Heptadécagone - Heptadecagon

Heptadécagone régulier
Un heptadécagone régulier
Taper	Polygone régulier
Arêtes et sommets	17
Symbole Schläfli	{17}
Diagramme de Coxeter
Groupe Symétrie	Dièdre (D 17 ), ordre 2×17
Angle interne ( degrés )	158,82°
Double polygone	Soi
Propriétés	Convexe , cyclique , équilatéral , isogonal , isotoxal

En géométrie , un heptadécagone ou 17-gon est un polygone à dix-sept côtés . Un autre nom moins connu pour un polygone à 17 côtés est un Deceptagon.

Heptadécagone régulier

Un heptadécagone régulier est représenté par le symbole Schläfli {17}.

Construction

Publication de C. F. Gauss dans Intelligenzblatt der allgemeinen Literatur-Zeitung

Comme 17 est un nombre premier de Fermat , l'heptadécagone régulier est un polygone constructible (c'est-à-dire qui peut être construit à l'aide d'un compas et d'une règle non marquée ) : cela a été montré par Carl Friedrich Gauss en 1796 à l'âge de 19 ans. Cette preuve représentait le premiers progrès dans la construction de polygones réguliers depuis plus de 2000 ans. La preuve de Gauss repose d'une part sur le fait que la constructibilité est équivalente à l'expressibilité des fonctions trigonométriques de l'angle commun en termes d' opérations arithmétiques et d' extractions de racine carrée , et d'autre part sur sa preuve que cela peut être fait si les facteurs premiers impairs de , le nombre des côtés du polygone régulier, sont des nombres premiers de Fermat distincts, qui sont de la forme pour un entier non négatif . Construire un heptadécagone régulier implique donc de trouver le cosinus de en termes de racines carrées, ce qui implique une équation de degré 17 - un nombre premier de Fermat. Le livre de Gauss Disquisitiones Arithmeticae donne ceci comme (en notation moderne): ${\style d'affichage N}$${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage 2\pi /17}$

${\displaystyle {\begin{aligned}16\,\cos {\frac {2\pi }{17}}=&-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt { 17}}}}+\\&2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{ \sqrt {17}}}}}}\\=&-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+\\&2{\sqrt {17 +3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}.\end{aligned}}}$

Construction gaussienne de l'heptadécagone régulier.

Des constructions pour le triangle régulier , le pentagone , le pentadécagone et les polygones avec 2 ^h fois plus de côtés avaient été données par Euclide, mais les constructions basées sur les nombres premiers de Fermat autres que 3 et 5 étaient inconnues des anciens. (Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont F _n pour n = 0, 1, 2, 3, 4. Ils sont 3, 5, 17, 257 et 65537.)

La construction explicite d'un heptadécagone a été donnée par Herbert William Richmond en 1893. La méthode de construction suivante utilise des cercles de Carlyle , comme indiqué ci-dessous. Sur la base de la construction du 17-gon régulier, on peut facilement construire n -gons avec n étant le produit de 17 avec 3 ou 5 (ou les deux) et n'importe quelle puissance de 2: un 51-gon, 85-gon ou 255 régulier -gon et tout n -gon régulier avec 2 ^h fois plus de côtés.

Construction d'après Duane W. DeTemple avec cercles de Carlyle, animation 1 min 57 s

Une autre construction de l'heptadécagone régulier à l'aide d'une règle et d'un compas est la suivante :

TP Stowell de Rochester, NY, a répondu à Query, par WE Heal, Wheeling, Indiana dans The Analyst en 1874 :

"Construire un polygone régulier de dix-sept côtés dans un cercle. Tracer le rayon CO perpendiculaire au diamètre AB : Sur OC et OB, prendre OQ égal à la moitié, et OD égal à la huitième partie du rayon : Faire DE et DF égaux chacun à DQ et EG et FH respectivement égaux à EQ et FQ ; prendre OK une moyenne proportionnelle entre OH et OQ, et par K, tracer KM parallèle à AB, rencontrant le demi-cercle décrit sur OG en M ; tracer MN parallèle à OC, coupant le cercle donné en N - l'arc AN est la dix-septième partie de toute la circonférence."

