Páros és páratlan függvények - Even and odd functions

A szinuszfüggvény és összes Taylor-polinomja páratlan függvény. Ez a kép és Taylor közelítései 1., 3., 5., 7., 9., 11. és 13. fokú polinomokat mutatnak .${\ displaystyle \ sin (x)}$

A koszinusz-függvény és valamennyi Taylor-polinomja függvény. Ez a kép a Taylor-féle közelítést mutatja a 4. fokhoz.${\ displaystyle \ cos (x)}$

A matematika , sőt funkciók és páratlan funkciók vannak funkciók , amelyek megfelelnek bizonyos szimmetria kapcsolatok tekintetében figyelembe ellentett . Fontosak a matematikai elemzés számos területén , különösen a hatványsorok és a Fourier-sorok elméletében . Az egyes feltételeket kielégítő teljesítményfüggvények teljesítményének paritása alapján nevezik őket : a függvény páros függvény, ha n páros egész szám , és páratlan függvény, ha n páratlan egész. ${\ displaystyle f (x) = x ^ {n}}$

Meghatározás és példák

Az egyenletességet és a furcsaságot általában a valós függvényeknél vesszük figyelembe , vagyis a valós változó valós értékű függvényeit. A fogalmak azonban általánosabban definiálhatók azokra a függvényekre, amelyek tartományának és kodomainjének egyaránt van additív inverz fogalma . Ez magában foglalja az abeli csoportokat , az összes gyűrűt , az összes mezőt és az összes vektorteret . Így például egy valós függvény lehet páratlan vagy páros (vagy egyik sem), akárcsak egy vektorváltozó komplex értékű függvénye stb.

A megadott példák valós függvények, hogy bemutassa a szimmetria azok grafikonok .

Még funkciók

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ az egyenletes függvény példája.

Legyen f egy valós változó valós értékű függvénye. Ekkor f akkor is, ha a következő egyenlet minden x-re érvényes, így x és - x az f tartományában :

${\ displaystyle f (x) = f (-x)}$

(1. egyenlet )

vagy ekvivalensen, ha az összes ilyen x esetében a következő egyenlet érvényes :

${\ displaystyle f (x) -f (-x) = 0.}$

Geometriai szempontból az egyenletes függvény grafikonja szimmetrikus az y- tengelyhez képest, vagyis gráfja változatlan marad az y- tengely körüli reflexió után .

Páros funkciók például:

• Az abszolút érték ${\ displaystyle x \ mapsto | x |,}$
• ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {2},}$
• ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {4},}$
• koszinusz ${\ displaystyle \ cos,}$
• hiperbolikus koszinusz ${\ displaystyle \ cosh.}$

Páratlan függvények

${\ displaystyle f (x) = x ^ {3}}$ a páratlan függvény példája.

Legyen f ismét egy valós változó valós értékű függvénye. Akkor f jelentése furcsa , ha a következő egyenlet teljesül minden x , hogy x és - x vannak a domain f :

${\ displaystyle -f (x) = f (-x)}$

(2. egyenlet )

vagy ekvivalensen, ha az összes ilyen x esetében a következő egyenlet érvényes :

${\ displaystyle f (x) + f (-x) = 0.}$

Geometriailag a grafikon páratlan funkció forgási szimmetriája van a származási , ami azt jelenti, hogy a gráf változatlan marad, miután forgása a 180 fokos a származás.

Példák a páratlan függvényekre:

• Az identitásfüggvény ${\ displaystyle x \ mapsto x,}$
• ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {3},}$
• szinusz ${\ displaystyle \ sin,}$
• hiperbolikus szinusz ${\ displaystyle \ sinh,}$
• A hiba funkció ${\ displaystyle \ kezelőnév {erf}.}$

${\ displaystyle f (x) = x ^ {3} +1}$ nem páros és nem is furcsa.

Alapvető tulajdonságok

Egyediség

• Ha egy függvény páros és páratlan is, akkor mindenhol meg van határozva 0-val.
• Ha egy függvény páratlan, akkor a függvény abszolút értéke páros függvény.

Összeadás és kivonás

• Az összeget a két, még funkciók még.
• Két páratlan függvény összege páratlan.
• A különbség a két furcsa funkciók páratlan.
• Két páros funkció közötti különbség egyenletes.
• A páros és páratlan függvény összege nem páros vagy páratlan, kivéve, ha az egyik függvény nulla az adott tartományban .

Szorzás és osztás

• A termék két páros funkciók még funkciót.
  • Ez azt jelenti, hogy tetszőleges számú páros függvény szorzata páros függvény is.
• Két páratlan függvény szorzata páros függvény.
• A páros és a páratlan függvény szorzata páratlan függvény.
• A hányados a két, még funkciót páros függvény.
• Két páratlan függvény hányadosa páros függvény.
• A páros és a páratlan függvény hányadosa páratlan függvény.

