fonction exponentielle p -adique - p-adic exponential function

En mathématiques , en particulier l' analyse p- adique , la fonction exponentielle p- adique est un analogue p- adique de la fonction exponentielle habituelle sur les nombres complexes . Comme dans le cas complexe, il a une fonction inverse, appelée logarithme p- adique .

Définition

La fonction exponentielle habituelle sur C est définie par la série infinie

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

De manière tout à fait analogue, on définit la fonction exponentielle sur C _p , l'achèvement de la clôture algébrique de Q _p , par

${\displaystyle \exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Cependant, contrairement à exp qui converge sur tout C , exp _p ne converge que sur le disque

${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.}$

En effet, les séries p -adiques convergent si et seulement si les sommes tendent vers zéro, et puisque le n ! dans le dénominateur de chaque somme tend à les rendre très grands p -adiquement, une petite valeur de z est plutôt nécessaire dans le numérateur.

fonction logarithme p -adique

La série de puissance

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}$

converge pour x dans C _p satisfaisant | x | _p  < 1 et définit ainsi la fonction logarithmique p -adique log _p ( z ) pour | z  − 1| _p  < 1 satisfaisant la propriété usuelle log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w . La fonction log _p peut être étendue à tout C ×
p (l'ensemble des éléments non nuls de C _p ) en imposant qu'il continue à satisfaire cette dernière propriété et en fixant log _p ( p ) = 0. Plus précisément, tout élément w de C ×
p peut être écrit comme w  =  p ^r ·ζ· z avec r un nombre rationnel, ζ une racine de l'unité, et | z  − 1| _p  < 1, auquel cas log _p ( w ) = log _p ( z ). Cette fonction sur C ×
p est parfois appelé logarithme d'Iwasawa pour souligner le choix de log _p ( p ) = 0. En fait, il existe une extension du logarithme de | z  − 1| _p  < 1 à tout C ×
p pour chaque choix de log _p ( p ) dans C _p .

Propriétés

Si z et w sont tous les deux dans le rayon de convergence pour exp _p , alors leur somme l'est aussi et nous avons la formule d'addition habituelle : exp _p ( z  +  w ) = exp _p ( z ) exp _p ( w ).

De même si z et w sont des éléments non nuls de C _p alors log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w .

Pour z dans le domaine de exp _p , nous avons exp _p (log _p (1+ z )) = 1+ z et log _p (exp _p ( z )) =  z .

Les racines du logarithme d'Iwasawa log _p ( z ) sont exactement les éléments de C _p de la forme p ^r ·ζ où r est un nombre rationnel et est une racine de l'unité.

Notons qu'il n'y a pas d'analogue dans C _p de l'identité d' Euler , e ^{2 i}  = 1. Ceci est un corollaire du théorème de Strassmann .

Une autre différence majeure par rapport à la situation dans C est que le domaine de convergence de exp _p est beaucoup plus petit que celui de log _p . Une fonction exponentielle modifiée - l'exponentielle d' Artin-Hasse - peut être utilisée à la place qui converge vers | z | _p  < 1.

Remarques

Les références

• Chapitre 12 de Cassels, JWS (1986). Champs locaux . Textes des étudiants de la London Mathematical Society . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 0-521-31525-5.
• Cohen, Henri (2007), Théorie des nombres, Volume I : Outils et équations diophantiennes , Textes d'études supérieures en mathématiques , 239 , New York : Springer, doi : 10.1007/978-0-387-49923-9 , ISBN 978-0-387-49922-2, MR  2312337

Liens externes

• exponentiel p-adique et logarithme p-adique