Valtion tarkkailija - State observer

In säätöteoriaa , eli tilan tarkkailija tai tilan arvioijan on järjestelmä, joka tarjoaa arvion sisäisen tilan tietyn todellisen järjestelmän, mittauksista tulon ja lähdön todellisen järjestelmän. Se on tyypillisesti tietokoneella toteutettu ja tarjoaa perustan monille käytännön sovelluksille.

Järjestelmän tilan tunteminen on välttämätöntä monien ohjausteorian ongelmien ratkaisemiseksi; esimerkiksi, stabiloimiseksi, joka käyttää tila palautetta . Useimmissa käytännön tapauksissa järjestelmän fyysistä tilaa ei voida määrittää suoralla havainnoinnilla. Sen sijaan sisäisen tilan epäsuorat vaikutukset havaitaan järjestelmän ulostulojen kautta. Yksinkertainen esimerkki on tunnelin ajoneuvoista: nopeudet ja nopeudet, joilla ajoneuvot saapuvat tunneliin ja lähtevät siitä, voidaan havaita suoraan, mutta tarkka tila tunnelin sisällä voidaan arvioida vain. Jos järjestelmä on havaittavissa , on mahdollista rekonstruoida järjestelmän tila täysin ulostulomittauksistaan ​​tilan tarkkailijan avulla.

Tyypillinen tarkkailumalli

Lineaariset, liukumoodit ja kuutiomaiset tarkkailijat ovat monien havaintorakenteiden joukossa, joita käytetään lineaaristen järjestelmien tilan arviointiin. Lineaarinen havainnointirakenne on kuvattu seuraavissa osissa.

Diskreetin ajan tapaus

Lineaarisen, aika-invariantin fyysisen diskreetti-aikaisen järjestelmän tilan oletetaan tyydyttävän

${\ displaystyle x (k + 1) = Kirves (k) + Bu (k)}$

${\ displaystyle y (k) = Cx (k) + Du (k)}$

Jos ajankohtana , on tehtaan tilassa; on sen panokset; ja on sen tuotokset. Nämä yhtälöt sanovat yksinkertaisesti, että sekä laitoksen nykyiset tuotokset että sen tulevaisuuden tila määräytyvät yksinomaan sen nykyisten tilojen ja nykyisten tulojen perusteella. (Vaikka nämä yhtälöt ilmaistaan erillisinä asteina , hyvin samanlaiset yhtälöt pätevät jatkuville järjestelmille). Jos tämä järjestelmä on havaittavissa , laitoksen ulostuloa voidaan käyttää tilan tarkkailijan tilan ohjaamiseen. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x (k)}$${\ displaystyle u (k)}$${\ displaystyle y (k)}$${\ displaystyle y (k)}$

Fyysisen järjestelmän tarkkailumalli johdetaan sitten tyypillisesti yllä olevista yhtälöistä. Lisäehtoja voidaan sisällyttää sen varmistamiseksi, että saatuaan peräkkäiset mitatut arvot laitoksen panoksista ja tuotoksista, mallin tila lähentyy laitoksen tilaan. Tarkkailijan tuotos voidaan erityisesti vähentää kasvin tuotoksesta ja kertoa sitten matriisilla ; tämä lisätään sitten yhtälöihin tarkkailijan tilalle niin sanotun Luenberger- tarkkailijan tuottamiseksi , joka määritetään alla olevien yhtälöiden avulla. Huomaa, että tilan tarkkailijan muuttujia merkitään yleisesti "hatulla": ja jotta ne voidaan erottaa fyysisen järjestelmän tyydyttämien yhtälöiden muuttujista. ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle {\ hattu {x}} (k)}$${\ displaystyle {\ hattu {y}} (k)}$

${\ displaystyle {\ hattu {x}} (k + 1) = A {\ hattu {x}} (k) + L \ vasen [y (k) - {\ hattu {y}} (k) \ oikea] + Bu (k)}$

${\ displaystyle {\ hattu {y}} (k) = C {\ hat {x}} (k) + Du (k)}$

Tarkkailijaa kutsutaan asymptoottisesti vakaana, jos tarkkailijavirhe lähenee nollaan milloin . Luenberger-tarkkailijan tarkkailijavirhe tyydyttää . Tämän erillisen aikajärjestelmän Luenberger-tarkkailija on siten asymptoottisesti vakaa, kun matriisissa on kaikki ominaisarvot yksikköympyrän sisällä. ${\ displaystyle e (k) = {\ hattu {x}} (k) -x (k)}$${\ displaystyle k \ - \ infty}$${\ displaystyle e (k + 1) = (A-LC) e (k)}$${\ displaystyle A-LC}$