Fogalmazás

• A készítmény a két, még funkciók még.
• Két páratlan függvény összetétele páratlan.
• A páros és a páratlan függvény összetétele páros.
• Bármely egyenletes függvényű funkció összetétele egyenletes (de nem fordítva).

Páros – páratlan bomlás

Minden funkció egyedileg bomlik összegeként páros és egy páratlan függvény, amelyek úgynevezett rendre a részét is , és a furcsa része a funkció; ha valaki meghatározza

${\ displaystyle f _ {\ text {e}} (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2}}}$

(3. egyenlet )

és

${\ displaystyle f _ {\ text {o}} (x) = {\ frac {f (x) -f (-x)} {2}}}$

(4. egyenlet )

akkor páros, páratlan, és ${\ displaystyle f _ {\ text {e}}}$${\ displaystyle f _ {\ text {o}}}$

${\ displaystyle f (x) = f _ {\ text {e}} (x) + f _ {\ text {o}} (x).}$

Fordítva, ha

${\ displaystyle f (x) = g (x) + h (x),}$

ahol g páros és h páratlan, akkor és azóta ${\ displaystyle g = f _ {\ text {e}}}$${\ displaystyle h = f _ {\ text {o}},}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} 2f _ {\ text {e}} (x) & = f (x) + f (-x) = g (x) + g (-x) + h (x) + h (-x) = 2g (x), \\ 2f _ {\ text {o}} (x) & = f (x) -f (-x) = g (x) -g (-x) + h (x) ) -h (-x) = 2h (x). \ vége {igazítva}}}$

Például a hiperbolikus koszinusz és a hiperbolikus szinusz az exponenciális függvény páros és páratlan részének tekinthető, mivel az első páros, a második páratlan, és

${\ displaystyle e ^ {x} = \ alátét {{cosh (x)} _ {f _ {\ text {e}} (x)} + \ alátét {\ sinh (x)} _ {f _ {\ text {o }}(x)}}$.

További algebrai tulajdonságok

• A páros függvények bármely lineáris kombinációja páros, és a páros függvények vektorteret képeznek a valósak felett . Hasonlóképpen, a páratlan függvények bármely lineáris kombinációja páratlan, és a páratlan függvények vektorteret is képeznek a valósak felett. Tény, hogy a vektortér összes valós függvények a direkt összege az altér páros és páratlan funkciókat. Ez egy elvontabb módszer a tulajdonság kifejezésére az előző szakaszban.
  • A függvények terét a tulajdonság számított algebrának tekinthetjük a valós számok felett, valamint a fentiek közül néhányat.

• A páros függvények kommutatív algebrát képeznek a valósak felett. A páratlan függvények azonban nem képeznek algebrát a valósak felett, mivel szorzás alatt nem záródnak le.

Analitikai tulajdonságok

A függvény furcsa vagy páratlan nem jelenti a megkülönböztethetőséget vagy akár a folytonosságot . Például a Dirichlet függvény páros, de sehol sem folytonos.

A következőkben a származékokkal , Fourier-sorokkal , Taylor-sorozatokkal stb. Kapcsolatos tulajdonságokat feltételezzük, hogy ezeket a fogalmakat a figyelembe vett függvények határozzák meg.

Alapvető analitikai tulajdonságok

• A páros függvény deriváltja páratlan.
• A páratlan függvény deriváltja páros.
• A páratlan függvény integrálja - A- tól + A-ig nulla (ahol A véges, és a függvénynek nincsenek függőleges aszimptotái - A és A között ). Egy szimmetrikus intervallumon keresztül integrálható páratlan függvény esetében, pl . Az integrál eredménye az intervallum alatt nulla; vagyis ${\ displaystyle [-A, A]}$

  ${\ displaystyle \ int _ {- A} ^ {A} f (x) \, dx = 0}$.

• A páros függvény - A- tól + A-ig terjedő integrálja kétszerese a 0-tól + A-ig (ahol A véges, és a függvénynek nincsenek függőleges aszimptotái - A és A között . Ez akkor is igaz, ha A végtelen, de csak ha az integrál konvergál); vagyis

  ${\ displaystyle \ int _ {- A} ^ {A} f (x) \, dx = 2 \ int _ {0} ^ {A} f (x) \, dx}$.

