Egyenlő oldalú háromszög - Equilateral triangle

Egyenlő oldalú háromszög
Egyenlő oldalú háromszög
típus	Szabályos sokszög
Élek és csúcsok	3
Schläfli szimbólum	{3}
Coxeter diagram
Szimmetria csoport	D 3
Terület
Belső szög ( fok )	60 °

A geometriában az egyenlő oldalú háromszög olyan háromszög , amelyben mindhárom oldal azonos hosszúságú. A jól ismert euklideszi geometriában az egyenlő oldalú háromszög is egyenlőszögű ; vagyis mindhárom belső szög is egybevág egymással, és mindegyik 60 °. Ez is szabályos sokszög , ezért szabályos háromszögként is emlegetik .

Fő tulajdonságok

Egyenlő oldalú háromszög. Egyenlő oldalakkal ( ), egyenlő szögekkel ( ) és azonos magasságokkal ( ) rendelkezik.

{\ displaystyle a = b = c}

{\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma}

{\ displaystyle h_ {a} = h_ {b} = h_ {c}}

Ha az egyenlő oldalú háromszög oldalainak közös hosszát úgy jelöljük , hogy a Pitagorasz -tétel segítségével megállapíthatjuk, hogy: ${\ displaystyle a}$

A terület az , ${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2}}$
A kerület az ${\ displaystyle p = 3a \, \!}$
A sugár a körülírt kör van ${\ displaystyle R = {\ frac {a} {\ sqrt {3}}}}$
A sugár a beírt kör van , vagy ${\ displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {3}} {6}} a}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {R} {2}}}$
A háromszög geometriai középpontja a körülírt és beírt körök középpontja
A magasság (magasság) bármely oldalról ${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a}$

A körülírt kör sugarát R -ként jelölve , trigonometria segítségével megállapíthatjuk, hogy:

A háromszög területe ${\ displaystyle \ mathrm {A} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} R^{2}}$

Ezen mennyiségek közül soknak egyszerű kapcsolata van az ellenkező oldalról származó csúcsok magasságával ("h"):

A terület az ${\ displaystyle A = {\ frac {h^{2}} {\ sqrt {3}}}}$
A magasság a minden oldalánál középen, vagy apothem , jelentése ${\ displaystyle {\ frac {h} {3}}}$
A három csúcsot körülölelő kör sugara az ${\ displaystyle R = {\ frac {2h} {3}}}$
A beírt kör sugara az ${\ displaystyle r = {\ frac {h} {3}}}$

Egy egyenlő oldalú háromszögben a tengerszint feletti magasságok, a szögfelezők, a merőleges felezők és a mediánok egybeesnek.

Jellemzők

A háromszög ABC , amely az oldalán egy , b , c , semiperimeter s , terület T , exradii r _egy , R _b , R _c (érintője egy , b , c , illetve), és ahol R és R jelentése a sugara a körülírt és incircle , akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha a következő kilenc kategória egyik állítása igaz. Így ezek olyan tulajdonságok, amelyek egyedülállóak az egyenlő oldalú háromszögekre, és ha tudjuk, hogy bármelyikük igaz, közvetlenül azt jelenti, hogy van egyenlő oldalú háromszögünk.

Oldalak

${\ displaystyle \ displaystyle a = b = c}$
${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {a}}+{\ frac {1} {b}}+{\ frac {1} {c}} = {\ frac {\ sqrt {25Rr-2r^{ 2}}} {4Rr}}}$

Félmérő

${\ displaystyle \ displaystyle s = 2R+(3 {\ sqrt {3}}-4) r \ quad {\ text {(Blundon)}}}$
${\ displaystyle \ displaystyle s^{2} = 3r^{2}+12Rr}$
${\ displaystyle \ displaystyle s^{2} = 3 {\ sqrt {3}} T}$
${\ displaystyle \ displaystyle s = 3 {\ sqrt {3}} r}$
${\ displaystyle \ displaystyle s = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} R}$

Szögek

${\ displaystyle \ displaystyle A = B = C = 60^{\ circ}}$
${\ displaystyle \ displaystyle \ cos {A}+\ cos {B}+\ cos {C} = {\ frac {3} {2}}}$
${\ displaystyle \ displaystyle \ sin {\ frac {A} {2}} \ sin {\ frac {B} {2}} \ sin {\ frac {C} {2}} = {\ frac {1} {8 }}}$

Terület

${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}} {4 {\ sqrt {3}}}} \ quad}$ ( Weitzenböck )
${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc)^{^{\ frac {2} {3}}}}$

Circumradius, inradius és exradii

${\ displaystyle \ displaystyle R = 2r \ quad {\ text {(Chapple-Euler)}}}$
${\ displaystyle \ displaystyle 9R^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
${\ displaystyle \ displaystyle r = {\ frac {r_ {a}+r_ {b}+r_ {c}} {9}}}$
${\ displaystyle \ displaystyle r_ {a} = r_ {b} = r_ {c}}$

Egyenlő cevians

Háromféle cevian egybeesik és egyenlő az egyenlő oldalú háromszögek esetében (és csak):

A három magasság egyenlő hosszúságú.
A három medián egyenlő hosszúságú.
A három szögfelező egyenlő hosszúságú.

