Différences divisées - Divided differences

En mathématiques , les différences divisées sont un algorithme , historiquement utilisé pour le calcul de tables de logarithmes et de fonctions trigonométriques . Le moteur de différence de Charles Babbage , une des premières calculatrices mécaniques , a été conçu pour utiliser cet algorithme dans son fonctionnement.

Les différences divisées sont un processus de division récursif . La méthode peut être utilisée pour calculer les coefficients du polynôme d'interpolation sous la forme de Newton .

Définition

Étant donné k  + 1 points de données

${\style d'affichage (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

Les différences divisées en avant sont définies comme :

${\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}$

${\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]:={\frac {[y_{\nu +1},\ldots ,y_{\nu +j}]-[y_ {\nu },\ldots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,kj \},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$

Les différences divisées en amont sont définies comme :

${\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}$

${\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j}]:={\frac {[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j+1}]-[y_ {\nu -1},\ldots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}}},\qquad \nu \in \{j,\ldots ,k \},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$

Notation

Si les points de données sont donnés en fonction ƒ ,

${\style d'affichage (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{k},f(x_{k}))}$

on écrit parfois

${\displaystyle f[x_{\nu }]:=f(x_{\nu }),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}$

${\displaystyle f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j}]:={\frac {f[x_{\nu +1},\ldots ,x_{\nu +j}]- f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ ldots ,kj\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}$

Plusieurs notations de la différence divisée de la fonction ƒ sur les nœuds x ₀ , ...,  x _n sont utilisées:

${\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n}]f,}$

${\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n};f],}$

${\displaystyle D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f}$

etc.

Exemple

Différences divisées pour et les premières valeurs de : ${\style d'affichage \nu =0}$${\style d'affichage j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\ frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&= {\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0} }}={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_ {1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1}) (x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0} )}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1}, y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\end{aligned }}}$

Pour rendre le processus récursif plus clair, les différences divisées peuvent être présentées sous forme de tableau :

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1} =[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1} ,y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[ y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrice}}}$

Propriétés

• Linéarité

${\displaystyle (f+g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0},\dots ,x_{n}]+g[x_{0},\dots ,x_ {n}]}$

${\displaystyle (\lambda \cdot f)[x_{0},\dots ,x_{n}]=\lambda \cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

• Règle de Leibniz

${\displaystyle (f\cdot g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0}]\cdot g[x_{0},\dots ,x_{n}]+f [x_{0},x_{1}]\cdot g[x_{1},\dots ,x_{n}]+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot g [x_{n}]=\sum _{r=0}^{n}f[x_{0},\ldots ,x_{r}]\cdot g[x_{r},\ldots ,x_{n} ]}$

• Les différences divisées sont symétriques : si est une permutation alors${\displaystyle \sigma :\{0,\dots ,n\}\to \{0,\dots ,n\}}$

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{\sigma (0)},\dots ,x_{\sigma (n)}]}$

• Du théorème de la valeur moyenne pour les différences divisées, il s'ensuit que

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}$où est dans l'intervalle ouvert déterminé par le plus petit et le plus grand des 's.${\style d'affichage \xi }$${\style d'affichage x_{k}}$

Forme matricielle

Le schéma de différence divisée peut être mis dans une matrice triangulaire supérieure . Laissez . ${\displaystyle T_{f}(x_{0},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}f[x_{0}]&f[x_{0},x_{1}]&f[x_ {0},x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{0},\dots ,x_{n}]\\0&f[x_{1}]&f[x_{1},x_{ 2}]&\ldots &f[x_{1},\dots ,x_{n}]\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &f[x_{n}]\ fin{pmatrix}}}$

Puis ça tient

• ${\style d'affichage T_{f+g}x=T_{f}x+T_{g}x}$
• ${\displaystyle T_{f\cdot g}x=T_{f}x\cdot T_{g}x}$

Cela découle de la règle de Leibniz. Cela signifie que la multiplication de telles matrices est commutative . En résumé, les matrices de schémas aux différences divisées par rapport au même ensemble de nœuds forment un anneau commutatif .

