Koprodukció - Coproduct

A kategória elmélet , a melléktermék , vagy kategorikus összeg , olyan konstrukció, amely magában foglalja példaként a diszjunkt egyesítését a készletek és topologikus terek , a szabad termék a csoportok , és a direkt összege a modulok és vektorterek . Az objektumcsalád koprodukciója lényegében a "legkevésbé specifikus" objektum, amelyhez a család minden objektuma morfizmust ismer . Ez a kategóriaelméleti kettős fogalom a kategorikus termékhez , ami azt jelenti, hogy a definíció ugyanaz, mint a termék, de minden nyila fordítva van. A név és a jelölés látszólag ártalmatlan változása ellenére a társtermékek drámaian eltérhetnek a termékektől.

Meghatározás

Hadd legyen egy kategóriát , és hagyja, és legyen tárgyak tárgya az úgynevezett melléktermék a és írott vagy , vagy néha egyszerűen ha létezik morfizmusok és megfelel az alábbi általános tulajdonság : minden tárgy és minden morfizmusok és létezik egy egyedülálló morfizmus úgyhogy és E azaz a következő diagram ingázik : ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ displaystyle C.}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2},}$${\ displaystyle X_ {1} \ coprod X_ {2},}$${\ displaystyle X_ {1} \ oplus X_ {2},}$${\ displaystyle X_ {1}+X_ {2},}$${\ displaystyle i_ {1}: X_ {1} \ X_ {1} \ coprod X_ {2}}$${\ displaystyle i_ {2}: X_ {2} \ X_ {1} \ coprod X_ {2}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f_ {1}: X_ {1} \ Y -ig}$${\ displaystyle f_ {2}: X_ {2} \ Y,}$${\ displaystyle f: X_ {1} \ coprod X_ {2} \ to Y}$${\ displaystyle f_ {1} = f \ circ i_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2} = f \ circ i_ {2}.}$

Az egyedi nyíl, amely ezt a diagramot ingázássá teszi, jelölhető vagy A morfizmusok, és kanonikus injekcióknak nevezzük , bár ezeknek nem kell injekcióknak vagy akár monikusnak lenniük . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {1} \ coprod f_ {2},}$ ${\ displaystyle f_ {1} \ oplus f_ {2},}$ ${\ displaystyle f_ {1}+f_ {2},}$${\ displaystyle \ left [f_ {1}, f_ {2} \ right].}$${\ displaystyle i_ {1}}$${\ displaystyle i_ {2}}$

A meghatározás a társtermék lehet terjeszteni egy tetszőleges család tárgyak által indexelt egy sor A melléktermék a család egy objektum együtt gyűjteménye morfizmusok olyan, hogy bármilyen tárgy és bármely gyűjteménye morfizmusok létezik egy egyedülálló morfizmus olyan, hogy Vagyis a következő diagram ingázik mindegyikhez : ${\ displaystyle J.}$${\ displaystyle \ left \ {X_ {j}: j \ in J \ right \}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle i_ {j}: X_ {j} \ - X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f_ {j}: X_ {j} \ Y -ig}$${\ displaystyle f: X \ Y}$${\ displaystyle f_ {j} = f \ circ i_ {j}.}$${\ displaystyle j \ in J}$

A család koprodukcióját gyakran jelölik, ill${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ left \ {X_ {j} \ right \}}$${\ displaystyle \ coprod _ {j \ itt: J} X_ {j}}$${\ displaystyle \ bigoplus _ {j \ itt: J} X_ {j}.}$

Néha a morfizmust jelölhetjük annak jelzésére, hogy függ az egyéntől . ${\ displaystyle f: X \ Y}$${\ displaystyle \ coprod _ {j \ itt: J} f_ {j}}$${\ displaystyle f_ {j}}$

Példák

A melléktermék a kategóriában készletek egyszerűen a diszjunkt egyesítését a térképek i _j pedig a befogadás térképeket . A közvetlen termékekkel ellentétben a többi kategóriába tartozó koprodukciók nem mind nyilvánvalóan a halmazok fogalmán alapulnak, mivel a szakszervezetek nem viselkednek jól a megőrzési műveletek tekintetében (pl. Két csoport egyesülésének nem kell csoportnak lennie), és így a különböző termékek kategóriák drámaian eltérhetnek egymástól. Például a csoportok kategóriájában az ingyenes terméknek nevezett társtermék meglehetősen bonyolult. Másrészről, az abeli csoportok kategóriájában (és ugyanúgy a vektoros terek esetében ) a közvetlen összegnek nevezett társtermék a közvetlen termék elemeiből áll, amelyeknek csak véges sok nem nulla kifejezésük van. (Ezért pontosan egybeesik a közvetlen termékkel véges sok tényező esetén.)

