Puunleveys - Treewidth

Vuonna graafiteoria The treewidth on suuntaamaton verkko on kokonaisluku, joka määrittelee, epävirallisesti, miten pitkälle kuvaaja on olemasta puusta . Pienin puunleveys on 1; kaaviot puunleveydellä 1 ovat täsmälleen puita ja metsiä . Kaaviot, joiden puunleveys on enintään 2, ovat sarjan rinnakkaisia kaavioita . Suurimpia kaavioita, joiden puunleveys on täsmälleen k, kutsutaan k -puiksi ja kaavioita, joiden puunleveys on enintään k, kutsutaan osittaisiksi k -puiksi . Monilla muilla hyvin tutkituilla kuvaajaperheillä on myös rajoitettu puunleveys.

Treewidth voidaan muodollisesti määritellä useilla yhtä tavalla: koko suurimman kärki joukko on puu hajoaminen kuvaajan, koko suurin klikki on jännemäinen loppuun kuvaajan, enintään suuruusluokaltaan satama kuvataan strategia takaa-ajamispeli kaaviossa tai bramble- enimmäisjärjestys , kokoelma yhdistettyjä alakuvioita, jotka kaikki koskettavat toisiaan.

Puunleveyttä käytetään yleisesti parametrina kuvaajan algoritmien parametroidussa monimutkaisuusanalyysissä . Monet algoritmit, jotka ovat NP-vaikeita yleisille kaavioille, helpottuvat, kun puunleveyttä rajoittaa vakio.

Puunleveyden käsitteen ottivat alun perin käyttöön Umberto Bertelè ja Francesco Brioschi ( 1972 ) ulottuvuuden nimellä . Myöhemmin löysivät Rudolf Halin ( 1976 ), joka perustuu ominaisuuksiin, jotka se jakaa eri kuvaajan parametrin Hadwiger numero . Myöhemmin Neil Robertson ja Paul Seymour ( 1984 ) löysivät sen uudelleen, ja sen jälkeen monet muut kirjailijat ovat tutkineet sitä.

Määritelmä

Kaavio, jossa on kahdeksan kärkeä ja puun hajoaminen puulle, jossa on kuusi solmua. Jokainen kuvaajan reuna yhdistää kaksi pistettä, jotka on lueteltu yhdessä jossakin puusolmussa, ja jokainen kuvaajan kärki luetellaan puun viereisen osapuun solmuissa. Jokaisessa puusolmussa on korkeintaan kolme kärkeä, joten tämän hajoamisen leveys on kaksi.

Puu hajoaminen graafin G = ( V , E ) on puu, T , jossa solmut X ₁ , ..., X _n , missä kukin X _i on osajoukko V , joka täyttää seuraavat ominaisuudet (termi solmu on käytetään viittaamaan T -pisteeseen, jotta vältetään sekaannus G -pisteiden kanssa ):

Liitto Kaikkien sarjaa X _i on yhtä suuri kuin V . Toisin sanoen jokainen kuvaajan kärki sisältyy ainakin yhteen puusolmuun.
Jos X _i ja X _j molemmat sisältävät piste v , sitten kaikki solmut X _k ja T on (ainutlaatuinen) polku välillä X _i ja X _j sisältävät vastaan samoin. Vastaavasti kärkipistettä v sisältävät puusolmut muodostavat yhdistetyn T -alipuun .
Jokaisella kaavion reunalla ( v , w ) on osajoukko X _i, joka sisältää sekä v että w . Toisin sanoen kärkipisteet ovat kuvaajan vieressä vain, kun vastaavilla osapuilla on yhteinen solmu.

Leveys puun hajoaminen on koko sen suurin joukko X _i miinus yksi. Treewidth tw ( G ), joka on kaavio G on pienin leveys kaikkien mahdollisten joukosta puu hajotelmat ja G . Tässä määritelmässä suurimman joukon kokoa pienennetään yhdellä, jotta saadaan puun leveys yhtä suureksi.

Vastaavasti treewidth ja G on yksi vähemmän kuin koko suurin klikki on chordal kuvaajan , joka sisältää G , jolla on pienin klikki numero . Tämän klikin kokoinen sointukuvaaja voidaan saada lisäämällä G: hen reuna jokaisen kahden kärkipisteen väliin, jotka molemmat kuuluvat ainakin yhteen joukosta X _i .

