Merkkijono tärinä - String vibration

Värähtely on merkkijono on aalto . Resonanssi saa tärisevän merkkijonon tuottamaan äänen tasaisella taajuudella , ts. Vakiolla . Jos kielen pituus tai kireys on säädetty oikein, tuotettu ääni on musiikkisävy . Tärisevät jouset ovat perusta jousisoittimille , kuten kitaroille , selloille ja pianoille .

Aalto

Aallon etenemisnopeus merkkijonossa ( ) on verrannollinen merkkijonon jännitysvoiman neliöjuureen ( ) ja kääntäen verrannollinen merkkijonon lineaarisen tiheyden ( ) neliöjuureen : ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle v = {\ sqrt {T \ over \ mu}}.}$

Tämän suhteen löysi Vincenzo Galilei 1500-luvun lopulla.

Johtaminen

Lähde:

Anna olla pituus on narusta, sen massa , ja sen lineaarinen tiheys . Jos kulmat ja ovat pieniä, niin vaakakomponentit jännityksen kummallakin puolella molemmat voidaan arvioida vakio , jonka verkko vaakasuora voima on nolla. Vastaavasti käyttämällä pientä kulma-approksimaatiota merkkijonosegmentin molemmille puolille vaikuttavat vaakajännitykset saadaan ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ alfa}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T_ {1x} = T_ {1} \ cos (\ alfa) \ noin T.}$

${\ displaystyle T_ {2x} = T_ {2} \ cos (\ beta) \ noin T.}$

Newtonin vertikaalikomponentin toisen lain mukaan tämän kappaleen massa (joka on sen lineaarisen tiheyden ja pituuden tulo) kertaa sen kiihtyvyys, on yhtä suuri kuin kappaleen nettovoima: ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ Sigma F_ {y} = T_ {1y} -T_ {2y} = - T_ {2} \ sin (\ beta) + T_ {1} \ sin (\ alfa) = \ Delta ma \ noin \ mu \ Delta x {\ frac {\ osal ^ ^ {2} y} {\ ositettu t ^ {2}}}.}$

Jakamalla tämä ilmentyminen ja korvaamalla ensimmäisen ja toisen yhtälöt saadaan (voimme valita joko ensimmäinen tai toinen yhtälö , joten sopivasti valita kullakin on vastaavat kulma ja ) ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alfa}$

${\ displaystyle - {\ frac {T_ {2} \ sin (\ beta)} {T_ {2} \ cos (\ beta)}} + {\ frac {T_ {1} \ sin (\ alfa)} {T_ {1} \ cos (\ alpha)}} = - \ tan (\ beta) + \ tan (\ alpha) = {\ frac {\ mu \ Delta x} {T}} {\ frac {\ osittainen ^ {2 } y} {\ osittainen t ^ {2}}}.}$

Pienen kulman approksimaation mukaan narukappaleen päissä olevien kulmien tangentit ovat yhtä suuret kuin päissä olevat kaltevuudet, ja ylimääräinen miinusmerkki johtuu ja . Tämän tosiasian käyttäminen ja järjestäminen tarjoaa ${\ displaystyle \ alfa}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Delta x}} \ vasen (\ vasen. {\ frac {\ osal y} {\ osittain x}} \ oikea | ^ {x + \ Delta x} - \ vasen. { \ frac {\ osal y} {\ osallinen x}} \ oikea | ^ {x} \ oikea) = {\ frac {\ mu} {T}} {\ frac {\ osallinen ^ {2} y} {\ osallinen t ^ {2}}}.}$

Rajaan, joka lähestyy nollaa, vasen puoli on toisen johdannaisen määritelmä : ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partisal ^ {2} y} {\ partituali x ^ {2}}} = {\ frac {\ mu} {T}} {\ frac {\ osallinen ^ {2} y} { \ osittainen t ^ {2}}}.}$

Tämä on aallon yhtälö , ja toisen aikajohdannaisen termin kerroin on yhtä suuri kuin ; täten ${\ displaystyle y (x, t)}$${\ displaystyle {\ frac {1} {v ^ {2}}}}$

${\ displaystyle v = {\ sqrt {T \ over \ mu}},}$

Missä on nopeus etenemisnopeus aallon merkkijono (katso artikkeli aaltoyhtälö lisää tästä). Tämä johde on kuitenkin voimassa vain pienen amplitudin värähtelyille; Niille, joilla on suuri amplitudi, ei ole hyvä arvio lähdekappaleen pituudelle, jännityksen vaakasuora komponentti ei välttämättä ole vakio. Horisontaaliset jännitteet eivät ole hyvin lähellä . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle T}$

Aallon taajuus

Kun etenemisnopeus on tiedossa, taajuus ja äänen tuottaman merkkijono voidaan laskea. Nopeus etenemissuunnan aalto on yhtä suuri kuin aallonpituus jaettuna aikana , tai kerrottuna taajuuden :${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle v = {\ frac {\ lambda} {\ tau}} = \ lambda f.}$