• Puisque est une matrice triangulaire, ses valeurs propres sont évidemment .${\style d'affichage T_{f}x}$${\displaystyle f(x_{0}),\dots ,f(x_{n})}$
• Soit une fonction de type delta de Kronecker , c'est-à-dire${\displaystyle \delta _{\xi }}$

${\displaystyle \delta _{\xi }(t)={\begin{cases}1&:t=\xi ,\\0&:{\mbox{else}}.\end{cases}}}$

De toute évidence , est donc une fonction propre de la multiplication de la fonction point par point. C'est en quelque sorte une " matrice propre " de : . Cependant, toutes les colonnes de sont des multiples les unes des autres, le rang de la matrice de est 1. Vous pouvez donc composer la matrice de tous les vecteurs propres à partir de la -ème colonne de chaque . Notons la matrice des vecteurs propres avec . Exemple ${\displaystyle f\cdot \delta _{\xi }=f(\xi )\cdot \delta _{\xi }}$${\displaystyle \delta _{\xi }}$${\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}x}$${\style d'affichage T_{f}x}$${\displaystyle T_{f}x\cdot T_{\delta _{x_{i}}}x=f(x_{i})\cdot T_{\delta _{x_{i}}}x}$${\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}x}$${\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}x}$${\style d'affichage i}$${\displaystyle T_{\delta _{x_{i}}}x}$${\displaystyle Ux}$

${\displaystyle U(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{(x_{1}-x_{0} )}}&{\frac {1}{(x_{2}-x_{0})\cdot (x_{2}-x_{1})}}&{\frac {1}{(x_{3} -x_{0})\cdot (x_{3}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{2})}}\\0&1&{\frac {1}{(x_{2}- x_{1})}}&{\frac {1}{(x_{3}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{2})}}\\0&0&1&{\frac {1} {(x_{3}-x_{2})}}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

La diagonalisation de peut s'écrire sous la forme ${\style d'affichage T_{f}x}$

${\displaystyle Ux\cdot \operatorname {diag} (f(x_{0}),\dots ,f(x_{n}))=T_{f}x\cdot Ux}$.

Définitions alternatives

Forme développée

${\displaystyle {\begin{aligned}f[x_{0}]&=f(x_{0})\\f[x_{0},x_{1}]&={\frac {f(x_{0 })}{(x_{0}-x_{1})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})}}\\f[x_{ 0},x_{1},x_{2}]&={\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{1})\cdot (x_{0}-x_{2 })}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})\cdot (x_{1}-x_{2})}}+{\frac {f (x_{2})}{(x_{2}-x_{0})\cdot (x_{2}-x_{1})}}\\f[x_{0},x_{1},x_{ 2},x_{3}]&={\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{1})\cdot (x_{0}-x_{2})\cdot ( x_{0}-x_{3})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{0})\cdot (x_{1}-x_{2}) \cdot (x_{1}-x_{3})}}+{\frac {f(x_{2})}{(x_{2}-x_{0})\cdot (x_{2}-x_{ 1})\cdot (x_{2}-x_{3})}}+\\&\quad \quad {\frac {f(x_{3})}{(x_{3}-x_{0}) \cdot (x_{3}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{2})}}\\f[x_{0},\dots ,x_{n}]&=\sum _ {j=0}^{n}{\frac {f(x_{j})}{\prod _{k\in \{0,\dots ,n\}\setminus \{j\}}(x_{ j}-x_{k})}}\end{aligned}}}$

Avec l'aide d'une fonction polynomiale avec cela peut être écrit comme ${\style d'affichage q}$${\displaystyle q(\xi )=(\xi -x_{0})\cdots (\xi -x_{n})}$

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_{j})}{q'(x_{j })}}.}$

Alternativement, nous pouvons autoriser le décompte à rebours depuis le début de la séquence en définissant quand ou . Cette définition permet d' être interprété comme , d' être interprété comme , d' être interprété comme , etc . La forme développée de la différence divisée devient ainsi ${\style d'affichage x_{k}=x_{k+n+1}=x_{k-(n+1)}}$${\style d'affichage k<0}$${\style d'affichage n<k}$${\style d'affichage x_{-1}}$${\style d'affichage x_{n}}$${\style d'affichage x_{-2}}$${\style d'affichage x_{n-1}}$${\style d'affichage x_{-n}}$${\style d'affichage x_{0}}$