Treewidth voidaan myös tunnettu kannalta veroparatiisien , toimii kuvaten kiertämisen strategia tietyn harjoittamista-kiertämisen peli on määritelty kaavion. Graafi G on treewidth k , jos ja vain jos se on tyyssija järjestyksessä k + 1 , mutta mitään korkeamman asteen, jossa tyyssija järjestyksessä k + 1 on funktio, β , joka kuvaa kunkin ryhmän X , joka on korkeintaan k pisteiden G osaksi yksi kytketyn komponenttien G \ X ja tottelee monotonicity ominaisuus, että p ( Y ) ⊆ p ( X ) , kun X ⊆ Y .

Karhunvatukka järjestyksen neljä on 3 x 3 ruudukko kuvaaja, jonka olemassaolo osoittaa, että graafissa on treewidth vähintään 3

Samankaltainen luonnehdinta voidaan tehdä myös käyttämällä bramblereja , toisiinsa liitettyjen osakaavioiden perheitä, jotka kaikki koskettavat toisiaan (eli joko jakavat kärkipisteen tai ovat yhdistyneet reunan kanssa). Määräyksestä orjantappuralle on pienin lyömällä asetetun varten perheen subgraphs ja treewidth kuvaajan on yksi vähemmän kuin suurin määräyksestä karhunvatukkaa.

Esimerkkejä

Jokaisella täydellisellä kuvaajalla K _n on puunleveys n - 1. Tämä on helpointa nähdä käyttämällä puunleveyden määritelmää akordikaavioina: koko kuvaaja on jo sointuinen, eikä useampien reunojen lisääminen voi pienentää suurimman klikin kokoa.

Yhdistetyn kuvaajan, jolla on vähintään kaksi huippua, puunleveys on 1 ja vain, jos se on puu. Puulla on puunleveys yksi ja sama päättely kuin täydellisissä kaavioissa (nimittäin se on sointuinen, ja sen maksimiklikkikoko on kaksi). Päinvastoin, jos kuvaajalla on sykli, jokainen kuvaajan akordinen täydennys sisältää vähintään yhden kolmion, joka koostuu kolmesta peräkkäisestä syklin kärjestä, josta seuraa, että sen puunleveys on vähintään kaksi.

Rajattu puunleveys

Kuvaajaperheet, joilla on rajoitettu puunleveys

Minkä tahansa kiinteän vakion k osalta puunleveyden kuvaajaa korkeintaan k kutsutaan osittaisiksi k -puiksi . Muut perheiden kaaviot rajoittuu treewidth ovat cactus kaavioita , pseudoforests , sarja-rinnan kaavioita , outerplanar kuvaajat , Halin kaavioita , ja apollonisen verkoissa . Ohjausvuotietojen kaavioita ilmeneviin kokoelma on jäsennelty ohjelmia myös rajatun treewidth, joka sallii tiettyjä tehtäviä, kuten rekisterin jako voidaan suorittaa tehokkaasti niitä.

Tasomainen kuvaajat ei ole rajoitettu treewidth, koska n x n ruudukko kuvaaja on tasomainen kuvaajan treewidth täsmälleen n . Siksi, jos F on pienimuotoinen suljettu kuvaajaperhe, jolla on rajoitettu puunleveys, se ei voi sisältää kaikkia tasomaisia kaavioita. Päinvastoin, jos jotakin tasomaista kuvaajaa ei voi esiintyä sivuaineena perheen F kuvaajalle , silloin on vakio k siten, että kaikilla F: n kuvaajalla on puunleveys enintään k . Eli seuraavat kolme ehtoa vastaavat toisiaan:

F on rajoitetun puunleveyden kuvaajan vähä-suljettu perhe;
Yksi F: tä kuvaavista lopullisesti monista kielletyistä alaikäisistä on tasomainen;
F on pienikokoinen suljettu kuvaajaperhe, joka ei sisällä kaikkia tasomaisia kaavioita.

Kielletty alaikäinen

Neljä kiellettyä alaikäistä puunleveydellä 3: K ₅ (vasen ylhäällä), oktaedrin kuvaaja (alhaalla vasemmalla), Wagnerin kuvaaja (ylhäällä oikealla) ja viisikulmaisen prisman kuvaaja (alhaalla oikealla)

Jokaista äärellinen arvo k , kaavioita treewidth korkeintaan k voidaan luonnehtia rajallinen joukko kielletty alaikäisten . (Toisin sanoen mikä tahansa puunleveyden> k kuvaaja sisältää yhden joukon kaavioista sivuaineena.) Kukin näistä kiellettyjen alaikäisten joukoista sisältää vähintään yhden tasomaisen kuvaajan.