Tarkkailutarkoituksia varten tarkkailujärjestelmän ulostulo syötetään takaisin sekä tarkkailijan että kasvin tuloon vahvistusmatriisin kautta . ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle u (k) = - K {\ hat {x}} (k)}$

Tarkkailijan yhtälöistä tulee sitten:

${\ displaystyle {\ hattu {x}} (k + 1) = A {\ hattu {x}} (k) + L \ vasen (y (k) - {\ hattu {y}} (k) \ oikea) -BK {\ hattu {x}} (k)}$

${\ displaystyle {\ hattu {y}} (k) = C {\ hattu {x}} (k) -DK {\ hattu {x}} (k)}$

tai yksinkertaisemmin,

${\ displaystyle {\ hattu {x}} (k + 1) = \ vasen (A-BK \ oikea) {\ hattu {x}} (k) + L \ vasen (y (k) - {\ hattu {y }} (k) \ oikea)}$

${\ displaystyle {\ hattu {y}} (k) = \ vasen (C-DK \ oikea) {\ hattu {x}} (k)}$

Johtuen erotteluperiaate me tiedämme, että voimme valita ja itsenäisesti ilman haittaa yleistä vakautta järjestelmiä. Nyrkkisääntönä on, että tarkkailijan navat valitaan yleensä lähestymään 10 kertaa nopeammin kuin järjestelmän navat . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle A-LC}$${\ displaystyle A-BK}$

Jatkuva-aikainen tapaus

Edellinen esimerkki koski tarkkailijaa, joka oli toteutettu erillisen ajan LTI-järjestelmässä. Prosessi on kuitenkin samanlainen jatkuvan ajan tapauksessa; tarkkailijan voitot valitaan siten, että jatkuvan ajan virhedynamiikka lähentyy asymptoottisesti nollaan (ts. milloin on Hurwitz-matriisi ). ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle A-LC}$

Jatkuvaa lineaarista järjestelmää varten

${\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax + Bu,}$

${\ displaystyle y = Cx + Du,}$

missä tarkkailija näyttää samanlaiselta kuin edellä kuvattu erillisen ajan tapaus: ${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}, u \ sisään \ mathbb {R} ^ {m}, y \ sisään \ mathbb {R} ^ {r}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ hat {x}}} = A {\ hattu {x}} + Bu + L \ vasen (y - {\ hat {y}} \ oikea)}$.

${\ displaystyle {\ hat {y}} = C {\ hat {x}} + Du,}$

Tarkkailuvirhe tyydyttää yhtälön ${\ displaystyle e = x - {\ hattu {x}}}$

${\ displaystyle {\ piste {e}} = (A-LC) e}$.

Matriisin ominaisarvot voidaan valita mielivaltaisesti valitsemalla tarkkailijan vahvistus sopivalla tavalla, kun pari on havaittavissa, eli havaittavuusolosuhteet täyttyvät. Erityisesti siitä voidaan tehdä Hurwitz, joten tarkkailija virhe milloin . ${\ displaystyle A-LC}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle [A, C]}$${\ displaystyle e (t) \ - 0}$${\ displaystyle t \ to \ infty}$

Peaking ja muut tarkkailumenetelmät

Kun tarkkailijan voitto on suuri, lineaarinen Luenberger-tarkkailija konvergoituu järjestelmän tilaan hyvin nopeasti. Suuri tarkkailijan voitto johtaa kuitenkin huippuilmiöön, jossa alkuperäinen estimaattorin virhe voi olla kohtuuttoman suuri (ts. Epäkäytännöllinen tai vaarallinen käyttää). Tämän seurauksena on saatavana epälineaarisia korkean vahvistuksen tarkkailumenetelmiä, jotka lähestyvät nopeasti ilman huippuilmiötä. Esimerkiksi liukumoodisäädöllä voidaan suunnitella tarkkailija, joka tuo yhden arvioidun tilavirheen nollaan rajallisessa ajassa jopa mittausvirheen läsnä ollessa; muissa osavaltioissa on virhe, joka käyttäytyy samalla tavalla kuin Luenbergerin tarkkailijan virhe huipentumisen jälkeen. Liukumooditarkkailijoilla on myös houkuttelevat kohinan sietokykyominaisuudet, jotka ovat samanlaisia ​​kuin Kalman-suodatin . Toinen lähestymistapa on soveltaa useampaa tarkkailijaa, joka parantaa merkittävästi transientteja ja vähentää tarkkailijan ylitystä. Useita tarkkailijoita voidaan mukauttaa kaikkiin järjestelmiin, joissa High Gain Observer on sovellettavissa. ${\ displaystyle L}$