Véletlen háromszög középpont

Egy egyenlő oldalú háromszög minden háromszög -középpontja egybeesik a középponttal , ami azt jelenti, hogy az egyenlő oldalú háromszög az egyetlen olyan háromszög, amelynek Euler -vonala nem köt össze néhány középpontot. Néhány háromszögközpont -pár esetében az a tény, hogy egybeesnek, elegendő ahhoz, hogy a háromszög egyenlő oldalú legyen. Különösen:

Egy háromszög egyenlő oldalú, ha a körcentrum , az ösztönző , a középpont vagy az ortocentrum bármelyike egybeesik.
Az is egyenlő oldalú, ha a körcentruma egybeesik a Nagel-ponttal , vagy ha ösztönzője egybeesik a kilencpontos középpontjával .

Hat háromszög a mediánok felosztásával

Bármely háromszög esetén a három középső hat háromszögre osztja a háromszöget.

A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha bármelyik három kisebb háromszög kerülete vagy azonos a sugárzása.
Egy háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha a három háromszög bármelyikének a körvonalai azonos távolságra vannak a középponttól.

Pontok a síkban

A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha a sík minden P pontja esetében a p , q és r távolságok a háromszög oldalaihoz és x , y és z távolságai a csúcsokhoz,

{\ displaystyle 4 (p^{2}+q^{2}+r^{2}) \ geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}

Nevezetes tételek

Viviani tételének vizuális bizonyítása

1.	A P ponttól az ABC egyenlő oldalú háromszög oldalaihoz legközelebbi távolságok láthatók.
2.	Az AB, BC és CA párhuzamos DE, FG és HI vonalak kisebb PHE, PFI és PDG háromszögeket határoznak meg.
3.	Mivel ezek a háromszögek egyenlő oldalúak, magasságukat függőlegesre lehet forgatni.
4.	Mivel a PGCH egy paralelogramma, a PHE háromszög felcsúsztatható annak jelzésére, hogy a magasságok összeadódnak az ABC háromszögével.

Morley háromszoros tétele kimondja, hogy bármelyik háromszögben a szomszédos szöghármasok három metszéspontja egyenlő oldalú háromszöget alkot.

Napóleon tétele kimondja, hogy ha egyenlő oldalú háromszögeket bármelyik háromszög oldalaira építenek, akár kifelé, akár befelé, akkor az egyenlő oldalú háromszögek középpontjai egyenlő oldalú háromszöget alkotnak.

A háromszögek izoperimetrikus egyenlőtlenségének egyik változata szerint az adott kerületűek közül a legnagyobb területű háromszög egyenlő oldalú.

Viviani tétele kimondja, hogy bármely belső belső P pontra egy egyenlő oldalú háromszögben, amelynek d , e és f távolsága az oldalaktól és a h magasság ,

{\ displaystyle d+e+f = h,}

P helyétől függetlenül .

Pompeiu tétele azt állítja, hogy ha P tetszőleges pont az ABC egyenlő oldalú háromszög síkjában, de nem a körkörös , akkor létezik egy PA , PB és PC hosszúságú háromszög . Vagyis a PA , PB és PC kielégíti azt a háromszög -egyenlőtlenséget, hogy bármelyik kettő összege nagyobb, mint a harmadik. Ha P a körkörös, akkor a két kisebb összege a leghosszabb, és a háromszög egyenessé fajult , ezt az esetet Van Schooten tételeként ismerjük .

Egyéb tulajdonságok

Azáltal Euler egyenlőtlenséget , az egyenlő oldalú háromszög a legkisebb aránya R / R a körülírt kör a inradius bármely háromszög: konkrétan, R / R = 2.

Az adott körbe írtak közül a legnagyobb területű háromszög egyenlő oldalú; és az adott kör köré írt körök közül a legkisebb területű háromszög egyenlő oldalú.