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=\sum _{j=0}^{n}{\frac {f(x_{j})}{\prod \limits _{ k=jn}^{j-1}(x_{j}-x_{k})}}=\somme _{j=0}^{n}{\frac {f(x_{j})}{\ prod \limits _{k=j+1}^{j+n}(x_{j}-x_{k})}}}$

Une autre caractérisation utilise des limites :

${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=\sum _{j=0}^{n}\lim _{x\rightarrow x_{j}}\left[{\frac { f(x_{j})(x-x_{j})}{\prod \limits _{k=0}^{n}(x-x_{k})}}\right]}$

Fractions partielles

Vous pouvez représenter des fractions partielles en utilisant la forme développée des différences divisées. (Cela ne simplifie pas le calcul, mais est intéressant en soi.) Si et sont des fonctions polynomiales , où et est donné en termes de facteurs linéaires par , alors il résulte de la décomposition en fractions partielles que ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle \mathrm {deg} \ p<\mathrm {deg} \ q}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle q(\xi )=(\xi -x_{1})\cdot \dots \cdot (\xi -x_{n})}$

${\displaystyle {\frac {p(\xi )}{q(\xi )}}=\left(t\to {\frac {p(t)}{\xi -t}}\right)[x_{ 1},\points ,x_{n}].}$

Si les limites des différences divisées sont acceptées, alors cette connexion est également valable, si certaines des différences coïncident. ${\style d'affichage x_{j}}$

Si est une fonction polynomiale de degré arbitraire et elle est décomposée en utilisant la division polynomiale de par , alors ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f(x)=p(x)+q(x)\cdot d(x)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage q}$

${\displaystyle {\frac {p(\xi )}{q(\xi )}}=\left(t\to {\frac {f(t)}{\xi -t}}\right)[x_{ 1},\points ,x_{n}].}$

forme Peano

Les différences divisées peuvent être exprimées comme

${\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{n}]={\frac {1}{n!}}\int _{x_{0}}^{x_{n}}f^{( n)}(t)B_{n-1}(t)\,dt}$

où est une B-spline de degré pour les points de données et est la dérivée -ième de la fonction . ${\style d'affichage B_{n-1}}$${\style d'affichage n-1}$${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$${\style d'affichage f^{(n)}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage f}$

C'est ce qu'on appelle la forme Peano des différences divisées et s'appelle le noyau Peano pour les différences divisées, tous deux nommés d'après Giuseppe Peano . ${\style d'affichage B_{n-1}}$

Forme de Taylor

Premier ordre

Si les nœuds sont cumulés, le calcul numérique des différences divisées est inexact, car vous divisez presque deux zéros, chacun avec une erreur relative élevée due à des différences de valeurs similaires . Cependant, nous savons que les quotients de différence se rapprochent de la dérivée et vice versa :

${\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{yx}}\approx f'(x)}$ pour ${\style d'affichage x\environ y}$

Cette approximation peut être transformée en identité chaque fois que le théorème de Taylor s'applique.

${\displaystyle f(y)=f(x)+f'(x)\cdot (yx)+f''(x)\cdot {\frac {(yx)^{2}}{2!}}+ f'''(x)\cdot {\frac {(yx)^{3}}{3!}}+\dots }$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {f(y)-f(x)}{yx}}=f'(x)+f''(x)\cdot {\frac {yx}{2!}}+ f'''(x)\cdot {\frac {(yx)^{2}}{3!}}+\dots }$

Vous pouvez éliminer les puissances impaires de en développant la série de Taylor au centre entre et : ${\style d'affichage yx}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$

${\style d'affichage x=mh,y=m+h}$, C'est ${\displaystyle m={\frac {x+y}{2}},h={\frac {yx}{2}}}$

${\displaystyle f(m+h)=f(m)+f'(m)\cdot h+f''(m)\cdot {\frac {h^{2}}{2!}}+f' ''(m)\cdot {\frac {h^{3}}{3!}}+\dots }$

