Algèbre de Lie libre - Free Lie algebra

En mathématiques , une algèbre de Lie libre sur un corps K est une algèbre de Lie générée par un ensemble X , sans aucune relation imposée autre que les relations de définition de l'alternance de K -bilinéarité et de l' identité de Jacobi .

Définition

La définition de l'algèbre de Lie libre générée par un ensemble X est la suivante:

Laissez - X un ensemble et un morphisme d'ensembles ( fonction ) de X dans une algèbre de Lie L . L'algèbre de Lie L est dite libre sur X si est le morphisme universel ; c'est-à-dire que si pour toute algèbre de Lie A avec un morphisme d'ensembles , il existe un morphisme d'algèbre de Lie unique tel que . ${\ displaystyle i \ colon X \ to L}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle f \ deux-points X \ à A}$${\ displaystyle g \ colon L \ à A}$${\ displaystyle f = g \ circ i}$

Étant donné un ensemble X , on peut montrer qu'il existe une algèbre de Lie libre unique , généré par X . ${\ displaystyle L (X)}$

Dans le langage de la théorie des catégories , le foncteur envoyant un ensemble X à l'algèbre de Lie générée par X est le foncteur libre de la catégorie des ensembles à la catégorie des algèbres de Lie. Autrement dit, il est laissé adjoint au foncteur oublieux .

L'algèbre de Lie libre sur un ensemble X est naturellement notée . La composante graduée 0 de l'algèbre de Lie libre n'est que l' espace vectoriel libre sur cet ensemble.

On peut également définir une algèbre de Lie libre sur un espace vectoriel V comme adjoint gauche au foncteur oublieux des algèbres de Lie sur un champ K aux espaces vectoriels sur le champ K - en oubliant la structure de l'algèbre de Lie, mais en se souvenant de la structure de l'espace vectoriel.

Algèbre enveloppante universelle

L' algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie libre sur un ensemble X est l' algèbre associative libre généré par X . D'après le théorème de Poincaré – Birkhoff – Witt, il s'agit de la «même taille» que l'algèbre symétrique de l'algèbre de Lie libre (ce qui signifie que si les deux côtés sont gradués en donnant des éléments de X degré 1, ils sont isomorphes en tant qu'espaces vectoriels gradués). Cela peut être utilisé pour décrire la dimension du morceau de l'algèbre de Lie libre d'un degré donné.

Ernst Witt a montré que le nombre de commutateurs basiques de degré k dans l'algèbre de Lie libre sur un ensemble de m- éléments est donné par le polynôme collier :

${\ displaystyle M_ {m} (k) = {\ frac {1} {k}} \ sum _ {d | k} \ mu (d) \ cdot m ^ {k / d},}$

où est la fonction Möbius . ${\ displaystyle \ mu}$

Le dual gradué de l'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie libre sur un ensemble fini est l' algèbre aléatoire . Cela découle essentiellement du fait que les algèbres enveloppantes universelles ont la structure d'une algèbre de Hopf et que le produit de mélange décrit l'action de la comultiplication dans cette algèbre. Voir l' algèbre tensorielle pour une exposition détaillée de l'interrelation entre le produit de mélange et la comultiplication.

Ensembles de salle

Une base explicite de l'algèbre de Lie libre peut être donné en termes d'un ensemble salle , qui est un type particulier de sous - ensemble à l' intérieur du magma libre sur X . Les éléments du magma libre sont des arbres binaires , avec leurs feuilles marquées par des éléments de X . Les décors de salle ont été introduits par Marshall Hall  ( 1950 ) sur la base du travail de Philip Hall sur les groupes. Par la suite, Wilhelm Magnus a montré qu'ils surviennent comme l' algèbre de Lie graduée associée à la filtration sur un groupe libre donné par la série centrale inférieure . Cette correspondance était motivée par des identités de commutateurs dans la théorie des groupes dues à Philip Hall et Witt.

Base Lyndon

Les mots de Lyndon sont un cas particulier des mots de Hall , et il existe donc en particulier une base de l'algèbre de Lie libre correspondant aux mots de Lyndon. C'est ce qu'on appelle la base Lyndon , du nom de Roger Lyndon . (Ceci est également appelé la base Chen – Fox – Lyndon ou la base Lyndon – Shirshov, et est essentiellement la même que la base Shirshov .) Il y a une bijection γ des mots de Lyndon dans un alphabet ordonné vers une base du Lie libre algèbre sur cet alphabet définie comme suit:

• Si un mot w a une longueur de 1 alors (considéré comme un générateur de l'algèbre de Lie libre). ${\ displaystyle \ gamma (w) = w}$
• Si w a une longueur d'au moins 2, alors écrivez pour les mots de Lyndon u , v avec v aussi longtemps que possible (la "factorisation standard"). Alors . ${\ displaystyle w = uv}$${\ displaystyle \ gamma (w) = [\ gamma (u), \ gamma (v)]}$

Théorème de Shirshov – Witt

Anatoly Širšov  ( 1953 ) et Witt  ( 1956 ) ont montré que toute sous - algèbre de Lie d'une algèbre de Lie libre est elle-même une algèbre de Lie libre.

Applications

Le théorème de Serre sur une algèbre de Lie semi-simple utilise une algèbre de Lie libre pour construire une algèbre semi-simple à partir de générateurs et de relations.

Les invariants de Milnor d'un groupe de liens sont liés à l'algèbre de Lie libre sur les composants du lien , comme discuté dans cet article.

Voir aussi l' opérade de Lie pour l'utilisation d'une algèbre de Lie libre dans la construction de l'opérade.

Voir également

• Objet gratuit
• Algèbre libre
• Groupe gratuit

Les références

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