Az incircle és az egyenlő oldalú háromszög területének aránya nagyobb, mint bármely nem egyenlő oldalú háromszögé. ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

A terület és az egyenlő oldalú háromszög kerülete négyzetének aránya nagyobb, mint bármely más háromszögé. ${\ displaystyle {\ frac {1} {12 {\ sqrt {3}}}},}$

Ha egy szakasz egy egyenlő oldalú háromszöget két egyenlő kerületű és A ₁ és A ₂ területű régióra oszt fel , akkor

{\ displaystyle {\ frac {7} {9}} \ leq {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} \ leq {\ frac {9} {7}}.}

Ha egy háromszöget a komplex síkba helyezünk, z ₁ , z ₂ és z ₃ összetett csúcsokkal , akkor az 1 nem valós kockagyökére a háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú ${\ displaystyle \ omega}$

{\ displaystyle z_ {1}+\ omega z_ {2}+\ omega ^{2} z_ {3} = 0.}

Adott egy P pont az egyenlő oldalú háromszög belsejében, a csúcsoktól mért távolságok és az oldalak közötti távolságok összegének aránya nagyobb vagy egyenlő, mint 2, egyenlőség akkor, ha P a középpont. Más háromszögben nincs olyan pont, amelynél ez az arány olyan kicsi, mint 2. Ez az Erdős – Mordell egyenlőtlenség ; egy erősebb változata ez Barrow-egyenlőtlenséget , amely helyettesíti a merőleges távolságát az oldalán a távolságok P a pontokat, ahol a szög osztásának a ∠ APB , ∠ BPC , és ∠ CPA át az oldalán ( A , B , és C lény a csúcsok).

A sík bármelyik P pontjára , p , q és t távolságra az A , B és C csúcsoktól,

{\ displaystyle \ displaystyle 3 (p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}) = (p^{2}+q^{2}+t^{2} +a^{2})^{2}.}

A sík bármelyik P pontjára , p , q és t távolságra a csúcsoktól,

{\ displaystyle \ displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2} = 3 (R^{2}+L^{2})}

és

{\ displaystyle \ displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4} = 3 [(R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2} L^ {2}],}

ahol R a körülírt sugár és L a P pont és az egyenlő oldalú háromszög középpontja közötti távolság .

Egy egyenlő oldalú háromszög beírt körének bármelyik P pontjára , p , q és t távolságra a csúcsoktól,

{\ displaystyle \ displaystyle 4 (p^{2}+q^{2}+t^{2}) = 5a^{2}}

és

{\ displaystyle \ displaystyle 16 (p^{4}+q^{4}+t^{4}) = 11a^{4}.}

Bármelyik P pontra a körkör BC kisebb ívén, p , q és t távolságokkal A, B és C között,

{\ displaystyle \ displaystyle p = q+t}

és

{\ displaystyle \ displaystyle q^{2}+qt+t^{2} = a^{2};}

Továbbá, ha a BC oldal D pontja felosztja a PA -t PD és DA szegmensekre úgy, hogy DA hosszúságú z és PD y hosszúságú , akkor

{\ displaystyle z = {\ frac {t^{2}+tq+q^{2}} {t+q}},}

amely szintén egyenlő, ha t ≠ q ; és ${\ displaystyle {\ tfrac {t^{3} -q^{3}} {t^{2} -q^{2}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {q}}+{\ frac {1} {t}} = {\ frac {1} {y}},}

ami az optikai egyenlet .

Számos olyan háromszög egyenlőtlenség van, amely akkor és csak akkor egyenlő, ha a háromszög egyenlő oldalú.

Az egyenlő oldalú háromszög a legszimmetrikusabb háromszög, amelynek 3 visszaverődési vonala és a középpontja körül 3 -as nagyságú forgási szimmetria van. A szimmetria-csoport jelentése a diédercsoport rend 6 D ₃ .

Az egyenlő oldalú háromszögek az egyetlen olyan háromszögek, amelyek Steiner -inellipszise egy kör (pontosabban a bekarikázott kör).

Az egész oldalas egyenlő oldalú háromszög az egyetlen háromszög, amelynek egész oldalai és három racionális szöge van, fokban mérve.

Az egyenlő oldalú háromszög az egyetlen hegyes háromszög, amely hasonló az orthikus háromszögéhez (csúcsokkal a magasság lábánál ) (a hetszögű háromszög az egyetlen tompa).

A szabályos tetraéder négy egyenlő oldalú háromszögből áll.

Az egyenlő oldalú háromszögek sok más geometriai konstrukcióban is megtalálhatók. Azok a körök metszéspontja, amelyek középpontja egymástól sugár szélességű, egyenlő oldalú ívek párja, amelyek mindegyike felírható egy egyenlő oldalú háromszöggel. Szabályos és egységes poliéderek arcát alkotják . Az öt platóni szilárd anyagból három egyenlő oldalú háromszögből áll. Különösen a szabályos tetraéder négy egyenlő oldalú háromszöge van az arcokhoz, és az alak háromdimenziós analógjának tekinthető. A sík csempézhető egyenlő oldalú háromszögek segítségével, így a háromszög burkolás .

