Yksinkertainen moduuli - Simple module
On matematiikka , erityisesti rengas teoriassa , yksinkertainen moduulit yli rengas R ovat (vasemmalle tai oikealle) moduuleja yli R , jotka ovat ei-nolla ja joilla ei ole ei-nolla oikea alimoduulit . Vastaavasti, moduuli M on yksinkertainen , jos ja vain jos jokainen syklinen submodule syntyy ei-nolla-elementti M on yhtä suuri kuin M . Yksinkertaiset moduulit muodostavat rakennuspalikoita äärellisen pituisille moduuleille , ja ne ovat analogisia yksinkertaisten ryhmien kanssa ryhmoteoriassa .
Tässä artikkelissa kaikkien moduulien oletetaan olevan oikeat yksikön moduulit renkaan R yli .
Esimerkkejä
Z -modules ovat samat kuin Abelin ryhmä , niin yksinkertainen Z -moduulista on Abelin ryhmä, jolla ei ole ei-nolla-oikea alaryhmiä . Nämä ovat syklisiä ryhmiä ja prime järjestyksessä .
Jos I on oikea ihanteellinen on R , niin I on yksinkertainen kuin oikea moduuli, jos ja vain jos I on vähäinen ei-nolla oikealle ihanteellinen: jos M on ei-nolla asianmukainen submodule on I , niin se on myös oikeassa ihanteellinen , joten en ole vähäinen. Sitä vastoin, jos en ei ole vähäinen, niin on ei-nolla oikealle ihanteellinen J kunnolla sisältyvät I . J on oikea submodule on I , joten en ole yksinkertaista.
Jos I on oikea ihanteellinen R , niin osamäärä moduuli R / I on yksinkertainen, jos ja vain jos I on maksimaalinen oikea ihanteellinen: jos M on ei-nolla asianmukainen alimoduuli on R / I , niin preimage ja M alla osamääräkartta R → R / I on oikea ideaali, joka ei ole yhtä suuri kuin R ja joka sisältää oikein I: n . Siksi en ole suurin. Ja päinvastoin, jos en ole suurin, niin on oikea ihanteellinen J, joka sisältää oikein I: n . Osuuskartalla R / I → R / J on nollasta poikkeava ydin, joka ei ole yhtä suuri kuin R / I , ja siksi R / I ei ole yksinkertainen.
Jokainen yksinkertainen R -moduulista on isomorfinen on osamäärä R / m , jossa m on maksimaalinen oikeus ihanne ja R . Edellä olevan kappaleen mukaan mikä tahansa osamäärä R / m on yksinkertainen moduuli. Oletetaan päinvastoin, että M on yksinkertainen R- moduuli. Siis, ei-nolla-elementti x on M , syklisen alimoduuli xR on yhtä suuri kuin M . Korjaa tällainen x . Maininta siitä, että xR = M vastaa surjectivity on homomorfismi R → M joka lähettää r on xr . Kernel Tämän homomorfismi on oikea ihanne I ja R , ja standardin lause, todetaan, että M on isomorfinen R / I . Yllä olevan kappaleen perusteella havaitsemme, että olen suurin oikeusidee. Siksi M on isomorfinen R : n osamäärän suhteen maksimaalisen oikean ideaalin mukaan.
Jos k on kenttä , ja G on ryhmä, sitten ryhmän esitys on G on vasen moduuli yli kehässä k [ G] (yksityiskohdat, katso pääsivulla tämän suhteen ). Yksinkertaiset k [G] -moduulit tunnetaan myös pelkistämättöminä edustuksina. Edustusteorian päätavoitteena on ymmärtää ryhmien pelkistämättömät esitykset.
Yksinkertaisten moduulien perusominaisuudet
Yksinkertaiset moduulit ovat tarkalleen moduuleja, joiden pituus on 1; tämä on määritelmän uudelleen muotoilu.
Jokainen yksinkertainen moduuli on hajoamaton , mutta päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa.
Jokainen yksinkertainen moduuli on syklinen , toisin sanoen se syntyy yhdestä elementistä.
Kaikilla moduuleilla ei ole yksinkertaista alimoduulia; Harkitse esimerkiksi Z- moduulia Z yllä olevan ensimmäisen esimerkin valossa.
Olkoon M ja N (vasen tai oikea) moduuleja saman renkaan yli ja olkoon f : M → N moduulihomomorfismi. Jos M on yksinkertainen, niin f on joko nolla homomorfismi tai injektio, koska f: n ydin on M: n alamoduuli . Jos N on yksinkertainen, niin f on joko nolla homomorfismi tai surjective, koska kuva on f on submodule on N . Jos M = N , niin f on endomorphism on M , ja jos M on yksinkertainen, niin ennen kaksi asiat tarkoittavat, että f on joko nolla homomorfismi tai isomorfismi. Tämän seurauksena minkä tahansa yksinkertaisen moduulin endomorfismirengas on jakorengas . Tämä tulos tunnetaan nimellä Schurin lemma .