Valtion tarkkailijat epälineaarisille järjestelmille

Suuri vahvistus, liukumoodi ja pitkät tarkkailijat ovat yleisimpiä tarkkailijoita epälineaarisissa järjestelmissä. Harkitse ensin ei-lineaarista järjestelmää liukumooditarkkailijoiden soveltamiseksi epälineaarisiin järjestelmiin:

${\ displaystyle {\ piste {x}} = f (x)}$

missä . Myös olettaa, että on mitattavissa oleva tuotos antama ${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle y \ sisään \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle y = h (x).}$

Tarkkailijan suunnittelussa on useita ei-likimääräisiä lähestymistapoja. Kaksi alla olevaa tarkkailijaa sovelletaan myös tapaukseen, jossa järjestelmällä on tulo. Tuo on,

${\ displaystyle {\ piste {x}} = f (x) + B (x) u}$

${\ displaystyle y = h (x).}$

Lineaarisoitava virheiden dynamiikka

Yhtä Krenerin ja Isidorin sekä Krenerin ja Respondekin ehdotusta voidaan soveltaa tilanteessa, jossa on olemassa lineaarisoiva muunnos (ts. Diffeomorfismi , kuten palaute-linearisoinnissa käytetty ), niin että uusissa muuttujissa järjestelmäyhtälöt lukevat ${\ displaystyle z = \ Phi (x)}$

${\ displaystyle {\ dot {z}} = Az + \ phi (y),}$

${\ displaystyle y = Cz.}$

Luenberger-tarkkailija suunnitellaan sitten

${\ displaystyle {\ dot {\ hat {z}}} = A {\ hattu {z}} + \ phi (y) -L \ vasen (C {\ hat {z}} - y \ oikea)}$.

Muunnetun muuttujan havaintovirhe täyttää saman yhtälön kuin klassisessa lineaarisessa tapauksessa. ${\ displaystyle e = {\ hattu {z}} - z}$

${\ displaystyle {\ piste {e}} = (A-LC) e}$.

Kuten ovat osoittaneet Gauthier, Hammouri ja Othman sekä Hammouri ja Kinnaert, jos on olemassa sellainen muunnos , että järjestelmä voidaan muuttaa muodoksi ${\ displaystyle z = \ Phi (x)}$

${\ displaystyle {\ piste {z}} = A (u (t)) z + \ phi (y, u (t)),}$

${\ displaystyle y = Cz,}$

sitten tarkkailija suunnitellaan

${\ displaystyle {\ dot {\ hat {z}}} = A (u (t)) {\ hat {z}} + \ phi (y, u (t)) - L (t) \ vasen (C { \ hat {z}} - y \ oikea)}$,

missä on ajallisesti vaihteleva tarkkailijan voitto. ${\ displaystyle L (t)}$

Ciccarella, Dalla Mora ja Germani saivat edistyneempiä ja yleisempiä tuloksia, poistamalla epälineaarisen muunnoksen tarpeen ja todistamalla arvioidun tilan globaalin asymptoottisen lähentymisen todelliseen tilaan käyttämällä vain yksinkertaisia ​​oletuksia säännöllisyydestä.

Liukumoodin tarkkailija

Kuten edellä lineaarisen edellisessä tapauksessa, piikitys ilmiö esiintyy Luenberger tarkkailijoiden oikeuttaa käyttämällä liukuva tilassa tarkkailija . Liukumooditarkkailija käyttää epälineaarista suurivahvistettua palautetta arvioitujen tilojen ajamiseksi hyperpinnalle, jossa arvioidun ja mitatun tuotoksen välillä ei ole eroa. Tarkkailussa käytetty epälineaarinen vahvistus toteutetaan tyypillisesti skaalatulla kytkentätoiminnolla, kuten arvioidun - mitatun lähtövirheen signum (eli sgn). Tästä syystä tämän korkean hyötysuhteen takia tarkkailijan vektorikentässä on taite niin, että tarkkailijan liikeradat liukuvat käyrää pitkin, jossa arvioitu tuotos vastaa mitattua lähtöä tarkalleen. Joten jos järjestelmä on havaittavissa lähdöstään, tarkkailijatilat ohjataan kaikki todellisiin järjestelmätiloihin. Lisäksi käyttämällä virhemerkkiä liukumooditarkkailijan ajamiseksi tarkkailijan liikeradat muuttuvat epäherkiksi monenlaiselle melulle. Siksi joillakin liukumooditarkkailijoilla on houkuttelevia ominaisuuksia, jotka ovat samanlaisia ​​kuin Kalman-suodatin, mutta yksinkertaisemmalla toteutuksella.