Geometriai felépítés

Egyenlő oldalú háromszög építése iránytűvel és egyenes szegéllyel

Egy egyenlő oldalú háromszög könnyen felépíthető egyenes és iránytű használatával , mert a 3 Fermat prím . Rajzoljon egy egyenest, és helyezze az iránytű pontját a vonal egyik végére, és forgassa el az ívet attól a ponttól a vonalszakasz másik pontjáig. Ismételje meg a vonal másik oldalával. Végül csatlakoztassa a vonalszakasz mindkét végéhez azt a pontot, ahol a két ív metszi egymást

Alternatív módszer az r sugarú kör rajzolása , az iránytű pontjának elhelyezése a körön, és egy másik, azonos sugarú kör rajzolása. A két kör két pontban metszi egymást. Egy egyenlő oldalú háromszög állítható fel a körök két középpontjának és a metszéspontok bármelyikének figyelembevételével.

Mindkét módszerben melléktermék a vesica piscis kialakulása .

A bizonyíték arra, hogy a kapott ábra egyenlő oldalú háromszög, az első javaslat az Euklidész elemei I. könyvben .

Területképlet levezetése

A terület általános képletű szempontjából oldalhosszúságú egy levezethető közvetlenül a Pitagorasz-tétel vagy a trigonometriai. ${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2}}$

A Pitagorasz -tétel felhasználásával

A háromszög területe fele az egyik oldalon egy alkalommal a magasságot h arról az oldalról:

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ah.}

Egy egyenlő oldalú háromszög, amelynek oldala 2, magassága

\sqrt 3

, mivel a 60 ° szinusz

\sqrt 3 /2

.

A lábak a vagy jobb által alkotott háromszög magasságban az egyenlő oldalú háromszög a fele a bázis egy , és a átfogója az oldalán egy egyenlő oldalú háromszög. Egy egyenlő oldalú háromszög magasságát a Pitagorasz -tétel segítségével találjuk meg

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right)^{2}+h^{2} = a^{2}}

hát azt

{\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a.}

A h helyettesítése az (1/2) ah területképlettel megadja az egyenlő oldalú háromszög területképletét:

{\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2}.}

A trigonometria használata

A trigonometria segítségével egy háromszög területe, amelynek bármely két oldala a és b , valamint a köztük lévő C szög

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin C.}

Egy egyenlő oldalú háromszög minden szöge 60 °, tehát

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin 60^{\ circ}.}

A 60 ° szinusz . És így ${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}}}$

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ times {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} ab = { \ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2}}

mivel az egyenlő oldalú háromszög minden oldala egyenlő.

A kultúrában és a társadalomban

Az ember alkotta szerkezetekben gyakran jelentek meg egyenlő oldalú háromszögek:

Ez a forma a modern építészetben fordul elő, például a Gateway Arch keresztmetszetében .
A zászlókban és heraldikában való alkalmazása magában foglalja Nicaragua és a Fülöp -szigetek zászlaját .
Különféle útjelző táblák alakja , beleértve a hozamtáblát is .

Lásd még

Hivatkozások

Külső linkek

Weisstein, Eric W. "Egyenoldalú háromszög" . MathWorld .

v t e Alapvetően domború szabályos és egységes politópok , 2–10
Család	A _n	B _n	I ₂ (p) / D _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Szabályos sokszög	Háromszög	Négyzet	p-gon	Hatszög	Pentagon
Egységes poliéder	Tetraéder	Octahedron • Kocka	Demicube		Dodekaéder • Ikozaéder
Egységes polichoron	Pentachoron	16 cella • Tesseract	Demitesseract	24-cellás	120 cella • 600 cella
Egységes 5-politóp	5-szimplex	5-orthoplex • 5-kocka	5-demicube
Egységes 6-politóp	6-szimplex	6-orthoplex • 6-kocka	6-demicube	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Egységes 7-politóp	7-szimplex	7-orthoplex • 7-kocka	7-demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Egységes 8-politóp	8-szimplex	8-orthoplex • 8-kocka	8-demicube	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Egységes 9-politóp	9-szimplex	9-orthoplex • 9-kocka	9-demicube
Egységes 10-politóp	10-szimplex	10-orthoplex • 10-kocka	10-demicube
Egységes n - politóp	n - szimplex	n - orthoplex • n - kocka	n - demicube	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n - ötszögletű politóp
Témák: Politópcsaládok • Szabályos politóp • Szabályos politópok és vegyületek listája

Languages

In other projects