Jos k = 1, ainutlaatuinen kielletty molli on 3-pisteinen syklikaavio .
Jos k = 2, ainutlaatuinen kielletty molli on 4-pisteinen kokonaiskaavio K ₄ .
For k = 3, on neljä kielletty alaikäisiä: K ₅ , kuvaaja octahedron , viisikulmainen prisma kaavio , ja Wagner kuvaaja . Näistä kaksi polyedristä kuvaajaa ovat tasomaisia.

Suuremmilla k -arvoilla kiellettyjen alaikäisten määrä kasvaa vähintään yhtä nopeasti kuin k: n neliöjuurin eksponentiaali . Kiellettyjen alaikäisten koon ja lukumäärän tunnetut ylärajat ovat kuitenkin paljon korkeammat kuin tämä alaraja.

Algoritmit

Puunleveyden laskeminen

Se on NP-täydellinen määrittämään, onko tietyllä kuvaajalla G puunleveys enintään tiettyä muuttujaa k . Kuitenkin, kun k on mikä tahansa kiinteä vakio, kuvaajat, joilla on puunleveys k, voidaan tunnistaa ja heille voidaan rakentaa leveys k puun hajoaminen lineaarisessa ajassa. Tämän algoritmin aikariippuvuus k: sta on eksponentiaalinen.

Koska puunleveydellä on valtava määrä kenttiä, kehitettiin erilaisia käytännön ja teoreettisia algoritmeja, jotka laskivat kuvaajan puuleveyden. Käytettävissä olevasta sovelluksesta riippuen voidaan valita parempi lähentymissuhde tai parempi riippuvuus käyntiajasta syötteen koosta tai puunleveydestä. Alla olevassa taulukossa on yleiskuva joistakin puunleveyden algoritmeista. Tässä on puunleveys ja syöttökäyrän kärkipisteiden lukumäärä . Kukin algoritmeista antaa ajallaan Lähestymisarakkeessa annetun leveyden hajoamisen. Esimerkiksi Bodlaenderin (1996) algoritmi ajassa joko rakentaa puun hajoamisen korkeintaan leveyden syöttökaaviosta tai ilmoittaa, että puunleveys on yli . Samoin Bodlaender et ai. (2016) ajan kuluessa joko rakentaa puun hajoamisen korkeintaan leveyden syöttökaaviosta tai ilmoittaa, että puun leveys on yli . Korhonen (2021) paransi tämän samaan ajoaikaan. ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle f (k) \ cdot g (n)}$ ${\ displaystyle O (k^{O (k^{3})}) \ cdot n}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle 2^{O (k)} \ cdot n}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle 5k+4}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle 2k+1}$

Lähestyminen	f (k)	g (n)	viite
tarkka	${\ displaystyle O (1)}$	${\ displaystyle O (n^{k+2})}$	Arnborg, Corneil & Proskurowski (1987)
${\ displaystyle 4k+3}$	${\ displaystyle O (3^{3k})}$	${\ displaystyle O (n^{2})}$	Robertson & Seymour (1995)
${\ displaystyle 8k+7}$	${\ displaystyle 2^{O (k \ log k)}}$	${\ displaystyle n \ log ^{2} n}$	Lagergren (1996)
${\ displaystyle 5k+4}$	${\ displaystyle 2^{O (k \ log k)}}$	${\ displaystyle n \ log n}$	Reed (1992)
tarkka	${\ displaystyle k^{O (k^{3})}}$	${\ displaystyle O (n)}$	Bodlaender (1996)
${\ displaystyle O (k \ cdot {\ sqrt {\ log k}})}$	${\ displaystyle O (1)}$	${\ displaystyle n^{O (1)}}$	Feige, Hajiaghayi & Lee (2008)
${\ displaystyle 4,5k+4}$	${\ displaystyle 2^{3k}}$	${\ displaystyle n^{2}}$	Amir (2010)
${\ displaystyle {\ frac {11} {3}} k+4}$	${\ displaystyle 2^{3.6982k}}$	${\ displaystyle n^{2}}$	Amir (2010)
tarkka	${\ displaystyle O (1)}$	${\ displaystyle O (1.7347^{n})}$	Fomin, Todinca & Villanger (2015)
${\ displaystyle 3k+2}$	${\ displaystyle 2^{O (k)}}$	${\ displaystyle O (n \ log n)}$	Bodlaender et ai. (2016)
${\ displaystyle 5k+4}$	${\ displaystyle 2^{O (k)}}$	${\ displaystyle O (n)}$	Bodlaender et ai. (2016)
${\ displaystyle k^{2}}$	${\ displaystyle O (k^{7})}$	${\ displaystyle O (n \ log n)}$	Fomin et ai. (2018)
${\ displaystyle 5k+4}$	${\ displaystyle 2^{8.765k}}$	${\ displaystyle O (n \ log n)}$	Belbasi & Fürer (2020)
${\ displaystyle 2k+1}$	${\ displaystyle 2^{O (k)}}$	${\ displaystyle O (n)}$	Korhonen (2021)