Ehdottivat Drakunov, joka on liukuva tilassa tarkkailija voi myös olla suunniteltu luokan epälineaarisia järjestelmiä. Tällainen tarkkailija voidaan kirjoittaa alkuperäisen muuttujaestimaatin muodossa ja sillä on muoto ${\ displaystyle {\ hattu {x}}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ hat {x}}} = \ vasen [{\ frac {\ osittainen H ({\ hattu {x}})} {\ osittainen x}} \ oikea] ^ {- 1} M ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (V (t) -H ({\ hat {x}}))}$

missä:

• Vektori ulottuu skalaari signum-funktio ja mitat. Tuo on, ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {sgn} ({\ mathord {\ cdot}})}$${\ displaystyle n}$

  ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {sgn} (z) = {\ begin {bmatrix} \ operaattorin nimi {sgn} (z_ {1}) \\ operaattorin nimi {sgn} (z_ {2}) \\\ vdots \\\ operaattorin nimi {sgn} (z_ {i}) \\\ vdots \\\ operaattorin nimi {sgn} (z_ {n}) \ end {bmatrix}}}$

  vektorille .${\ displaystyle z \ sisään \ mathbb {R} ^ {n}}$

• Vektorilla on komponentteja, jotka ovat lähtöfunktio ja sen toistuvat Lie-johdannaiset. Erityisesti, ${\ displaystyle H (x)}$${\ displaystyle h (x)}$

  ${\ displaystyle H (x) \ triangleq {\ begin {bmatrix} h_ {1} (x) \\ h_ {2} (x) \\ h_ {3} (x) \\\ vdots \\ h_ {n} (x) \ end {bmatrix}} \ triangleq {\ begin {bmatrix} h (x) \\ L_ {f} h (x) \\ L_ {f} ^ {2} h (x) \\\ vdots \ \ L_ {f} ^ {n-1} h (x) \ end {bmatrix}}}$

  jossa on i ^{: nnen} Lie johdannainen tuotoksen funktio pitkin vektorikenttä (eli pitkin liikeradat ei-lineaarinen järjestelmä). Erityistapauksessa, jossa järjestelmällä ei ole syötettä tai sen suhteellinen aste on n , on tuotoksen ja sen johdannaisten kokoelma . Koska käänteistä Jacobin linearisointi on oltava olemassa tämän tarkkailija on hyvin määritelty, muutos on taatusti paikallinen diffeomorfismin .${\ displaystyle L_ {f} ^ {i} h}$ ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle H (x (t))}}$${\ displaystyle y (t) = h (x (t))}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle H (x)}$${\ displaystyle H (x)}$

• Diagonaalinen matriisi voitot on sellainen, että ${\ displaystyle M ({\ hattu {x}})}$

  ${\ displaystyle M ({\ hat {x}}) \ triangleq \ operaattorin nimi {diag} (m_ {1} ({\ hat {x}}), m_ {2} ({\ hat {x}}), \ ldots, m_ {n} ({\ hat {x}})) = {\ aloita {bmatrix} m_ {1} ({\ hat {x}}) &&&&&& \\ & m_ {2} ({\ hat {x} }) &&&& \\ && \ ddots &&&& \\ &&& m_ {i} ({\ hat {x}}) && \\ &&&& \ ddots & \\ &&&&& m_ {n} ({\ hat {x}}) \ end {bmatrix }}}$

  missä jokaiselle elementti ja sopivan suuri liukumoodin saavutettavuuden varmistamiseksi.${\ displaystyle i \ muodossa \ {1,2, \ pisteitä, n \}}$${\ displaystyle m_ {i} ({\ hat {x}})> 0}$