${\displaystyle f(mh)=f(m)-f'(m)\cdot h+f''(m)\cdot {\frac {h^{2}}{2!}}-f''' (m)\cdot {\frac {h^{3}}{3!}}+\dots }$

${\displaystyle {\frac {f(y)-f(x)}{yx}}={\frac {f(m+h)-f(mh)}{2\cdot h}}=f'(m )+f'''(m)\cdot {\frac {h^{2}}{3!}}+\dots }$

Ordre supérieur

La série de Taylor ou toute autre représentation avec des séries de fonctions peut en principe être utilisée pour approximer les différences divisées. Les séries de Taylor sont des sommes infinies de fonctions puissance . Le mappage d'une fonction à une différence divisée est une fonctionnelle linéaire . On peut aussi bien appliquer cette fonctionnelle aux fonctions summands. ${\style d'affichage f}$${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]}$

Exprimez la notation de puissance avec une fonction ordinaire : ${\style d'affichage p_{n}(x)=x^{n}.}$

La série de Taylor régulière est une somme pondérée de fonctions puissance : ${\displaystyle f=f(0)\cdot p_{0}+f'(0)\cdot p_{1}+{\frac {f''(0)}{2!}}\cdot p_{2} +{\frac {f'''(0)}{3!}}\cdot p_{3}+\dots }$

Série de Taylor pour les différences divisées : ${\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f(0)\cdot p_{0}[x_{0},\dots ,x_{n}]+f'(0)\ cdot p_{1}[x_{0},\dots ,x_{n}]+{\frac {f''(0)}{2!}}\cdot p_{2}[x_{0},\dots ,x_{n}]+{\frac {f'''(0)}{3!}}\cdot p_{3}[x_{0},\dots ,x_{n}]+\dots }$

Nous savons que les premiers termes disparaissent, car nous avons un ordre de différence plus élevé que l'ordre polynomial, et dans le terme suivant la différence divisée est de un : ${\style d'affichage n}$

${\displaystyle {\begin{array}{llcl}\forall j<n&p_{j}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=&0\\&p_{n}[x_{0},\ points ,x_{n}]&=&1\\&p_{n+1}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=&x_{0}+\dots +x_{n}\\&p_{ n+m}[x_{0},\dots ,x_{n}]&=&\sum _{a\in \{0,\dots ,n\}^{m}{\text{ with }}a_ {1}\leq a_{2}\leq \dots \leq a_{m}}\prod _{j\in a}x_{j}.\\\end{array}}}$

Il s'ensuit que la série de Taylor pour la différence divisée commence essentiellement avec laquelle est également une simple approximation de la différence divisée, selon le théorème de la valeur moyenne pour les différences divisées . ${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}$

Si nous devions calculer les différences divisées pour les fonctions puissance de la manière habituelle, nous rencontrerions les mêmes problèmes numériques que nous avons rencontrés lors du calcul de la différence divisée de . Ce qui est bien, c'est qu'il existe un moyen plus simple. Ça tiens ${\style d'affichage f}$

${\displaystyle t^{n}=(1-x_{0}\cdot t)\dots \cdot (1-x_{n}\cdot t)\cdot (p_{0}[x_{0},\dots ,x_{n}]+p_{1}[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot t+p_{2}[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot t ^{2}+\points ).}$

Par conséquent, nous pouvons calculer les différences divisées de par une division de séries formelles entières . Voyez comment cela se réduit au calcul successif de puissances lorsque nous calculons pour plusieurs . ${\style d'affichage p_{n}}$${\style d'affichage p_{n}[h]}$${\style d'affichage n}$

Si vous avez besoin de calculer un schéma de différence divisé entier par rapport à une série de Taylor, consultez la section sur les différences divisées de séries entières .