Ratkaisematon matematiikan ongelma :

Voidaanko tasomaisten kaavioiden puuleveys laskea polynomiajassa?

(lisää ratkaisemattomia matematiikan ongelmia)

Ei tiedetä, onko tasomaisten kaavioiden puuleveyden määrittäminen NP-täydellinen vai voidaanko niiden puunleveys laskea polynomiajassa.

Käytännössä Shoikhet & Geiger (1997) -algoritmi voi määrittää enintään 100 kärjen kuvaajan ja puunleveyden enintään 11 kaavion puunleveyden ja löytää näiden kaavioiden akordisen täydennyksen optimaalisella puunleveydellä.

Muiden ongelmien ratkaiseminen pienen puuleveyden kaavioissa

1970 -luvun alussa havaittiin, että suuri joukko kaavioissa määriteltyjä kombinatorisia optimointitehtäviä voitaisiin ratkaista tehokkaasti muulla kuin sarjamuotoisella dynaamisella ohjelmoinnilla , kunhan kaaviossa on rajoitettu ulottuvuus , parametri, jonka Bodlaender on osoittanut vastaavan puunleveyttä (1998) . Myöhemmin useat kirjoittajat havaitsivat itsenäisesti 1980-luvun lopulla, että monet algoritmiset ongelmat, jotka ovat NP-täydellisiä mielivaltaisille kaavioille, voidaan ratkaista tehokkaasti dynaamisella ohjelmoinnilla rajoitetun puunleveyden kaavioille käyttämällä näiden kaavioiden puiden hajoamista.

Esimerkiksi ongelma väritys kaavio treewidth k voidaan ratkaista käyttämällä dynaamista ohjelmointia algoritmi puun hajoamista kuvaajan. Kullekin puun hajoamisjoukolle X _i ja jokaiselle X _i: n pisteiden osiolle väriluokiksi algoritmi määrittää, onko väritys kelvollinen ja voidaanko se laajentaa kaikkiin puun hajoamisen jälkeläissolmuihin yhdistämällä samankaltaisen tiedon tyyppi lasketaan ja tallennetaan näihin solmuihin. Tuloksena oleva algoritmi löytää n -pistekaavion optimaalisen värityksen ajassa O ( k ^k⁺^O⁽¹⁾n ), joka on aikaraja, joka tekee tästä ongelmasta kiinteän parametrin siirrettävän .

Courcellen lause

Suurelle ongelmaluokalle on lineaarinen aika-algoritmi, joka ratkaisee ongelman luokasta, jos tarjotaan puun hajoaminen vakiorajoitetulla puunleveydellä. Erityisesti, Courcelle teoreema todetaan, että jos kuvaaja ongelma voidaan ilmaista, että logiikan kuvaajat käyttäen monadisen toisen kertaluvun logiikka , niin se voidaan ratkaista lineaarisella aikaa kaaviot rajoitettujen treewidth. Monadic toisen kertaluvun logiikka on kieli kuvaamaan kaavio ominaisuuksia, joka käyttää seuraavia rakenteita: loogisia operaatioita ( ), jäsenyys testit (esim, ), kvantisoinnit yli pisteistä, reunoista, sarjaa pisteiden, sarjaa reunat (esim , , , ), vierekkäisyystestit ( u on päätepiste e ) ja jotkin laajennukset, jotka mahdollistavat esimerkiksi optimoinnin. ${\ displaystyle \ wedge, \ vee, \ neg, \ Rightarrow}$ ${\ displaystyle e \ in E, v \ in V}$ ${\ displaystyle \ forall}$ ${\ displaystyle v \ in V}$ ${\ displaystyle \ olemassa}$ ${\ displaystyle e \ in E}$ ${\ displaystyle \ olemassa}$ ${\ displaystyle I \ subseteq V}$ ${\ displaystyle \ forall}$ ${\ displaystyle F \ subseteq E}$

