Graphique de permutation - Permutation graph

Diagramme de correspondance pour la permutation (4,3,5,1,2), en dessous de son graphique de permutation correspondant

En mathématiques , un graphe de permutation est un graphe dont les sommets représentent les éléments d'une permutation , et dont les arêtes représentent des paires d'éléments qui sont inversés par la permutation . Les graphiques de permutation peuvent également être définis géométriquement, comme les graphiques d'intersection de segments de ligne dont les extrémités se trouvent sur deux lignes parallèles . Différentes permutations peuvent donner lieu au même graphe de permutation ; un graphe donné a une représentation unique (à symétrie de permutation près) s'il est premier par rapport à la décomposition modulaire .

Définition et caractérisation

Si est une permutation des nombres de à , alors on peut définir un graphe de permutation à partir duquel il y a des sommets , et dans lequel il y a une arête pour deux indices et pour lesquels et . Autrement dit, deux indices et déterminer une arête dans le graphe de permutation exactement quand ils déterminent une inversion dans la permutation. $\rho =(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{n})$ ${\style d'affichage 1}$ ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage \sigma }$ ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage v_{1},v_{2},...,v_{n}}$ $v_{i}v_{j}$ ${\style d'affichage i}$ ${\style d'affichage j}$ ${\style d'affichage i<j}$ $\sigma _{i}>\sigma _{j}$ ${\style d'affichage i}$ ${\style d'affichage j}$

Étant donné une permutation , on peut également déterminer un ensemble de segments de droite avec des extrémités et . Les extrémités de ces segments se situent sur les deux droites parallèles et , et deux segments ont une intersection non vide si et seulement si elles correspondent à une inversion dans la permutation. Ainsi, le graphe de permutation de coïncide avec le graphe d'intersection des segments. Pour chaque deux lignes parallèles et chaque ensemble fini de segments de ligne avec des extrémités sur les deux lignes, le graphique d'intersection des segments est un graphique de permutation ; dans le cas où les extrémités des segments sont toutes distinctes, une permutation dont c'est le graphe de permutation peut être donnée en numérotant les segments sur l'une des deux lignes dans un ordre consécutif, et en lisant ces nombres dans l'ordre d'apparition des extrémités des segments sur l'autre ligne. ${\style d'affichage \sigma }$ ${\style d'affichage s_{i}}$ ${\style d'affichage (i,0)}$ ${\style d'affichage (\sigma _{i},1)}$ ${\style d'affichage y=0}$ ${\style d'affichage y=1}$ ${\style d'affichage \sigma }$

Les graphes de permutation ont plusieurs autres caractérisations équivalentes :

Un graphe est un graphe de permutation si et seulement si est un graphe circulaire qui admet un équateur, c'est-à-dire un accord supplémentaire qui coupe tous les autres accords. ${\style d'affichage G}$ ${\style d'affichage G}$
Un graphe est un graphe de permutation si et seulement si les deux et son complément sont des graphes de comparabilité . ${\style d'affichage G}$ ${\style d'affichage G}$ ${\overline {G}}$
Un graphe est un graphe de permutation si et seulement si c'est le graphe de comparabilité d'un ensemble partiellement ordonné qui a une dimension d'ordre au plus deux. ${\style d'affichage G}$
Si un graphe est un graphe de permutation, son complément l'est aussi. Une permutation qui représente le complément de peut être obtenue en inversant la permutation représentant . ${\style d'affichage G}$ ${\style d'affichage G}$ ${\style d'affichage G}$

Algorithmes efficaces

Il est possible de tester si un graphe donné est un graphe de permutation, et si c'est le cas de construire une permutation le représentant, en temps linéaire .

En tant que sous-classe des graphes parfaits , de nombreux problèmes NP-complets pour des graphes arbitraires peuvent être résolus efficacement pour des graphes de permutation. Par exemple:

la plus grande clique dans un graphique de permutation correspond à la plus longue sous - séquence décroissante dans la permutation définissant le graphique, de sorte que le problème de clique peut être résolu en temps polynomial pour les graphiques de permutation en utilisant un algorithme de sous-séquence décroissante la plus longue.
de même, une sous-séquence croissante dans une permutation correspond à un ensemble indépendant de même taille dans le graphe de permutation correspondant.
la largeur d'arbre et la largeur de chemin des graphes de permutation peuvent être calculées en temps polynomial ; ces algorithmes exploitent le fait que le nombre de séparateurs de sommets minimaux d'inclusion dans un graphe de permutation est polynomial dans la taille du graphe.

Relation avec d'autres classes de graphes

Les graphes de permutation sont un cas particulier des graphes circulaires , des graphes de comparabilité , des compléments de graphes de comparabilité et des graphes trapézoïdaux .

Les sous-classes des graphes de permutation comprennent les graphes de permutation bipartites (caractérisés par Spinrad, Brandstädt & Stewart 1987 ) et les cographes .

Remarques

Les références

Boulanger, Kirby A.; Fishburn, Peter C. ; Roberts, Fred S. (1971), "Ordres partiels de dimension 2", Réseaux , 2 (1) : 11-28, doi : 10.1002/net.3230020103.
Bodlaender, Hans L. ; Kloks, Ton; Kratsch, Dieter (1995), "Treewidth and pathwidth of permutation graphs", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 8 (4): 606-616, doi : 10.1137/S089548019223992X , hdl : 1874/16657.
Brandstädt, Andreas ; Le, Van Bang; Spinrad, Jeremy P. (1999), Graph Classes: A Survey , SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, ISBN 0-89871-432-X.
Douchnik, Ben ; Miller, Edwin W. (1941), "Ensembles partiellement ordonnés" (PDF) , American Journal of Mathematics , 63 (3) : 600–610, doi : 10.2307/2371374 , JSTOR 2371374.
Golumbic, Martin C. (1980), Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs , Computer Science and Applied Mathematics, Academic Press, p. 159.
McConnell, Ross M.; Spinrad, Jeremy P. (2011), « Décomposition modulaire et orientation transitive », Mathématiques discrètes , 201 (1–3) : 189–241, arXiv : 1010.5447 , doi : 10.1016/S0012-365X(98)00319-7 , MR 1687819.
Spinrad, Jérémy P. ; Brandstädt, Andreas ; Stewart, Lorna K. (1987), "Bipartite permutation graphs", Discrete Applied Mathematics , 18 (3) : 279-292, doi : 10.1016/s0166-218x(87)80003-3.

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