• Tarkkailuvektori on sellainen, että ${\ displaystyle V (t)}$

  ${\ displaystyle V (t) \ triangleq {\ begin {bmatrix} v_ {1} (t) \\ v_ {2} (t) \\ v_ {3} (t) \\\ vdots \\ v_ {i} (t) \\\ vdots \\ v_ {n} (t) \ end {bmatrix}} \ triangleq {\ begin {bmatrix} y (t) \\\ {m_ {1} ({\ hat {x}} ) \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {1} (t) -h_ {1} ({\ hat {x}} (t))) \} _ {\ text {eq}} \\\ {m_ {2} ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {2} (t) -h_ {2} ({\ hat {x}} (t))) \} _ {\ text {eq}} \\\ vdots \\\ {m_ {i-1} ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {i-1} (t) -h_ {i-1} ({\ hat { x}} (t))) \} _ {\ text {eq}} \\\ vdots \\\ {m_ {n-1} ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {n -1} (t) -h_ {n-1} ({\ hat {x}} (t))) \} _ {\ text {eq}} \ end {bmatrix}}}$

  missä tässä on skalaareille määritelty normaali signum-funktio ja tarkoittaa epäjatkuvan toiminnon "vastaavan arvon operaattoria" liukumoodissa.${\ displaystyle \ operaattorin nimi {sgn} ({\ mathord {\ cdot}})}$${\ displaystyle \ {\ ldots \} _ {\ text {eq}}}$

Idea voidaan selittää lyhyesti seuraavasti. Teorian mukaan liuku tilaa, jotta kuvaamaan järjestelmän käyttäytymistä, kun liukuva tilassa alkaa, toiminto olisi korvattava vastaavat arvot (katso vastaava ohjaus teorian liukuva tilassa ). Käytännössä se kytkee (keskustelee) suurella taajuudella ja hidas komponentti on yhtä suuri kuin vastaava arvo. Sopivan alipäästösuodattimen käyttäminen korkean taajuuden komponentin poistamiseksi voi saada vastaavan ohjauksen arvon, joka sisältää enemmän tietoa arvioidun järjestelmän tilasta. Edellä kuvattu tarkkailija käyttää tätä menetelmää useita kertoja saadakseen epälineaarisen järjestelmän tilan ihanteellisesti rajallisessa ajassa. ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {i} (t) \! - \! h_ {i} ({\ hat {x}} (t)))}$

Muokattu havaintovirhe voidaan kirjoittaa muunnettuihin tiloihin . Erityisesti, ${\ displaystyle e = H (x) -H ({\ hattu {x}})}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ dot {e}} & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} H (x) - {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}} H ({\ hat {x}}) \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} H (x) -M ({\ hat {x}}) \, \ operaattorin nimi {sgn} (V (t) -H ({\ hat {x}} (t))), \ end {tasattu}}}$

ja niin

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ begin {bmatrix} {\ dot {e}} _ {1} \\ {\ dot {e}} _ {2} \\\ vdots \\ {\ dot {e }} _ {i} \\\ vdots \\ {\ dot {e}} _ {n-1} \\ {\ dot {e}} _ {n} \ end {bmatrix}} & = {\ mathord { \ overbrace {\ begin {bmatrix} {\ dot {h}} _ {1} (x) \\ {\ dot {h}} _ {2} (x) \\\ vdots \\ {\ dot {h} } _ {i} (x) \\\ vdots \\ {\ dot {h}} _ {n-1} (x) \\ {\ dot {h}} _ {n} (x) \ end {bmatrix }} ^ {{\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} H (x)}}}} - {\ mathord {\ overbrace {M ({\ hat {x}}) \, \ operaattorin nimi {sgn} (V (t) -H ({\ hat {x}} (t)))} ^ {{\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} H ({ \ hat {x}})}}} = = {\ aloita {bmatrix} h_ {2} (x) \\ h_ {3} (x) \\\ vdots \\ h_ {i + 1} (x) \\ \ vdots \\ h_ {n} (x) \\ L_ {f} ^ {n} h (x) \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} m_ {1} \ operaattorinimi {sgn} (v_ { 1} (t) -h_ {1} ({\ hat {x}} (t))) \\ m_ {2} \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {2} (t) -h_ {2} ({\ hattu {x}} (t))) \\\ vdots \\ m_ {i} \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {i} (t) -h_ {i} ({\ hat {x}} (t)) ) \\\ vdots \\ m_ {n-1} \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {n-1} (t) -h_ {n-1} ({\ hat {x}} (t))) \\ m_ {n} \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {n} (t) -h_ {n} ({\ hat {x}} (t))) \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix } h_ {2} (x) -m_ {1} ({\ hattu {x}} ) \ operaattorin nimi {sgn} ({\ mathord {\ overbrace {{\ \ mathord {\ overbrace {v_ {1} (t)} ^ {v_ {1} (t) = y (t) = h_ {1} (x )}}} - h_ {1} ({\ hat {x}} (t))} ^ {e_ {1}}}}) \\ h_ {3} (x) -m_ {2} ({\ hattu {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {2} (t) -h_ {2} ({\ hat {x}} (t))) \\\ vdots \\ h_ {i + 1} (x ) -m_ {i} ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {i} (t) -h_ {i} ({\ hat {x}} (t))) \\\ vdots \\ h_ {n} (x) -m_ {n-1} ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {n-1} (t) -h_ {n-1} ({\ hattu {x}} (t))) \\ L_ {f} ^ {n} h (x) -m_ {n} ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (v_ {n} (t ) -h_ {n} ({\ hat {x}} (t))) \ end {bmatrix}}. \ end {tasattu}}}$