Construction selon
"envoyé par TP Stowell, crédité à Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Ajouté: "prendre OK une moyenne proportionnelle entre OH et OQ"

Construction selon
"envoyé par TP Stowell, crédité à Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Ajout : "prendre OK une moyenne proportionnelle entre OH et OQ" , animation

La conception simple suivante vient de Herbert William Richmond de l'année 1893 :

"LET OA, OB (fig. 6) être deux rayons perpendiculaires d'un cercle. Faire OI un quart de OB, et l'angle OIE un quart de OIA; trouver également dans OA produit un point F tel que EIF est 45° Soit le cercle sur AF comme diamètre coupe OB en K, et soit le cercle de centre E et de rayon EK coupe OA en N ₃ et N ₅ ; alors si les ordonnées N ₃ P ₃ , N ₅ P ₅ sont dessinées sur le cercle , les arcs AP ₃ , AP ₅ seront 3/17 et 5/17 de la circonférence."

• Le point N ₃ est très proche du point central du théorème de Thales sur AF.

Construction selon HW Richmond

Construction selon HW Richmond comme animation

La construction suivante est une variante de la construction de HW Richmond.

Les différences avec l'original :

• Le cercle k ₂ détermine le point H au lieu de la bissectrice w ₃ .
• Le cercle k ₄ autour du point G' (reflet du point G en m) donne le point N, qui n'est plus si proche de M, pour la construction de la tangente.
• Certains noms ont été modifiés.

Heptadécagone en principe selon HW Richmond, une variation de la conception par rapport au point N

Une autre construction plus récente est donnée par Callagy.

Symétrie

Symétries d'un heptadécagone régulier. Les sommets sont colorés par leurs positions de symétrie. Des lignes de miroir bleues sont tracées à travers les sommets et les arêtes. Les ordres de giration sont donnés au centre.

L' heptadécagone régulier a une symétrie Dih ₁₇ , d'ordre 34. Puisque 17 est un nombre premier, il existe un sous-groupe avec une symétrie dièdre : Dih ₁ , et 2 symétries de groupes cycliques : Z ₁₇ et Z ₁ .

Ces 4 symétries peuvent être vues en 4 symétries distinctes sur l'heptadécagone. John Conway les étiquette par une lettre et une commande groupée. La symétrie complète de la forme régulière est r34 et aucune symétrie n'est étiquetée a1 . Les symétries dièdres sont divisées selon qu'elles passent par des sommets ( d pour diagonale) ou des arêtes ( p pour perpendiculaires), et i lorsque les lignes de réflexion traversent à la fois des arêtes et des sommets. Les symétries cycliques dans la colonne du milieu sont étiquetées g pour leurs ordres de giration centraux.

Chaque symétrie de sous-groupe autorise un ou plusieurs degrés de liberté pour les formes irrégulières. Seul le sous-groupe g17 n'a pas de degrés de liberté mais peut être vu comme des arêtes dirigées .

Polygones associés

Heptadécagrammes

Un heptadécagramme est un polygone étoilé à 17 côtés . Il existe sept formes régulières données par les symboles de Schläfli : {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} et {17/ 8}. Puisque 17 est un nombre premier, ce sont toutes des étoiles régulières et non des chiffres composés.

Photo	{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}
Angle intérieur	137.647°	116.471°	95.2941°	74.1176°	52.9412°	31.7647°	10.5882°

Polygones de Petrie

L'heptadécagone régulier est le polygone de Petrie pour un polytope régulier convexe de dimension supérieure, projeté dans une projection orthogonale oblique :

16-simplex (16D)

Les références

Lectures complémentaires

• Dunham, William (septembre 1996). "1996—un triple anniversaire" . Horizons mathématiques . 4 : 8-13. doi : 10.1080/10724117.1996.11974982 . Récupéré le 6 décembre 2009 .
• Klein, Félix et al. Problèmes célèbres et autres monographies . – Décrit l'aspect algébrique, par Gauss.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Heptadécagone" . MathWorld . Contient une description de la construction.
• "Construire l'Heptadécagone" . MathPages.com .
• Fonctions trigonométriques de l'heptadécagone
• Vidéo BBC du nouveau centre de R&D pour SolarUK
• Eisenbud, David . "L'Heptadécagone Incroyable (17-gon)" (Vidéo) . Brady Haran . Récupéré le 2 mars 2015 .