Jos merkkijonon pituus on , perusharmoninen on värähtelyn tuottama, jonka solmut ovat merkkijonon kaksi päätä, niin on puolet yliaallon aallonpituudesta. Siksi saadaan Mersennen lait : ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle f = {\ frac {v} {2L}} = {1 \ yli 2L} {\ sqrt {T \ over \ mu}}}$

jossa on jännitys (newtoneina), on lineaarinen tiheys (eli massa pituusyksikköä kohden), ja on pituus värähtelevän osan merkkijono. Siksi: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle L}$

• Lyhyempi merkkijono, sitä korkeampi taajuus perus
• mitä korkeampi jännite, sitä korkeampi on perustaajuuden taajuus
• mitä kevyempi merkkijono on, sitä korkeampi taajuus on perustaajuudella

Lisäksi, jos otamme n: nnen harmonisen olevan aallonpituuden , saadaan helposti lauseke n: nnen harmonisen taajuudelle: ${\ displaystyle \ lambda _ {n} = 2L / n}$

${\ displaystyle f_ {n} = {\ frac {nv} {2L}}}$

Ja merkkijonon jännityksellä T lineaarinen tiheys , sitten ${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle f_ {n} = {\ frac {n} {2L}} {\ sqrt {\ frac {T} {\ mu}}}}$

Merkkijonovärähtelyjen tarkkailu

Tärisevän merkkijonon aaltomuodot voidaan nähdä, jos taajuus on riittävän alhainen ja värisevä merkkijono pidetään CRT-näytön edessä , kuten television tai tietokoneen ( ei analogisen oskilloskoopin) edessä. Tätä vaikutusta kutsutaan stroboskooppiseksi vaikutukseksi , ja nopeus, jolla merkkijono näyttää värisevän, on merkkijonon taajuuden ja näytön virkistystaajuuden ero . Sama voi tapahtua loistelampun kanssa nopeudella, joka on merkkijonon taajuuden ja vaihtovirran taajuuden ero . (Jos näytön virkistystaajuus on yhtä suuri kuin merkkijonon tai sen kokonaislukukerran taajuus, merkkijono näkyy paikallaan mutta epämuodostuneena.) Päivänvalossa ja muissa ei-värähtelevissä valonlähteissä tätä vaikutusta ei esiinny ja merkkijono näkyy edelleen, mutta paksumpi, kevyempi tai hämärtynyt näön pysyvyyden vuoksi .

Samanlainen, mutta hallittavampi vaikutus voidaan saada käyttämällä stroboskooppia . Tämä laite mahdollistaa ksenon-salamavalon taajuuden sovittamisen merkkijonon värähtelytaajuuteen. Pimeässä huoneessa tämä osoittaa selvästi aaltomuodon. Muussa tapauksessa voidaan käyttää taivutusta tai ehkä helpommin säätämällä koneen päitä, jotta saadaan sama tai moninkertainen vaihtotaajuus saman vaikutuksen saavuttamiseksi. Esimerkiksi kitaran tapauksessa kuudennelle nauhalle painettu kuudes (matalimman äänen) kieli antaa G: n taajuudella 97,999 Hz. Pieni säätö voi muuttaa sen arvoksi 100 Hz, tarkalleen yhden oktaavan yli 50 Hz: n vaihtovirran taajuuden Euroopassa ja useimmissa Afrikan ja Aasian maissa. Useimmissa Amerikan maissa - joissa vaihtotaajuus on 60 Hz - A #: n muuttaminen viidennessä merkkijonossa, ensimmäinen nauhoitus 116,54 Hz: stä 120 Hz: iin tuottaa samanlaisen vaikutuksen.

Tosielämän esimerkki

Wikipedian käyttäjän Jackson Professional Soloist XL sähkökitaran on mutteri -to- silta etäisyys (joka vastaa edellä) 25 5 / 8 sisään. Ja D'Addario XL Nikkeli-haavan Super-valo-mittari ERI-120 sähkökitaran kielet kanssa seuraavat valmistajan tiedot: ${\ displaystyle L}$

D'Addario EXL-120 valmistajan tekniset tiedot

Merkkijono nro.	Paksuus [tuumaa] ( )${\ displaystyle d}$	Suositeltu jännitys [lbs.] ( )${\ displaystyle T}$	${\ displaystyle \ rho}$[g / cm 3 ]
1	0,00899	13.1	7,726 (terässeos)
2	0,0110	11.0	"
3	0,0160	14.7	"
4	0,0241	15.8	6.533 (nikkelikäämitty terässeos)
5	0,0322	15.8	"
6	0,0416	14.8	"

Mitä edellä olevat tiedot huomioon ottaen olisivat lasketut värähtelytaajuudet ( ) edellä olevien jousien yliaaltojen suhteen, jos jouset jousitettaisiin valmistajan suosittelemissa jännitteissä? ${\ displaystyle f}$

Vastauksena tähän voimme aloittaa edellisen osan kaavalla seuraavasti : ${\ displaystyle n = 1}$