Niin:

1. Niin kauan kuin virhedynamiikan ensimmäinen rivi , täyttää riittävät olosuhteet siirtyäkseen liukumoodiin rajallisessa ajassa.${\ displaystyle m_ {1} ({\ hat {x}}) \ geq | h_ {2} (x (t)) |}$${\ displaystyle {\ dot {e}} _ {1} = h_ {2} ({\ hat {x}}) - m_ {1} ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (e_ { 1})}$${\ displaystyle e_ {1} = 0}$
2. Pintaa pitkin vastaava vastaava ohjaus on yhtä suuri kuin niin . Siksi, niin kauan kuin virhedynamiikan toinen rivi , siirtyy liukumoodiin rajallisessa ajassa.${\ displaystyle e_ {1} = 0}$${\ displaystyle v_ {2} (t) = \ {m_ {1} ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (e_ {1}) \} _ {\ text {eq}}}$${\ displaystyle h_ {2} (x)}$${\ displaystyle v_ {2} (t) -h_ {2} ({\ hat {x}}) = h_ {2} (x) -h_ {2} ({\ hat {x}}) = e_ {2 }}$${\ displaystyle m_ {2} ({\ hat {x}}) \ geq | h_ {3} (x (t)) |}$${\ displaystyle {\ dot {e}} _ {2} = h_ {3} ({\ hat {x}}) - m_ {2} ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (e_ { 2})}$${\ displaystyle e_ {2} = 0}$
3. Pintaa pitkin vastaava vastaava ohjaus on yhtä suuri kuin . Näin ollen, niin kauan kuin , ^nnen rivin virheen dynamiikka, , siirtyy liukuva tilassa äärellisessä ajassa.${\ displaystyle e_ {i} = 0}$${\ displaystyle v_ {i + 1} (t) = \ {\ ldots \} _ {\ text {eq}}}$${\ displaystyle h_ {i + 1} (x)}$${\ displaystyle m_ {i + 1} ({\ hat {x}}) \ geq | h_ {i + 2} (x (t)) |}$${\ displaystyle (i + 1)}$${\ displaystyle {\ dot {e}} _ {i + 1} = h_ {i + 2} ({\ hat {x}}) - m_ {i + 1} ({\ hat {x}}) \ operaattorinimi {sgn} (e_ {i + 1})}$${\ displaystyle e_ {i + 1} = 0}$

Joten riittävän suurten voittojen saavuttamiseksi kaikki tarkkailijan arvioidut tilat saavuttavat todelliset tilat rajallisessa ajassa. Itse asiassa lisääntyminen sallii lähentymisen missä tahansa toivotussa rajallisessa ajassa niin kauan kuin kukin toiminto voidaan rajoittaa varmuudella. Näin ollen vaatimus siitä, että kartta on diffeomorfismi (ts. Että sen jakobien lineaarisointi on käänteinen), väittää, että arvioidun tuotoksen lähentyminen merkitsee arvioidun tilan lähentymistä. Toisin sanoen vaatimus on havaittavissa oleva ehto. ${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle | h_ {i} (x (0)) |}$${\ displaystyle H: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

Jos järjestelmässä on liukumooditarkkailija, jossa on tulo, tarvitaan lisäehtoja, jotta havaintovirhe on riippumaton tulosta. Esimerkiksi se

${\ displaystyle {\ frac {\ osittainen H (x)} {\ osittainen x}} B (x)}$

ei riipu ajasta. Tarkkailija on silloin

${\ displaystyle {\ dot {\ hat {x}}} = \ vasen [{\ frac {\ osittainen H ({\ hattu {x}})} {\ osittainen x}} \ oikea] ^ {- 1} M ({\ hat {x}}) \ operaattorin nimi {sgn} (V (t) -H ({\ hat {x}})) + B ({\ hat {x}}) u.}$