Ajattele esimerkiksi kaavioiden 3- väritehtävää. Kaaviossa tämä ongelma kysyy, onko mahdollista antaa kullekin pisteelle yksi kolmesta väristä siten, että kahdelle vierekkäiselle kärjelle ei ole annettu samaa väriä. Tämä ongelma voidaan ilmaista monadisella toisen asteen logiikalla seuraavasti: ${\ displaystyle G = (V, E)}$ ${\ displaystyle v \ in V}$

{\ displaystyle \ olemassa W_ {1} \ subseteq V: \ olemassa W_ {2} \ subseteq V: \ olemassa W_ {3} \ subseteq V: \ forall v \ in V: (v \ in W_ {1} \ vee v \ W_ {2} \ vee v \ W_ {3}) \ kiila}

{\ displaystyle \ forall v \ in V: \ forall w \ in V: (v, w) \ in E \ Rightarrow (\ neg (v \ in W_ {1} \ wedge w \ in W_ {1}) \ kiila \ neg (v \ in W_ {2} \ wedge w \ in W_ {2}) \ wedge \ neg (v \ in W_ {3} \ wedge w \ in W_ {3}))}

,

missä edustavat pisteiden osajoukkoja, joissa on kukin kolmesta väristä. Siksi Courcellen tulosten perusteella 3-väritysongelma voidaan ratkaista lineaarisessa ajassa kuvaajalle, kun otetaan huomioon rajoitetun vakio puuleveyden puun hajoaminen. ${\ displaystyle W_ {1}, W_ {2}, W_ {3}}$

Aiheeseen liittyvät parametrit

Reitin leveys

Pathwidth kuvaajan on hyvin samankaltainen määritelmä treewidth kautta puu dekompositiot, mutta on rajoitettu puu dekompositiot jossa taustalla puu hajoaminen on polku kaavio . Vaihtoehtoisesti polun leveys voidaan määritellä aikaväleistä analogisesti puunleveyden määrittämiseen akordikaavioista. Tämän seurauksena kaavion reittileveys on aina vähintään yhtä suuri kuin sen puuleveys, mutta se voi olla suurempi vain logaritmisella kertoimella. Toisella parametrilla, kuvaajan kaistanleveydellä , on analoginen määritelmä oikeista aikaväleistä , ja se on vähintään yhtä suuri kuin reitin leveys. Muita asiaan liittyviä parametreja ovat puun syvyys , luku, joka on rajoitettu vähäisen suljetun kuvaajan perheelle silloin ja vain, jos perhe sulkee pois polun, ja degeneraatio , joka on kuvaajan harvinaisuuden mitta, joka on enintään sen puun leveys.

Ruudukko pienikokoinen

Koska treewidth olevan n x n verkkoon kuvaaja on n , treewidth kuvaajan G on aina suurempi kuin tai yhtä suuri kuin koko suurimman neliö verkkoon pieniä ja G . Toiseen suuntaan, ruudukko vähäinen lause mukaan Robertson ja Seymour osoittaa, että on olemassa funktio f siten, että treewidth on korkeintaan f ( r ), jossa r on koko suurimman neliön verkon vähäinen. Parhaat tunnetut rajat f: ssä ovat, että f: n on oltava vähintään Ω ( r ^d ) jollekin kiinteälle vakioon d > 0 ja enintään O ( √ r /log r ). Tiukemmat rajat tunnetaan rajoitetuista kuvaajaperheistä, mikä johtaa tehokkaisiin algoritmeihin monien näiden kaavioiden optimointitehtävien tekemiseksi kahden dimension teorian kautta . Halin sähköverkkoon lause aikaansaa analoginen suhde treewidth ja ruudukko pieniä koko ääretön kuvaajat.

Halkaisija ja paikallinen puunleveys

Perhe F kaavioita suljettu ottaen subgraphs sanotaan rajoittuu paikallisiin treewidth , tai halkaisija-treewidth ominaisuus , jos treewidth käyrien perheessä on rajaa ylempää funktiolla niiden halkaisija . Jos luokka on myös oletetaan olevan suljettu ottaen alaikäisten , sitten F on rajoittuu paikallisiin treewidth jos ja vain jos yksi kielletty alaikäisten varten F on kärki kaavio . Alkuperäiset todisteet tästä tuloksesta osoittivat, että puunleveys kärkipisteettömässä kuvaajaperheessä kasvaa korkeintaan kaksinkertaisesti eksponentiaalisesti halkaisijan funktiona; myöhemmin tämä supistettiin yksittäin eksponentiaaliseksi ja lopulta lineaariseksi. Rajattu paikallinen puunleveys liittyy läheisesti kaksiulotteisuuden algoritmisiin teorioihin , ja jokainen ensimmäisen kertalogiikan logiikassa määritettävä kuvaajan ominaisuus voidaan päättää kärki-vähäinen-vapaasta kuvaajaperheestä vain lyhyessä ajassa.

On myös mahdollista, että kaavioiden luokalla, jota ei ole suljettu alaikäisten alla, on rajoitettu paikallinen puunleveys. Tämä pätee erityisesti triviaalisti rajoitetun asteen kuvaajaluokkaan, koska rajoitetun halkaisijan osakaavioilla on rajoitettu koko. Toinen esimerkki on 1-tasomaiset kaaviot , kuvaajat, jotka voidaan piirtää tasoon yhdellä risteyksellä reunaa kohden, ja yleisemmin kuvaajat, jotka voidaan piirtää rajoitetun suvun pinnalle, jossa rajallinen määrä risteyksiä reunaa kohden. Tämä ominaisuus on osoittanut tietä tehokkaille likimääräisille algoritmeille näille kaavioille, kuten pieniä suljettuja kuvaajaperheitä, joilla on rajoitettu paikallinen puunleveys.

Hadwiger -numero ja S -toiminnot

Halin (1976) määrittelee kuvaajaparametrien luokan, jota hän kutsuu S -funktioiksi, mukaan lukien puunleveys. Näiden funktioiden kaavioista kokonaislukuihin on oltava nolla kaavioissa, joissa ei ole reunoja , ja niiden on oltava vähämonotoneja (funktiosta f käytetään nimitystä "vähäinen yksitoikkoinen", jos aina kun H on molli G: stä , on f (H) ) ≤ f (G)), lisätä yhdellä, kun uusi piste lisätään, joka on lähellä kaikki aiemmat pisteiden, ja ottaa suuremman arvon kahdesta subgraphs kummallakin puolella klikki erottimen . Kaikkien tällaisten toimintojen joukko muodostaa täydellisen hilaelementtikohtaisen minimoinnin ja maksimoinnin. Alkuun tekijä tässä ristikko on treewidth, ja pohjaelementti on Hadwiger numero , koko suurimman täydellinen vähäinen annetussa kaaviossa.

Huomautuksia

Viitteet

.

Arnborg, S .; Corneil, D .; Proskurowski, A. (1987), "Sulautusten löytämisen monimutkaisuus k -puusta", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 8 (2): 277–284, doi : 10.1137/0608024.
Arnborg, Stefan; Proskurowski, Andrzej; Corneil, Derek G. (1990), "Kiellettyjen alaikäisten karakterisointi osittaisista kolmipuista ", Diskreetti matematiikka , 80 (1): 1–19, doi : 10.1016/0012-365X (90) 90292-P , MR 1045920.
Arnborg, S .; Proskurowski, A. (1989), "Lineaariset aika-algoritmit NP-vaikeille ongelmille, jotka on rajoitettu osittaisiin k- puihin", Discrete Applied Mathematics , 23 (1): 11–24, doi : 10.1016/0166-218X (89) 90031- 0.
Bern, MW; Lawler, EL ; Wong, AL (1987), "Hajautuvien kaavioiden optimaalisten osakaavioiden lineaarinen laskenta", Journal of Algorithms , 8 (2): 216–235, doi : 10.1016/0196-6774 (87) 90039-3.
Bertelè, Umberto; Brioschi, Francesco (1972), Nonserial Dynamic Programming , Academic Press, s.37–38 , ISBN 978-0-12-093450-8.
Bodlaender, Hans L. (1988), "Dynaaminen ohjelmointi kaavioille, joiden puunleveys on rajoitettu", Proc. 15th International Colloquium on Automata, Languages and Programming , Lecture Notes in Computer Science, 317 , Springer-Verlag, s. 105–118, CiteSeerX 10.1.1.18.8503 , doi : 10.1007/3-540-19488-6_110 , ISBN 978-3-540-19488-0.
Bodlaender, Hans L. (1996), "Lineaarinen aika-algoritmi pienen puuleveyden puiden hajoamisen löytämiseksi", SIAM Journal on Computing , 25 (6): 1305–1317, CiteSeerX 10.1.1.19.7484 , doi : 10.1137/S0097539793251219.
Bodlaender, Hans L. (1998), "Osittainen k- karboretum kaavioista, joilla on rajattu puuleveys", Theoretical Computer Science , 209 (1-2): 1-45, doi : 10.1016/S0304-3975 (97) 00228-4.
Bodlaender, Hans L .; Drange, Pal G .; Dregi, Markus S .; Fomin, Fedor V .; Lokshtanov, Daniel; Pilipczuk, Michal (2016), "A c^kn 5-Approximation Algorithm for Treewidth", SIAM Journal on Computing , 45 (2): 317–378, arXiv : 1304.6321 , doi : 10.1137/130947374.
Chekuri, Chandra; Chuzhoy, Julia (2016), "Polynomial bounds for the grid-minor lause", Journal of the ACM , 63 (5): A40: 1-65, arXiv : 1305.6577 , doi : 10.1145/2820609 , MR 3593966 , S2CID 209860422.
Demaine, Erik D .; Fomin, Fedor V .; Hajiaghayi, MohammadTaghi; Thilikos, Dimitrios M. (2004), "Bidimensional parameter and local treewidth", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 18 (3): 501–511, CiteSeerX 10.1.1.107.6195 , doi : 10.1137/S0895480103433410 , MR 2134412.
Demaine, Erik D .; Hajiaghayi, MohammadTaghi (2004a), "Halkaisija ja puuleveys pienissä suljetuissa kuvaajaperheissä, tarkistettu", Algoritmica , 40 (3): 211–215, doi : 10.1007/s00453-004-1106-1 , MR 2080518 , S2CID 390856.
Demaine, Erik D .; Hajiaghayi, MohammadTaghi (2004b), "Paikallisen puunleveyden ja lineaarisen paikallisen puunleveyden vastaavuus ja sen algoritmiset sovellukset", Proceedings of the Fifteenth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms , New York: ACM, s. 840–849, MR 2290974.
Demaine, Erik D .; Hajiaghayi, MohammadTaghi (2008), "Lineaarisuus alaverkon alaikäisille puunleveydellä sovelluksilla tarjoamalla kaksiulotteisuutta" (PDF) , Combinatorica , 28 (1): 19–36, doi : 10.1007/s00493-008-2140-4 , S2CID 16520181.
Diestel, Reinhard (2004), "Lyhyt todiste Halinin ristikkoteoreemista", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 74 : 237–242, doi : 10.1007/BF02941538 , MR 2112834 , S2CID 124603912.
Diestel, Reinhard (2005), Graph Theory (3. painos), Springer , ISBN 978-3-540-26182-7.
Reed, Bruce (1996), Tehokkaat rinnakkaisalgoritmit rajoitetun puunleveyden kuvaajalle.
Amir, Eyal (2010), Lähestymisalgoritmit puunleveydelle.
Lagergren, Jens (1992), Likimääräisten erottimien löytäminen ja puun leveyden laskeminen nopeasti , Association for Computing Machinery , ISBN 0897915119.