Polynômes et séries entières

Les différences divisées de polynômes sont particulièrement intéressantes, car elles peuvent bénéficier de la règle de Leibniz. La matrice avec ${\style d'affichage J}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}x_{0}&1&0&0&\cdots &0\\0&x_{1}&1&0&\cdots &0\\0&0&x_{2}&1&&0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\ddots & \\0&0&0&0&&x_{n}\end{pmatrix}}}$

contient le schéma des différences divisées pour la fonction identité par rapport aux nœuds , contient donc les différences divisées pour la fonction puissance avec exposant . Par conséquent, vous pouvez obtenir les différences divisées pour une fonction polynomiale par rapport au polynôme en appliquant (plus précisément : sa fonction polynomiale matricielle correspondante ) à la matrice . ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle J^{n}}$ ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage \varphi (p)}$ ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle \varphi _{\mathrm {M} }(p)}$${\style d'affichage J}$

${\displaystyle \varphi (p)(\xi )=a_{0}+a_{1}\cdot \xi +\dots +a_{n}\cdot \xi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {M} }(p)(J)=a_{0}+a_{1}\cdot J+\dots +a_{n}\cdot J^{n}}$

${\displaystyle ={\begin{pmatrix}\varphi (p)[x_{0}]&\varphi (p)[x_{0},x_{1}]&\varphi (p)[x_{0}, x_{1},x_{2}]&\ldots &\varphi (p)[x_{0},\dots ,x_{n}]\\0&\varphi (p)[x_{1}]&\varphi (p)[x_{1},x_{2}]&\ldots &\varphi (p)[x_{1},\dots ,x_{n}]\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&0&\varphi (p)[x_{n}]\end{pmatrix}}}$

C'est ce qu'on appelle la formule d'Opitz .

Considérons maintenant augmenter le degré de à l'infini, c'est-à-dire transformer le polynôme de Taylor en une série de Taylor . Soit une fonction qui correspond à une série entière . Vous pouvez calculer un schéma de différence divisée en calculant la série de matrices correspondante appliquée à . Si les nœuds sont tous égaux, alors est un bloc de Jordan et le calcul se résume à généraliser une fonction scalaire à une fonction matricielle en utilisant la décomposition de Jordan . ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage J}$${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$${\style d'affichage J}$

Différences en avant

Lorsque les points de données sont distribués de manière équidistante, nous obtenons le cas particulier appelé différences directes . Ils sont plus faciles à calculer que les différences divisées plus générales.

Notez que la "partie divisée" de la différence avant divisée doit toujours être calculée, pour récupérer la différence avant divisée de la différence avant .

Définition

Étant donné n points de données

${\style d'affichage (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$

avec

${\displaystyle x_{\nu }=x_{0}+\nu h,\ h>0,\ \nu =0,\ldots ,n-1}$

les différences divisées peuvent être calculées via des différences à terme définies comme

${\displaystyle \Delta ^{(0)}y_{i} :=y_{i}}$

${\displaystyle \Delta ^{(k)}y_{i}:=\Delta ^{(k-1)}y_{i+1}-\Delta ^{(k-1)}y_{i},\ k\geq 1.}$

La relation entre les différences divisées et les différences directes est

${\displaystyle f[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}]={\frac {1}{k!h^{k}}}\Delta ^{(k)}f( x_{0}).}$

Exemple

${\displaystyle {\begin{matrix}y_{0}&&&\\&\Delta y_{0}&&\\y_{1}&&\Delta ^{2}y_{0}&\\&\Delta y_{1 }&&\Delta ^{3}y_{0}\\y_{2}&&\Delta ^{2}y_{1}&\\&\Delta y_{2}&&\\y_{3}&&&\\\ fin{matrice}}}$

Voir également

• Quotient de différence
• L'algorithme de Neville
• Interpolation polynomiale
• Théorème de la valeur moyenne pour les différences divisées
• Intégrale Nörlund–Riz
• Le triangle de Pascal

Les références

• Louis Melville Milne-Thomson (2000) [1933]. Le calcul des différences finies . Société mathématique américaine. Chapitre 1 : Différences divisées. ISBN 978-0-8218-2107-7.
• Myron B. Allen ; Eli L. Isaacson (1998). Analyse numérique pour les sciences appliquées . John Wiley & Fils. Annexe A. ISBN 978-1-118-03027-1.
• Ron Goldman (2002). Algorithmes pyramidaux : une approche de programmation dynamique des courbes et des surfaces pour la modélisation géométrique . Morgan Kaufmann. Chapitre 4 : Interpolation de Newton et triangles de différence. ISBN 978-0-08-051547-2.

Liens externes

• Une implémentation en Haskell .