}}}$

C^m
_o( η , ε ) a p és m fokú páros Ince polinomok, ahol ε az ellipticitás paraméter. A Hermite-Gauss és Laguerre-Gauss módok az Ince-Gauss módok különleges esetei ε = ∞ és ε = 0 esetén.

Hipergeometriai-Gauss módok

Van egy másik fontos osztálya a paraxiális hullámmódoknak a hengeres koordinátákban , amelyekben a komplex amplitúdó arányos a konfluens hipergeometriai függvénnyel .

Ezek a módok egy egyedülálló fázis profil és eigenfunctions a foton orbitális impulzusmomentum . Intenzitási profiljukat egyetlen ragyogó gyűrű jellemzi; a Laguerre – Gauss -módokhoz hasonlóan intenzitásuk nullára esik a középpontban (az optikai tengelyen), kivéve az alapvető (0,0) módot. Egy mód komplex amplitúdója a normalizált (dimenzió nélküli) ρ = r / w ₀ sugárirányú koordináta és a normalizált inal = z / z _R hosszirányú koordináta szerint _{írható fel} az alábbiak szerint:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} u _ {{\ mathsf {p}} m} (\ rho, \ phi, \ mathrm {Z}) {} = {} & {\ sqrt {\ frac {2^{{ \ mathsf {p}}+| m | +1}} {\ pi \ Gamma ({\ mathsf {p}}+| m | +1)}}} \; {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {\ mathsf {p}} {2}}+| m | +1 \ jobb)} {\ Gamma (| m | +1)}} \, i^{| m | +1} \ alkalommal {} \ \ & \ mathrm {Z} ^{\ frac {\ mathsf {p}} {2}} \, (\ mathrm {Z} +i) ^{-\ bal ({\ frac {\ mathsf {p}} { 2}}+| m | +1 \ jobb)} \, \ rho ^{| m |} \ alkalommal {} \\ & \ exp \ left (-{\ frac {i \ rho ^{2}} {\ mathrm {Z} +i}} \ jobb) \, e^{im \ phi} \, {} _ {1} F_ {1} \ bal (-{\ frac {\ mathsf {p}} {2}} , | m | +1; {\ frac {\ rho ^{2}} {\ mathrm {Z} (\ mathrm {Z} +i)}} \ jobb) \ end {igazított}}}$

ahol az m forgási index egész szám, és valós értékű, Γ ( x ) a gammafüggvény és ₁ F ₁ ( a , b ; x ) egy összefolyó hipergeometriai függvény. ${\ displaystyle {\ mathsf {p}} \ geq -| m |}$

A hipergeometriai-Gauss (HyGG) módok egyes alcsaládjai a módosított Bessel-Gauss-módok, a módosított exponenciális Gauss-módok és a módosított Laguerre-Gauss-módok közé sorolhatók.

A hipergeometriai-Gauss módok halmaza túl teljes, és nem ortogonális módhalmaz. A bonyolult terepi profil ellenére a HyGG módok nagyon egyszerű profillal rendelkeznek a gerenda derekán ( z = 0 ):

${\ displaystyle u (\ rho, \ phi, 0) \ propto \ rho ^{{\ mathsf {p}}+| m |} e ^{-\ rho ^{2}+im \ phi}.}$

Lásd még

• Bessel gerenda
• Tophat gerenda
• Lézersugaras profilozó

Megjegyzések

Hivatkozások

• Bandres, Miguel A .; Gutierrez-Vega, Julio C. (2004). "Ince Gauss -gerendák" . Dönt. Lett . OSA. 29 (2): 144–146. Bibcode : 2004OptL ... 29..144B . doi : 10.1364/OL.29.000144 . PMID  14743992 .
• Garg, Anupam (2012). Klasszikus elektromágnesesség dióhéjban . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0691130187.
• Goubau, G .; Schwering, F. (1961). "Az elektromágneses hullámok irányított terjedéséről". IRE Trans . 9 (3): 248–256. Bibcode : 1961ITAP .... 9..248G . doi : 10.1109/TAP.1961.1144999 . MR  0134166 .
• Karimi, E .; Zito, G .; Piccirillo, B .; Marrucci, L .; Santamato, E. (2007). "Hipergeometriai-Gauss-gerendák" . Dönt. Lett . OSA. 32 (21): 3053–3055. arXiv : 0712.0782 . Bibcode : 2007OptL ... 32.3053K . doi : 10.1364/OL.32.003053 . PMID  17975594 .
• Mandel, Leonard; Farkas, Emil (1995). Optikai koherencia és kvantumoptika . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41711-2. 5. fejezet, "Optikai gerendák", 267. o.
• Pampaloni, F .; Enderlein, J. (2004). "Gauss, Hermite-Gauss és Laguerre-Gauss gerendák: A primer". arXiv : fizika/0410021 .
• Saleh, Bahaa EA; Teich, Malvin Carl (1991). A fotonika alapjai . New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5. 3. fejezet, "Sugároptika", 80–107.
• Siegman, Anthony E. (1986). Lézerek . Egyetemi Tudományos Könyvek. ISBN 0-935702-11-3. 16. fejezet.
• Svelto, Orazio (2010). A lézerek alapelvei (5. kiadás).
• Yariv, Amnon (1989). Quantum Electronics (3. kiadás). Wiley. ISBN 0-471-60997-8.

Külső linkek

• Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport