Täysin irrotettu tila - Totally disconnected space

In topologia ja niihin liittyvät haarat matematiikan , joka on täysin irrotettu tila on topologinen tila , joka on mahdollisimman irrotettu, siinä mielessä, että sillä ei ole ei-triviaali kytketty osajoukot. Jokaisessa topologisessa tilassa singletonit (ja kun katsotaan yhdistetyiksi, tyhjä joukko) on kytketty toisiinsa; täysin irrotetussa tilassa nämä ovat ainoat yhdistetyt oikeat osajoukot.

Tärkeä esimerkki täysin irrotetusta tilasta on Cantor -sarja . Toinen esimerkki, on keskeinen rooli algebrallinen lukuteoria , on alalla Q _p on p -adic numeroita .

Määritelmä

Topologinen tila on täysin irti , jos liitettyjen laitteiden sisään on yhden pisteen sarjaa. Vastaavasti topologinen avaruus on täysin tie-irti , jos kaikki tie-komponentit in ovat yhden pisteen sarjaa. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Toinen läheisesti liittyvä käsite on täysin erillinen tila , eli tila, jossa kvaasikomponentit ovat singletoneja. Vastaavasti, topologinen tila on täysin erillään tilaa, jos ja vain jos jokaisen , risteyksessä kaikki clopen lähiöissä on Singleton . Vastaavasti kunkin parin erillisiä kohtia , on pari toisistaan erillään avoimen lähiöissä on sellainen, että . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ {x \}}$${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ displaystyle U, V}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle X = U \ sqcup V}$

Jokainen täysin erotettu tila on ilmeisesti täysin irrotettu, mutta päinvastoin on väärin jopa metrisissä tiloissa. Ota esimerkiksi Cantorin teepee, joka on Knaster – Kuratowski -tuuletin ja jonka kärki on poistettu. Sitten se on täysin irrotettu, mutta sen kvaasikomponentit eivät ole yksittäisiä. Paikallisesti kompakteissa Hausdorff -tiloissa nämä kaksi käsitettä ( täysin irrotettu ja täysin erotettu ) vastaavat toisiaan. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Valitettavasti kirjallisuudessa (esimerkiksi) täysin irrotettuja tiloja kutsutaan joskus perinnöllisesti irrotetuiksi, kun taas täysin irrotettuja termejä käytetään täysin erillisiin tiloihin.

Esimerkkejä

Seuraavassa on esimerkkejä täysin irrotetuista tiloista:

• Erilliset tilat
• Rationaalilukuja
• Irrationaaliluvut
• P-adic numerot ; yleisesti ottaen kaikki voitolliset ryhmät ovat täysin irti.
• Cantor asetettu ja Cantor avaruus
• Baire tila
• Sorgenfrey linja
• Jokainen pienen induktiivisen mitan 0 Hausdorff -tila on täysin irrotettu
• Erdős tila ℓ ² on täysin irti Hausdorff tila, joka ei ole pieni induktiivinen ulottuvuus 0.${\ displaystyle \, \ cap \, \ mathbb {Q} ^{\ omega}}$
• Erittäin irrotetut Hausdorff -tilat
• Kivitilat
• Knaster-Kuratowski tuuletin on esimerkki kytketyn tilan, siten, että poistaminen yhden pisteen tuottaa täysin irti tilaa.

Ominaisuudet

• Täysin irrotettujen tilojen alitilat , tuotteet ja yhteistuotteet irrotetaan kokonaan.
• Täysin irrotetut tilat ovat T ₁ -välilyöntejä , koska yksittäiset tilat ovat kiinni.
• Jatkuvia kuvia täysin irrotetuista tiloista ei välttämättä katkaista kokonaan, itse asiassa jokainen kompakti metrinen tila on jatkuva kuva Cantor -sarjasta .
• Paikallisesti kompakti Hausdorff tila on pieni induktiivinen ulottuvuus 0, jos ja vain jos se on täysin irrotettu.
• Jokainen täysin irrotettu kompakti metrinen tila on homeomorfinen erillisten tilojen laskettavan tuotteen osajoukolle .
• Yleensä ei pidä paikkaansa, että jokainen täysin irrotetun tilan avoin joukko on myös suljettu.
• Yleensä ei pidä paikkaansa, että jokaisen avoimen sarjan sulkeminen täysin irrotetussa tilassa on auki, toisin sanoen kaikki täysin irrotetut Hausdorff -tilat eivät ole äärimmäisen irti .

Täysin irrotetun tilan rakentaminen

Antaa olla mielivaltainen topologinen tila. Anna jos ja vain jos (missä tarkoittaa suurinta yhdistettyä osajoukkoa, joka sisältää ). Tämä on ilmeisesti ekvivalenssisuhde, jonka vastaavuusluokat ovat kytkettyjä komponentteja . Antaa kanssa osamäärä topologia eli hienoin topologia tekee kartan jatkuvan. Pienellä vaivalla voimme nähdä, että se on täysin irrotettu. Meillä on myös seuraavat universaali ominaisuus : jos jatkuva karttaa täysin irti tilaa , niin on olemassa ainutlaatuinen jatkuva kartan kanssa . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ sim y}$${\ displaystyle y \ in \ mathrm {conn} (x)}$${\ displaystyle \ mathrm {conn} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X/{\ sim}}$${\ displaystyle m: x \ mapsto \ mathrm {conn} (x)}$${\ displaystyle X/{\ sim}}$${\ displaystyle f: X \ oikea nuoli Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ breve {f}} :( X/\ sim) \ oikea nuoli Y}$${\ displaystyle f = {\ breve {f}} \ circ m}$

Katso myös

• Äärimmäisen irrotettu tila
• Täysin irrotettu ryhmä

Viitteet

• Willard, Stephen (2004), Yleinen topologia , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7, MR  2048350(uusintapainos 1970 alkuperäisestä, MR 0264581 )