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {T} {\ mu}}}}$

Lineaarinen tiheys voidaan ilmaista paikkatiheydellä (massa / tilavuus) suhteen kautta , missä on merkkijonon säde ja halkaisija (eli paksuus) yllä olevassa taulukossa: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ mu = \ pi r ^ {2} \ rho = \ pi d ^ {2} \ rho / 4}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle f = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {T} {\ pi d ^ {2} \ rho / 4}}} = {\ frac {1} {2Ld}} {\ sqrt {\ frac {4T} {\ pi \ rho}}} = {\ frac {1} {Ld}} {\ sqrt {\ frac {T} {\ pi \ rho}}}}$

Ja laskemista varten, voidaan korvata jännityksen edellä, kautta Newtonin toinen laki (Force = massa x kiihtyvyys), ilmaisu , jossa on massa, joka, on maapallon pinnalla, olisi vastaava paino, joka vastaa jännitystä arvoja vuonna yllä oleva taulukko suhteessa maapallon painovoiman aiheuttamaan vakiokiihtyvyyteen , cm / s ² . (Tämä korvaaminen on kätevä tässä, koska merkkijono jännitteitä valmistajan toimittamien edellä ovat kiloa voima , joka voidaan sopivimmin muunnetaan vastaava massat kilogrammoina kautta tuttu muuntokerroin 1 lb = 453,59237 g.) Edellä kaava sitten nimenomaisesti tulee: ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T = ma}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle g_ {0} = 980.665}$

${\ displaystyle f _ {\ mathrm {Hz}} = {\ frac {1} {L _ {\ mathrm {in}} \ kertaa 2,54 \ \ mathrm {cm / in} \ kertaa d _ {\ mathrm {sisään}} \ kertaa 2,54 \ \ mathrm {cm / in}}} {\ sqrt {\ frac {T _ {\ mathrm {lb}} \ kertaa 453,59237 \ \ mathrm {g / lb} \ kertaa 980,665 \ \ mathrm {cm / s ^ {2 }}} {\ pi \ kertaa \ rho _ {\ mathrm {g / cm ^ {3}}}}}}}$

Tämän kaavan avulla lasketaan merkkijono nro. 1 yllä tuottaa: ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f_ {1} = {\ frac {1} {25,625 \ \ mathrm {in} \ kertaa 2,54 \ \ mathrm {cm / in} \ kertaa 0,00899 \ \ mathrm {sisään} \ kertaa 2,54 \ \ mathrm {cm / in}}} {\ sqrt {\ frac {13.1 \ \ mathrm {lb} \ kertaa 453.59237 \ \ mathrm {g / lb} \ kertaa 980.665 \ \ mathrm {cm / s ^ {2}}} {\ pi \ kertaa 7,726 \ \ mathrm {g / cm ^ {3}}}}} \ noin 330 \ \ mathrm {Hz}}$

Tämän laskennan toistaminen kaikille kuudelle merkkijonolle johtaa seuraaviin taajuuksiin. Jokaisen taajuuden vieressä on nuotti ( tieteellisessä sävelkorkeudessa ) tavallisessa kitaran virityksessä, jonka taajuus on lähinnä, mikä vahvistaa, että yllä olevien jousien merkitseminen valmistajan suosittelemiin jännitteisiin johtaa todellakin kitaran vakiokorkeuksiin:

Perusharmonikot laskettuna yllä olevien merkkijono-värähtelykaavojen avulla

Merkkijono nro.	Laskettu taajuus [Hz]	Lähin huomautus A440 12-TET -virityksessä
1	330	E 4 (= 440 ÷ 2 5/12 ≈ 329,628 Hz)
2	247	B 3 (= 440 ÷ 2 10/12 ≈ 246,942 Hz)
3	196	G 3 (= 440 ÷ 2 14/12 ≈ 195,998 Hz)
4	147	D 3 (= 440 ÷ 2 19/12 ≈ 146,832 Hz)
5	110	2 (= 440 ÷ 2 24/12 = 110 Hz)
6	82.4	E 2 (= 440 ÷ 2 29/12 ≈ 82.407 Hz)

Katso myös

• Nauhoitetut instrumentit
• Musiikkiakustiikka
• Pyöreän rummun tärinä
• Melden kokeilu
• 3. silta (harmoninen resonanssi, joka perustuu yhtäläisiin merkkijakoihin)
• Merkkijono resonanssi
• Heijastusvaiheen muutos

Viitteet

• Molteno, TCA; NB Tufillaro (syyskuu 2004). "Kokeellinen tutkimus merkkijonon dynamiikasta". American Journal of Physics . 72 (9): 1157–1169. Raamatun koodi : 2004AmJPh..72.1157M . doi : 10.1119 / 1.1764557 .
• Tufillaro, NB (1989). "Epälineaariset ja kaoottiset merkkijonovärähtelyt". American Journal of Physics . 57 (5): 408. Raamatun koodi : 1989AmJPh..57..408T . doi : 10.1119 / 1.16011 .

Erityinen

Ulkoiset linkit

• Alain Gorielyn ja Mark Robertson-Tessin " värisevä kieli " , The Wolfram Demonstrations Project .