Multi-tarkkailija

Monihavaitsija laajentaa High Gain Observer -rakenteen yhdestä monihavainnoksi monien mallien toimiessa samanaikaisesti. Tällä on kaksi kerrosta: ensimmäinen koostuu useista korkean voiton tarkkailijoista, joilla on erilaiset arviointitilat, ja toinen määrittää ensimmäisen kerroksen tarkkailijoiden tärkeyspainot. Algoritmi on yksinkertainen toteuttaa, eikä se sisällä riskialttiita toimintoja, kuten erottelua. Useiden mallien ideaa sovellettiin aiemmin tiedon saamiseksi mukautuvasta ohjauksesta.

• 

  Usean tarkkailijan järjestelmä

Oletetaan, että korkean voiton tarkkailijoiden määrä on n +1

${\ displaystyle {\ dot {\ hat {x_ {k}}}} (t) = A {\ hat {x_ {k}}} (t) + B \ phi _ {0} ({\ hat {x} } (t), u (t)) - L ({\ hat {y_ {k}}} (t) -y (t))}$ ${\ displaystyle {\ hattu {y_ {k}}} (t) = C {\ hat {x_ {k}}} (t)}$

missä on tarkkailijaindeksi. Ensimmäisen kerroksen tarkkailijat koostuvat samasta vahvistuksesta, mutta ne eroavat alkuperäisestä tilasta . Toisen kerroksen kaikki kohteesta tarkkailijoiden on yhdistetty yhdeksi, jolloin saatiin yksittäinen tilavektori arviointi ${\ displaystyle k = 1 ... n + 1}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x_ {k} (0)}$${\ displaystyle x_ {k} (t)}$${\ displaystyle k = 1 ... n + 1}$

${\ displaystyle {\ hattu {y_ {k}}} (t) = \ summa \ rajoittaa _ {k = 1} ^ {n + 1} \ alpha _ {k} (t) {\ hattu {x_ {k} }} (t)}$

missä ovat painokertoimet. Näitä tekijöitä muutetaan estimoinnin tarjoamiseksi toisessa kerroksessa ja havaintoprosessin parantamiseksi. ${\ displaystyle \ alpha _ {k} \ in \ mathbb {R}}$

Olkoon se

${\ displaystyle \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n + 1} \ alfa _ {k} (t) \ xi _ {k} (t) = 0}$

ja

${\ displaystyle \ summa \ limits _ {k = 1} ^ {n + 1} \ alfa _ {k} (t) = 1}$

missä on jokin vektori, joka riippuu havainnointivirheestä . ${\ displaystyle \ xi _ {k} \ sisään \ mathbb {R} ^ {n \ kertaa 1}}$${\ displaystyle kth}$${\ displaystyle e_ {k} (t)}$

Jotkut muunnokset antavat lineaarisen regressio-ongelman

${\ displaystyle [- \ xi _ {n + 1} (t)] = [\ xi _ {1} (t) - \ xi _ {n + 1} (t) \ pisteet \ xi _ {k} (t ) - \ xi _ {n + 1} (t) \ pisteet \ xi _ {n} (t) - \ xi _ {n + 1} (t)] ^ {T} {\ alkaa {bmatrix} \ alpha _ {1} (t) \\\ vdots \\\ alpha _ {k} (t) \\\ vdots \\\ alpha _ {n} (t) \ end {bmatrix}}}$

Tämä kaava antaa mahdollisuuden arvioida . Rakentaa jakoputken me tarpeen kartoitus välillä ja ensurance että on laskettavissa luottaa mitattavia signaaleja. Ensimmäinen asia on poistaa pysäköintitilanne havaintovirheestä ${\ displaystyle \ alpha _ {k} (t)}$${\ displaystyle m: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ xi _ {k} (t) = m (e_ {k} (t))}$${\ displaystyle \ xi _ {k} (t)}$${\ displaystyle \ alpha _ {k} (t)}$

${\ displaystyle e _ {\ sigma} (t) = \ summa \ rajoitukset _ {k = 1} ^ {n + 1} \ alfa _ {k} (t) e_ {k} (t)}$.