Eppstein, D. (2000), "Halkaisija ja puuleveys pienissä suljetuissa kuvaajaperheissä", Algorithmica , 27 (3–4): 275–291, arXiv : math/9907126 , doi : 10.1007/s004530010020 , MR 1759751 , S2CID 3172160.
Feige, Uriel; Hajiaghayi, MohammadTaghi; Lee, James R. (2008), "Improved Approximation Algoritms for Minimum Weight Vertex Separators", SIAM Journal on Computing , 38 (2): 629-657, CiteSeerX 10.1.1.597.5634 , doi : 10.1137/05064299X.
Frick, Markus; Grohe, Martin (2001), "Paikallisesti puusta hajoavien rakenteiden ensimmäisen asteen ominaisuuksien ratkaiseminen", Journal of the ACM , 48 (6): 1184-1206, arXiv : cs/0004007 , doi : 10.1145/504794.504798 , MR 2143836 , S2CID 999472.
Fomin, Fedor V .; Lokshtanov, Daniel; Saurabh, Saket; Pilipczuk, Michal; Wrochna, Marcin (2018), "Fully Polynomial-Time Parameterized Computations for Graphs and Matrices of Low Treewidth", ACM Trans. Algoritmit , 14 (3): 34: 1–34: 45, arXiv : 1511.01379 , doi : 10.1145/3186898 , S2CID 2144798.
Grigoriev, Aleksanteri; Bodlaender, Hans L. (2007), "Algoritmit kaavioille, jotka voidaan upottaa pienillä risteyksillä per reuna", Algorithmica , 49 (1): 1–11, CiteSeerX 10.1.1.65.5071 , doi : 10.1007/s00453-007-0010-x , MR 2344391 , S2CID 8174422.
Halin, Rudolf (1976), " S -funktiot kuvaajalle ", Journal of Geometry , 8 (1–2): 171–186, doi : 10.1007/BF01917434 , S2CID 120256194.
Kao, Ming-Yang, toim. (2008), "Graafien puuleveys", Encyclopedia of Algorithms , Springer, s. 969, ISBN 9780387307701, Toinen pitkäaikainen avoin ongelma on, onko olemassa polynomi-aika-algoritmia tasomaisten kaavioiden puunleveyden laskemiseksi.
Korhonen, Tuukka (2021), Single-Exponential Time 2-Approximation Algoritm for Treewidth , arXiv : 2104.07463
Belbasi, Mahdi; Fürer, Martin (2020), Reed's Treewidth Approximation parannus , arXiv : 2010.03105
Lagergren, Jens (1993), "Yläraja esteen koolle", Kaaviorakenteen teoria (Seattle, WA, 1991) , Contemporary Mathematics, 147 , Providence, RI: American Mathematical Society, s. 601–621, doi : 10.1090/conm/147/01202 , ISBN 9780821851609, MR 1224734.
Ramachandramurthi, Siddharthan (1997), "Puurakenteen esteiden rakenne ja lukumäärä", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 10 (1) : 146–157 , doi : 10.1137/S0895480195280010 , MR 1430552.
Robertson, Neil ; Seymour, Paul D. (1984), "Graph minors III: Planar tree width", Journal of Combinatorial Theory, Series B , 36 (1): 49–64, doi : 10.1016/0095-8956 (84) 90013-3.
Robertson, Neil ; Seymour, Paul D. (1986), "Graph minors V: Exclusive a planar graph", Journal of Combinatorial Theory, Series B , 41 (1): 92–114, doi : 10.1016/0095-8956 (86) 90030-4.
Robertson, Neil ; Seymour, Paul D. (1995), "Graph Minors XIII: The Disjoint Paths Problem", Journal of Combinatorial Theory, B -sarja , 63 (1): 65–110, doi : 10.1006/jctb.1995.1006.
Robertson, Neil ; Seymour, Paul ; Thomas, Robin (1994), "Nopeasti pois tasomainen kuvaaja", Journal of Combinatorial Theory , Series B, 62 (2): 323–348, doi : 10.1006/jctb.1994.1073 , MR 1305057.
Satyanarayana, A .; Tung, L. (1990), "A Charakterization of parts 3-trees", Networks , 20 (3): 299–322, doi : 10.1002/net.3230200304 , MR 1050503.
Seymour, Paul D .; Thomas, Robin (1993), "Graph Searching and a Min-Max Theorem for Tree-Width.", Journal of Combinatorial Theory, B-sarja , 58 (1): 22–33, doi : 10.1006/jctb.1993.1027.
Shoikhet, Kirill; Geiger, Dan (1997), "Käytännön algoritmi optimaalisten kolmiomittausten löytämiseksi", Proc. AAAI '97 (PDF) , s. 185–190.
Thorup, Mikkel (1998), "Kaikilla strukturoiduilla ohjelmilla on pieni puuleveys ja hyvä rekisterin varaus", Information and Computation , 142 (2): 159–181, doi : 10.1006/inco.1997.2697.
Fomin, Fedor V .; Todinca, Ioan; Villanger, Yngve (2015), "Large Induced Subgraphs via Triangulations and CMSO", SIAM Journal on Computing , 44 (1): 54–87, arXiv : 1309.1559 , doi : 10.1137/140964801 , S2CID 15880453.

Languages

In other projects