Cote isopérimétrique - Isoperimetric dimension

En mathématiques , la dimension isopérimétrique d'une variété est une notion de dimension qui tente de saisir comment le comportement à grande échelle de la variété ressemble à celui d'un espace euclidien (contrairement à la dimension topologique ou à la dimension de Hausdorff qui comparent différents comportements locaux à ceux de l'espace euclidien).

Dans l' espace euclidien , l' inégalité isopérimétrique dit que de tous les corps de même volume, la balle a la plus petite surface. Dans d'autres variétés, il est généralement très difficile de trouver le corps précis minimisant la surface, et ce n'est pas de cela qu'il s'agit de la dimension isopérimétrique. La question que nous poserons est de savoir quelle est approximativement la surface minimale, quelle que soit la réalité du corps.

Définition formelle

On dit d'une variété différentiable M qu'elle satisfait une inégalité isopérimétrique d- dimensionnelle si pour tout ensemble ouvert D dans M avec une frontière lisse on a

${\ displaystyle \ operatorname {zone} (\ partial D) \ geq C \ operatorname {vol} (D) ^ {(d-1) / d}.}$

Les notations vol et aire se réfèrent aux notions régulières de volume et de surface sur la variété, ou plus précisément, si la variété a n dimensions topologiques alors vol se réfère au volume n- dimensionnel et l'aire se réfère au volume ( n  - 1) -dimensionnel . C se réfère ici à une constante, qui ne dépend pas de D (elle peut dépendre de la variété et de d ).

La dimension isopérimétrique de M est le supremum de toutes les valeurs de d telles que M satisfait une inégalité isopérimétrique d -dimensionnelle.

Exemples

Un espace euclidien d -dimensionnel a une dimension isopérimétrique d . C'est le problème isopérimétrique bien connu - comme discuté ci-dessus, pour l'espace euclidien, la constante C est connue précisément puisque le minimum est atteint pour la balle.

Un cylindre infini (c'est-à-dire un produit du cercle et de la ligne ) a une dimension topologique 2 mais une dimension isopérimétrique 1. En effet, multiplier une variété quelconque par une variété compacte ne change pas la dimension isopérimétrique (elle ne change que la valeur de la constante C ). Tout collecteur compact a une dimension isopérimétrique 0.

Il est également possible que la dimension isopérimétrique soit plus grande que la dimension topologique. L'exemple le plus simple est le gymnase de la jungle infinie , qui a la dimension topologique 2 et la dimension isopérimétrique 3. Voir [1] pour les images et le code Mathematica.

Le plan hyperbolique a une dimension topologique 2 et une dimension isopérimétrique infinie. En fait, le plan hyperbolique a une constante de Cheeger positive . Cela signifie qu'il satisfait l'inégalité

${\ displaystyle \ operatorname {zone} (\ partial D) \ geq C \ operatorname {vol} (D),}$

ce qui implique évidemment une dimension isopérimétrique infinie.

De graphiques

La dimension isopérimétrique des graphes peut être définie de la même manière. Une définition précise est donnée dans l'enquête de Chung. La surface et le volume sont mesurés par des tailles définies. Pour toute partie A du graphique G on définit comme l'ensemble des sommets dans un voisin dans  A . Une inégalité isopérimétrique d -dimensionnelle est maintenant définie par ${\ displaystyle \ partial A}$${\ displaystyle G \ setminus A}$

${\ Displaystyle | \ partial A | \ geq C \ left (\ min \ left (| A |, | G \ setminus A | \ right) \ right) ^ {(d-1) / d}.}$

(Cette question MathOverflow fournit plus de détails.) Les analogues de graphes de tous les exemples ci-dessus sont valables mais la définition est légèrement différente afin d'éviter que la dimension isopérimétrique de tout graphe fini soit 0: Dans la formule ci-dessus, le volume de est remplacé par ( voir l'enquête de Chung, section 7). ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ min (| A |, | G \ setminus A |)}$

La dimension isopérimétrique d'une grille d -dimensionnelle est d . En général, la dimension isopérimétrique est préservée par des quasi isométries , à la fois par des quasi-isométries entre variétés, entre graphes, et même par des quasi isométries portant des variétés à des graphes, avec les définitions respectives. En gros, cela signifie qu'un graphe "imitant" une variété donnée (comme la grille imite l'espace euclidien) aurait la même dimension isopérimétrique que la variété. Un arbre binaire complet infini a une dimension isopérimétrique ∞.

Conséquences de l'isopérimétrie

Une simple intégration sur r (ou somme dans le cas des graphes) montre qu'une inégalité isopérimétrique d -dimensionnelle implique une croissance de volume d -dimensionnelle , à savoir

${\ displaystyle \ operatorname {vol} B (x, r) \ geq Cr ^ {d}}$

où B ( x , r ) désigne la boule de rayon r autour du point x dans la distance riemannienne ou dans la distance graphique . En général, l'inverse n'est pas vrai, c'est-à-dire que même une croissance en volume exponentielle uniforme n'implique aucune sorte d'inégalité isopérimétrique. Un exemple simple peut être obtenu en prenant le graphe Z (c'est-à-dire tous les entiers avec des arêtes entre n et n  + 1) et en reliant au sommet n un arbre binaire complet de hauteur | n |. Les deux propriétés (croissance exponentielle et dimension isopérimétrique 0) sont faciles à vérifier.

Une exception intéressante est le cas des groupes . Il s'avère qu'un groupe à croissance polynomiale d'ordre d a une dimension isopérimétrique d . Cela vaut à la fois pour le cas des groupes de Lie et pour le graphe de Cayley d'un groupe fini .

Un théorème de Varopoulos relie la dimension isopérimétrique d'un graphe au taux de fuite de marche aléatoire sur le graphe. Le résultat déclare

Théorème de Varopoulos: Si G est un graphe satisfaisant une inégalité isopérimétrique en d dimensions alors

${\ Displaystyle p_ {n} (x, y) \ leq Cn ^ {- d / 2}}$

où est la probabilité qu'une marche aléatoire sur G à partir de x soit en y après n étapes, et C est une constante.${\ textstyle p_ {n} (x, y)}$

Les références

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• Isaac Chavel, Inégalités isopérimétriques: perspectives géométriques différentielles et analytiques , Cambridge University Press, Cambridge, Royaume-Uni (2001), ISBN  0-521-80267-9

Discute du sujet dans le contexte des variétés, sans mention des graphiques.

• N. Th. Varopoulos, inégalités isopérimétriques et chaînes de Markov , J. Funct. Anal. 63: 2 (1985), 215-239.
• Thierry Coulhon et Laurent Saloff-Coste, Isopérimétrie pour les groupes et les variétés , Rév.Mat . Iberoamericana 9: 2 (1993), 293–314.

Cet article contient le résultat que sur les groupes de croissance polynomiale, la croissance en volume et les inégalités isopérimétriques sont équivalentes. En français.

• Fan Chung, inégalités isopérimétriques discrètes . Surveys in Differential Geometry IX , International Press, (2004), 53–82. http://math.ucsd.edu/~fan/wp/iso.pdf .

Cet article contient une définition précise de la dimension isopérimétrique d'un graphe et établit plusieurs de ses propriétés.