Laske johdannaisten aikakatkaisu löytääksesi kartoitus m johtaa määritelty ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ eta _ {k} (t) = {\ hattu {y}} _ {k} (t) -y (t)}$${\ displaystyle \ xi _ {k} (t)}$

${\ displaystyle \ xi _ {k} (t) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ CL & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ CAL & CL & 1 & \ cdots & 0 \\ CA ^ {2} L & CAL & CL & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \\ CA ^ {n-2} L & CA ^ {n-3} L & CA ^ {n-4} L & \ cdots & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ int \ limits _ {t-t_ {d}} ^ {t} {{n-1} \ atop \ cdots} \ int \ limits _ {t-t_ {d}} ^ {t} \ eta _ {k} ( \ tau) d \ tau \\\ vdots \\\ eta (t) - \ eta (t- (n-1) t_ {d}) \ end {bmatrix}}}$

missä on jonkin aikaa vakio. Huomaa, että molempien ja integraalien releet ovat siten helposti saatavilla ohjausjärjestelmässä. Lisäksi täsmennetään arviointilakissa; ja siten se osoittaa, että moninaiset ovat mitattavissa. Toisen kerroksen varten on otettu käyttöön arvioita kertoimia. Kartoitusvirhe määritetään ${\ displaystyle t_ {d}> 0}$${\ displaystyle \ xi _ {k} (t)}$${\ displaystyle \ eta _ {k} (t)}$${\ displaystyle \ alpha _ {k} (t)}$${\ displaystyle {\ hattu {\ alpha}} _ {k} (t)}$${\ displaystyle k = 1 \ pistettä n + 1}$${\ displaystyle \ alpha _ {k} (t)}$

${\ displaystyle e _ {\ xi} (t) = \ summa \ rajoittaa _ {k = 1} ^ {n + 1} {\ hattu {\ alpha}} _ {k} (t) \ xi _ {k} ( t)}$

missä . Jos kertoimet ovat yhtä suuria , niin kartoitusvirhe Nyt on mahdollista laskea ylemmästä yhtälöstä ja siten huippuilmiö pienenee jakotukin ominaisuuksien ansiosta. Luotu kartoitus antaa paljon joustavuutta arviointiprosessissa. Jopa on mahdollista arvioida toisen kerroksen arvo ja laskea tila . ${\ displaystyle e _ {\ xi} (t) \ sisään \ mathbb {R} ^ {n \ kertaa 1}, {\ hat {\ alpha}} _ {k} (t) \ sisään \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ hattu {\ alpha}} (t)}$${\ displaystyle \ alpha _ {k} (t)}$${\ displaystyle e _ {\ xi} (t) = 0}$${\ displaystyle {\ hattu {x}}}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle x}$

Rajoittavat tarkkailijat

Rajoittavat tai Intervallihavaitsijat muodostavat luokan tarkkailijoita, jotka antavat kaksi estimaattia tilasta samanaikaisesti: toinen arvioista antaa ylärajan tilan todelliselle arvolle, kun taas toinen antaa alarajan. Tilan todellisen arvon tiedetään tällöin olevan aina näiden kahden estimaatin sisällä.

Nämä rajat ovat erittäin tärkeitä käytännön sovelluksissa, koska ne mahdollistavat arvioinnin tarkkuuden tuntemisen joka kerta.

Matemaattisesti kahta Luenberger-tarkkailijaa voidaan käyttää, jos se on valittu oikein, käyttämällä esimerkiksi positiivisia systeemiominaisuuksia : yksi ylemmälle rajalle (joka varmistaa, että konvergoituu ylhäältä nollaan, kun kohinaa ja epävarmuutta ei ole ) ja alaraja (joka varmistaa, että lähentyminen nollaan alhaalta). Eli aina${\ displaystyle L}$${\ displaystyle {\ hattu {x}} _ {U} (k)}$${\ displaystyle e (k) = {\ hattu {x}} _ {U} (k) -x (k)}$${\ displaystyle k \ - \ infty}$${\ displaystyle {\ hattu {x}} _ {L} (k)}$${\ displaystyle e (k) = {\ hattu {x}} _ {L} (k) -x (k)}$${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {U} (k) \ geq x (k) \ geq {\ hat {x}} _ {L} (k)}$

Katso myös

• Liikkuvan horisontin estimointi
• Kalman-suodatin
• Laajennettu Kalman-suodatin
• Positiiviset järjestelmät

Viitteet

In-line viitteet

Yleiset viitteet

Ulkoiset linkit

• Kalman-suodatin selitettynä yksinkertaisesti , vaiheittaiset ohjeet Kalman-suodattimelle yhtälöillä