Théorème optique - Optical theorem

En physique , le théorème optique est une loi générale de la théorie de la diffusion des ondes , qui relie l' amplitude de la diffusion vers l'avant à la section efficace totale du diffuseur. Il est généralement écrit sous la forme

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }={\frac {4\pi }{k}}~\mathrm {Im} \,f(0),}$

où f (0) est l' amplitude de diffusion avec un angle de zéro, c'est-à-dire l'amplitude de l'onde diffusée au centre d'un écran distant, et k est le vecteur d'onde dans la direction incidente.

Parce que le théorème optique est dérivé en utilisant uniquement la conservation de l'énergie , ou en mécanique quantique à partir de la conservation de la probabilité , le théorème optique est largement applicable et, en mécanique quantique , inclut à la fois la diffusion élastique et inélastique. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {tot} }}$

Le théorème optique généralisé , dérivé pour la première fois par Werner Heisenberg , permet des directions sortantes arbitraires k' :

${\displaystyle \int f(\mathbf {\hat {k}} ',\mathbf {\hat {k}} '')f(\mathbf {\hat {k}} '',\mathbf {\hat { k}} )~d\mathbf {\hat {k}} ''={\frac {4\pi }{k}}\mathrm {Im} ~f(\mathbf {\hat {k}} ',\ mathbf {\hat {k}} ).}$

Le théorème optique original est récupéré en laissant . ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} '=\mathbf {\hat {k}} }$

Histoire

Le théorème optique a été développé à l'origine indépendamment par Wolfgang Sellmeier et Lord Rayleigh en 1871. Lord Rayleigh a reconnu l' amplitude de diffusion vers l'avant en termes d' indice de réfraction comme

${\displaystyle n=1+2\pi {\frac {Nf(0)}{k^{2}}}}$

(où N est la densité numérique des diffuseurs), qu'il a utilisé dans une étude de la couleur et de la polarisation du ciel.

L'équation a ensuite été étendue à la théorie de la diffusion quantique par plusieurs individus et est devenue connue sous le nom de relation de Bohr-Peierls-Placzek après un article de 1939. Il a d'abord été appelé "théorème optique" dans la presse écrite en 1955 par Hans Bethe et Frederic de Hoffmann , après avoir été connu pendant un certain temps comme un "théorème d'optique bien connu".

Dérivation

Le théorème peut être dérivé assez directement d'un traitement d'une onde scalaire . Si une onde plane est incidente le long de l'axe z positif sur un objet, alors l'amplitude de l'onde à une grande distance du diffuseur est approximativement donnée par

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}.}$

Tous les termes supérieurs, une fois mis au carré, disparaissent plus rapidement que , et sont donc négligeables à une grande distance. Pour de grandes valeurs de et pour de petits angles, un développement de Taylor nous donne ${\style d'affichage 1/r^{2}}$${\style d'affichage z}$

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\approx z+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2z} }.}$

Nous voudrions maintenant utiliser le fait que l' intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude . En approchant comme , nous avons ${\style d'affichage \psi }$${\style d'affichage 1/r}$${\style d'affichage 1/z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi |^{2}&\approx \left|e^{ikz}+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ikz}e^ {ik(x^{2}+y^{2})/2z}\right|^{2}\\&=1+{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik( x^{2}+y^{2})/2z}+{\frac {f^{*}(\theta )}{z}}e^{-ik(x^{2}+y^{2 })/2z}+{\frac {|f(\theta )|^{2}}{z^{2}}}.\end{aligned}}}$

Si nous abandonnons le terme et utilisons le fait que , nous avons ${\style d'affichage 1/z^{2}}$${\displaystyle c+c^{*}=2\operatorname {Re} {c}}$

${\displaystyle |\psi |^{2}\approx 1+2\operatorname {Re} {\left[{\frac {f(\theta )}{z}}e^{ik(x^{2}+ y^{2})/2z}\right]}.}$

Supposons maintenant que nous intégrons sur un écran loin dans le xy plan, ce qui est assez petit pour les approximations petit angle pour être approprié, mais assez grande que nous pouvons intégrer l'intensité sur à en x et y avec une erreur négligeable. En optique , cela équivaut à additionner sur de nombreuses franges du diagramme de diffraction . Pour simplifier davantage les choses, approchons . On obtient ${\displaystyle -\infty }$${\style d'affichage \infty }$${\style d'affichage f(\theta )=f(0)}$

${\displaystyle \int |\psi |^{2}\,dx\,dy\approx A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\int _{- \infty }^{\infty }e^{ikx^{2}/2z}dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{iky^{2}/2z}dy\right],}$

où A est l'aire de la surface intégrée sur. Bien que ce soient des intégrales impropres, par des substitutions appropriées, les exponentielles peuvent être transformées en gaussiennes complexes et les intégrales définies évaluées résultant en :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int |\psi |^{2}\,da&=A+2\operatorname {Re} \left[{\frac {f(0)}{z}}\,{ \frac {2\pi z}{ik}}\right]\\&=A-{\frac {4\pi }{k}}\,\operatorname {Im} [f(0)].\end{ aligné}}}$

C'est la probabilité d'atteindre l'écran si aucun n'était diffusé, diminuée d'une quantité , qui est donc la section efficace de diffusion du diffuseur. ${\displaystyle (4\pi /k)\operatorname {Im} [f(0)]}$

Voir également

• Matrice S

Les références

• Roger G. Newton (1976). "Théorème optique et au-delà". Un m. J. Phys . 44 (7) : 639-642. Bibcode : 1976AmJPh..44..639N . doi : 10.1119/1.10324 .
• John David Jackson (1999). Electrodynamique classique . Compagnie d'impression de Hamilton. ISBN 0-471-30932-X.