Schurin lemman vastakohta ei ole totta yleensä. Esimerkiksi Z- moduuli Q ei ole yksinkertainen, mutta sen endomorfismirengas on isomorfinen kentän Q suhteen .
Yksinkertaiset moduulit ja sommittelusarjat
Jos M on moduuli, jolla on nollasta poikkeava oikea alamoduuli N , niin siinä on lyhyt tarkka sekvenssi
Yleinen lähestymistapa M: tä koskevan tosiasian todistamiseen on osoittaa, että tosiasia on totta lyhyen tarkan jakson keskitermillä, kun se on totta vasemmalle ja oikealle termille, sitten todistaa tosiasia N: lle ja M / N: lle . Jos N: llä on nollasta poikkeava oikea alamoduuli, tämä prosessi voidaan toistaa. Tämä tuottaa alamoduulien ketjun
Tosiasian todistamiseksi tällä tavalla tarvitaan ehtoja tälle sekvenssille ja moduuleille M i / M i + 1 . Yksi erityisen hyödyllinen ehto on, että sekvenssin pituus on rajallinen ja kukin osamoduuli M i / M i + 1 on yksinkertainen. Tässä tapauksessa sekvenssiä kutsutaan koostumus sarja varten M . Lausekkeen todistamiseksi induktiivisesti sävellyssarjojen avulla lauseke ensin todistetaan yksinkertaisille moduuleille, jotka muodostavat induktion perustapauksen, ja sitten todetaan, että lause pysyy totta moduulin laajennuksessa yksinkertaisen moduulin avulla. Esimerkiksi sopiva lemma osoittaa, että äärellisen pituisen, hajoamattoman moduulin endomorfismirengas on paikallinen rengas , joten vahva Krull – Schmidt-lause pitää paikkansa ja äärellisten pituuksien moduulien luokka on Krull-Schmidt-luokka .
Jordan haltijan lauseen ja Schreier hienostuneisuus lauseen kuvaamaan suhteita kaikkien kesken koostumus sarjassa yhden moduulin. Grothendieck ryhmä ohittaa järjestyksessä, koostumuksen sarja ja pitää jokainen äärellinen pituus moduuli muodollisen summan yksinkertainen moduuleja. Puoliyhdistelmärenkaiden yli tämä ei ole menetys, koska jokainen moduuli on puoliksi yksinkertainen moduuli ja siten yksinkertaisten moduulien suora summa . Tavallinen hahmoteoria tarjoaa paremman aritmeettisen hallinnan ja käyttää yksinkertaisia C G -moduuleja äärellisten ryhmien G rakenteen ymmärtämiseen . Modulaarinen esitysteoria käyttää Brauer-merkkejä tarkastellakseen moduuleja muodollisina yksinkertaisina moduuleina, mutta on myös kiinnostunut siitä, kuinka nämä yksinkertaiset moduulit on yhdistetty yhteen sävellyssarjoissa. Tämä virallistetaan tutkimalla Ext-funktoria ja kuvaamalla moduuliluokka eri tavoin, mukaan lukien värinät (joiden solmut ovat yksinkertaisia moduuleja ja joiden reunat ovat koostumussarjoja ei-puoliksi yksinkertaisista moduuleista, joiden pituus on 2) ja Auslander – Reiten-teoria, jossa siihen liittyvä kaavio kärki jokaiselle hajoamattomalle moduulille.
Jacobsonin tiheyslause
Tärkeä edistysaskel yksinkertaisten moduulien teoriassa oli Jacobsonin tiheyslause . Jacobsonin tiheyslauseessa todetaan:
- Olkoon U yksinkertainen oikea R- moduuli ja kirjoita D = loppu R ( U ). Anna olla mikä tahansa D -linear toimija U ja anna X äärellinen D -linearly riippumaton osajoukko U . Tällöin on olemassa elementin r ja R' siten, että x · = x · r kaikille x on X .
Erityisesti mitä tahansa primitiivistä rengasta voidaan pitää (toisin sanoen isomorfisena) D- lineaaristen operaattorien renkaana jossain D- tilassa.
Seurauksena Jacobsonin tiheyslausekkeesta on Wedderburnin lause; nimittäin, että oikeus artinian yksinkertainen rengas on isomorfinen täyden matriisin rengas n -by- n matriisien yli jako rengas noin n . Tämä voidaan todeta myös Artin – Wedderburn-lauseen seuraajaksi .
Katso myös
- Semisimple-moduulit ovat moduuleja, jotka voidaan kirjoittaa yksinkertaisten alimoduulien summana
- Pelkistämätön ihanne
- Pelkistämätön edustus