Adott R kommutatív gyűrű , a kommutatív R -algebras kategória társterméke a tenzor termék . A (nem kommutatív) R -algebrák kategóriájában a koproduktum a tenzoros algebra hányadosa (lásd az asszociatív algebrák ingyenes termékét ).

A topológiai terek esetében a koprodukciók diszjunkt szakszervezetek a diszjunkt unió topológiájukkal . Vagyis a mögöttes halmazok diszjunkt uniója, és a nyílt halmazok minden egyes mezőben nyitott halmazok , meglehetősen nyilvánvaló értelemben. A hegyes terek kategóriájában, amely a homotópia elméletében alapvető , a társtermék az ékösszeg (ami azt jelenti, hogy egy közös bázispontban lévő bázispontokkal rendelkező terek gyűjteményét egyesítik).

Mindezen eltérések ellenére az egész középpontjában továbbra is egy széteső unió áll: az abeli csoportok közvetlen összege a "majdnem" szétválasztott unió (az összes nem nulla elem szétválasztott egysége, egy közös nulla), hasonlóan a vektoros terekhez: a "majdnem" szétválasztó egység által átfogott tér ; a csoportoknak szóló ingyenes terméket a "szinte szétválasztott" unió összes betűhalmaza generálja, ahol két különböző halmazból származó elem nem ingázhat.

A poset kategória koprodukciója az összekapcsolási művelet.

Vita

A fentiekben ismertetett koprodukciós konstrukció valójában a kolimit különleges esete a kategóriaelméletben. A melléktermék a kategóriát lehet meghatározni, mint az colimit bármely funktorhoz egy diszkrét kategóriába be . Nem minden család lesz a melléktermék általában, de ha mégis, akkor a melléktermék egyedülálló erős értelme: ha és két melléktermékeket a család , akkor (a meghatározása melléktermékeket) létezik egy egyedülálló izomorfizmus , hogy az mindegyik . ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$${\ displaystyle i_ {j}: X_ {j} \ jobbra nyíl X}$${\ displaystyle k_ {j}: X_ {j} \ jobbra mutató nyíl Y}$${\ displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle f \ circ i_ {j} = k_ {j}}$${\ displaystyle j \ in J}$

Mint minden univerzális tulajdonság , a társtermék univerzális morfizmusként is felfogható. Legyen az az átlós functor, amely minden objektumhoz rendeli a rendezett párt és minden morfizmushoz a párt . Ezután a mellékterméket a megadott egy univerzális morfizmus a funktorhoz az objektum az . ${\ displaystyle \ Delta: C \ jobbra mutató C \ x C}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ left (X, X \ right)}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle \ left (f, f \ right)}$${\ displaystyle X+Y}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ left (X, Y \ right)}$${\ displaystyle C \ times C}$

A melléktermék indexelt a üres halmaz (azaz, egy üres melléktermék ) ugyanaz, mint az eredeti célja a . ${\ displaystyle C}$

Ha a készlet olyan, hogy a családokhoz tartozó összes társtermék létezik, akkor a termékeket kompatibilis módon választhatja ki, hogy a koproduktum működésképessé váljon . A család koprodukcióját ekkor gyakran jelölik ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle C^{J} \ jobbra mutató C}$${\ displaystyle \ lbrace X_ {j} \ rbrace}$

${\ displaystyle \ coprod _ {j \ itt: J} X_ {j}}$

és a térképeket természetes injekcióknak nevezik . ${\ displaystyle i_ {j}}$

Hagyta halmaza minden morfizmusok származó , hogy a (azaz az hom-set in ), van egy természetes izomorfizmus${\ displaystyle \ operatornév {Hom} _ {C} \ left (U, V \ right)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle \ operatornév {Hom} _ {C} \ left (\ coprod _ {j \ in J} X_ {j}, Y \ right) \ cong \ prod _ {j \ in J} \ operatornév {Hom} _ {C} (X_ {j}, Y)}$