Sorozat

• Az egyenletes függvény Maclaurin-sorozata csak páros erőket tartalmaz.
• A páratlan függvény Maclaurin-sorozata csak páratlan teljesítményeket tartalmaz.
• A Fourier-sor egy periodikus páros függvény csak azokat koszinusz szempontjából.
• A periodikus páratlan függvény Fourier-sorozata csak szinuszos kifejezéseket tartalmaz.
• A tisztán valós értékű páros függvény Fourier-transzformációja valós és egyenletes. (lásd Fourier-elemzés § Szimmetria tulajdonságok )
• A tisztán valós értékű páratlan függvény Fourier-transzformációja képzeletbeli és páratlan. (lásd Fourier-elemzés § Szimmetria tulajdonságok )

Harmonikusok

A jelfeldolgozás , harmonikus torzítás akkor jelentkezik, amikor egy szinuszhullám jelet küldött a memória-kevésbé lineáris rendszer , vagyis egy olyan rendszert, melynek kimeneti időpontban t csak attól függ a bemeneti időpontban t , és nem függ a bemenet minden korábbi alkalommal. Az ilyen rendszert egy válaszfüggvény írja le . Az előállított harmonikusok típusa az f válaszfüggvénytől függ : ${\ displaystyle V _ {\ text {out}} (t) = f (V _ {\ text {in}} (t))}}$

• Ha a válaszfüggvény páros, a kapott jel csak a bemenő szinuszhullám egyenletes harmonikusaiból áll; ${\ displaystyle 0f, 2f, 4f, 6f, \ dots}$
  • Az alapvető szintén páratlan harmonikus, ezért nem lesz jelen.
  • Egyszerű példa a teljes hullámú egyenirányító .
  • A komponens a DC-eltolást képviseli, a páros szimmetrikus átviteli függvények egyoldalú jellege miatt.${\ displaystyle 0f}$
• Ha páratlan, a kapott jel csak a bemenő szinusz hullám páratlan harmonikusaiból áll; ${\ displaystyle 1f, 3f, 5f, \ dots}$
  • A kimeneti jel félhullámú szimmetrikus lesz .
  • Egy egyszerű példa nyírás szimmetrikus push-pull erősítő .
• Amikor aszimmetrikus, a kapott jel páros vagy páratlan harmonikusokat tartalmazhat; ${\ displaystyle 1f, 2f, 3f, \ dots}$
  • Egyszerű példa a félhullámú egyenirányító és az aszimmetrikus A osztályú erősítő .

Ne feledje, hogy ez nem igaz a bonyolultabb hullámformák esetében. Egy fűrészfog hullám például páros és páratlan harmonikusokat tartalmaz. Páros szimmetrikus teljes hullámú egyenirányítás után háromszög hullámgá válik , amely a DC eltoláson kívül csak páratlan harmonikusokat tartalmaz.

Általánosítások

Többváltozós függvények

Egyenletes szimmetria:

A függvényt akkor is szimmetrikusnak nevezzük, ha: ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = f (-x_ {1}, - x_ {2}, \ ldots, -x_ {n}) \ quad { \ text {for}} x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ in \ mathbb {R}}$

Páratlan szimmetria:

A függvényt páratlan szimmetrikusnak nevezzük, ha: ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = - f (-x_ {1}, - x_ {2}, \ ldots, -x_ {n}) \ quad {\ text {for}} x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ in \ mathbb {R}}$

Komplex értékű függvények

A valós argumentum komplex értékű függvényeinek páros és páratlan szimmetriájának meghatározása hasonló a valós esethez, de összetett ragozással jár .

Egyenletes szimmetria:

Egy valós argumentum komplexen értékelt függvényét akkor is szimmetrikusnak nevezzük, ha: ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle f (x) = {\ overline {f (-x)}} \ quad {\ text {for all}} x \ in \ mathbb {R}}$

Páratlan szimmetria:

Egy valós argumentum komplexen értékelt függvényét páratlan szimmetrikusnak nevezzük, ha: ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle f (x) = - {\ overline {f (-x)}} \ quad {\ text {for all}} x \ in \ mathbb {R}}$

Véges hosszúságú szekvenciák

A páratlan és páros szimmetria meghatározása az N- pont szekvenciákra (azaz a forma függvényeire ) kiterjesztésre kerül az alábbiak szerint: ${\ displaystyle f: \ left \ {0,1, \ ldots, N-1 \ right \} \ to \ mathbb {R}}$

Egyenletes szimmetria:

Az N- pontú szekvenciát akkor is szimmetrikusnak nevezzük, ha

${\ displaystyle f (n) = f (Nn) \ quad {\ text {for all}} n \ in \ left \ {1, \ ldots, N-1 \ right \}.}$

Az ilyen szekvenciát gyakran palindrom szekvenciának nevezik ; lásd még Palindromikus polinom .

Páratlan szimmetria:

Az N- pontú szekvenciát páratlan szimmetrikusnak nevezzük, ha

${\ displaystyle f (n) = - f (Nn) \ quad {\ text {for all}} n \ in \ left \ {1, \ ldots, N-1 \ right \}.}$

Az ilyen szekvenciát néha anti-palindromikus szekvenciának nevezik ; lásd még Antipalindromikus polinom .

Lásd még

• Remetei függvény komplex számokban történő általánosításhoz
• Taylor sorozat
• Fourier sorozat
• Holstein – hering módszer
• Paritás (fizika)

Megjegyzések

Hivatkozások

• Gelfand, IM ; Glagoleva, EG; Shnol, EE (2002) [1969], Funkciók és grafikonok , Mineola, NY: Dover Publications