által adott bijekciót ami leképezi minden rekord a morfizmusok

${\ displaystyle (f_ {j}) _ {j \ in J} \ in \ prod _ {j \ in J} \ operatornév {Hom} (X_ {j}, Y)}$

(egy termék a halmazban , a halmazok kategóriája , amely a derékszögű szorzat , tehát egy sor morfizmus) a morfizmushoz

${\ displaystyle \ coprod _ {j \ in J} f_ {j} \ in \ operatornév {Hom} \ left (\ coprod _ {j \ in J} X_ {j}, Y \ right).}$

Az, hogy ez a térkép egy felvetés , a diagram kommutativitásának következménye: minden morfizmus a sor társterméke ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle (f \ circ i_ {j}) _ {j \ in J}.}$

Ez az injekció az egyetemes konstrukcióból következik, amely előírja az ilyen térképek egyediségét. Az izomorfizmus természetessége is a diagram következménye. Így az ellentétes hom-functor a melléktermékeket termékekké változtatja. Másképpen is fogalmazva, a hom-functor, amelyet funckorként tekintünk a Set-hez ellentétes kategóriából , folyamatos; megőrzi a korlátokat (a benne lévő koproduktum egy termék ). ${\ displaystyle C^{\ operatornév {op}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C^{\ operatornév {op}}}$

Ha mondjuk egy véges halmaz , akkor az objektumok társtermékét gyakran jelöli . Tegyük fel, hogy minden véges társtermék létezik a C -ben , a társtermék -funkciókat a fentiek szerint választottuk, és a 0 a C kezdeti objektumát jelöli, amely megfelel az üres társterméknek. Ekkor természetes izomorfizmusaink vannak${\ displaystyle J}$${\ displaystyle J = \ lbrace 1, \ ldots, n \ rbrace}$${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$${\ displaystyle X_ {1} \ oplus \ ldots \ oplus X_ {n}}$

${\ displaystyle X \ oplus (Y \ oplus Z) \ cong (X \ oplus Y) \ oplus Z \ cong X \ oplus Y \ oplus Z}$

${\ displaystyle X \ oplus 0 \ cong 0 \ oplus X \ cong X}$

${\ displaystyle X \ oplus Y \ cong Y \ oplus X.}$

Ezek a tulajdonságok formailag hasonlóak a kommutatív monoidokhoz ; a véges társtermékekkel rendelkező kategória egy példa a szimmetrikus monoid kategóriára .

Ha a kategória egy nulla objektumot , akkor van egy egyedi morfizmus (mivel a terminál ), így a morfizmus . Mivel ez is kezdeti, van egy kanonikus izomorfizmusunk, mint az előző bekezdésben. Így morfizmusaink vannak, és amelyek alapján egy kanonikus morfizmusra következtetünk . Ez kiterjeszthető indukcióval egy kanonikus morfizmusra bármely véges társtermékből a megfelelő termékhez. Ennek a morfizmusnak általában nem kell izomorfizmusnak lennie; a Grp -ben ez egy megfelelő epimorfizmus, míg a Set _{* -ban} (a hegyes halmazok kategóriája ) megfelelő monomorfizmus . Bármely preadditív kategóriában ez a morfizmus izomorfizmus, és a megfelelő objektumot kéttermékként ismerik . Az összes véges kétterméket tartalmazó kategória félig additív kategória . ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X \ rightarrow Z}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow Z \ oplus Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z \ oplus Y \ cong Y}$${\ displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow X}$${\ displaystyle X \ oplus Y \ rightarrow Y}$${\ displaystyle X \ oplus Y \ jobbra nyíl X \ x Y}$

Ha minden család tárgyak által indexelt van melléktermékeket a , majd a melléktermék tartalmaz funktorhoz . Ne feledje, hogy a termékhez hasonlóan ez a funktor is kovariáns . ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C^{J} \ jobbra mutató C}$

Lásd még

• Termék
• Korlátok és colimits
• Koekalizátor
• Közvetlen korlát

Hivatkozások

• Mac Lane, Saunders (1998). Kategóriák a dolgozó matematikus számára . Diplomás szövegek matematikából . 5 (2. kiadás). New York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

Külső linkek

• Interaktív weboldal, amely példákat generál a véges halmazok kategóriájába tartozó koprodukciókra. Írta: Jocelyn Paine .