Schwarzschild-koordinaatit - Schwarzschild coordinates

Teorian Lorentzin pakosarjat , pallosymmetrinen spacetimes myöntävät perheen sisäkkäisiä pyöreitä palloja . Tällaisessa aika-avaruuden, erityisen tärkeä sellainen koordinoida kaavio on Schwarzschildin kaavio , eräänlainen polaarinen pallokoordinaatiston kaavio on staattinen ja pallomaisesti symmetrinen aika-avaruuden , joka on sovitettu näiden sisäkkäisiä pyöreä aloilla. Schwarzschild-kaavion määrittävä ominaisuus on, että radiaalikoordinaatilla on luonnollinen geometrinen tulkinta kunkin pallon pinta-alasta ja Gaussin kaarevuudesta . Säteittäisiä etäisyyksiä ja kulmia ei kuitenkaan esitetä tarkasti.

Näillä kaavioilla on monia sovelluksia gravitaation metrisissä teorioissa , kuten yleinen suhteellisuusteoria . Niitä käytetään useimmiten staattisissa pallosymmetrisissä aika-ajoissa. Tapauksessa yleisen suhteellisuusteorian , Birkhoffin lause todetaan, että jokainen eristetty pallosymmetrinen tyhjiö tai sähkötyhjiölasivalmistee liuokseen, Einsteinin kenttä yhtälö on staattinen, mutta tämä ei tietenkään ole totta täydellinen nesteitä . Laajentaminen ulkopinnan alueen Schwarzschildin tyhjiö liuoksen sisällä tapahtuma horisontin on pallomaisesti symmetrinen musta aukko ei ole staattinen sisällä horisontin, ja perheen (spacelike) sisäkkäisiä palloja ei voida pidentää sisällä horisontin, niin Schwarzschildin kaavio tämän ratkaisu hajoaa välttämättä horisontissa.

Määritelmä

Metrisen tensorin määrittäminen on osa minkä tahansa Lorentzian-jakotukin määritelmää . Yksinkertaisin tapa määritellä tämä tensori on määritellä se yhteensopivissa paikallisissa koordinaattikaavioissa ja varmistaa, että sama tensori on määritetty kaavioiden toimialueiden päällekkäisyyksille. Tässä artikkelissa yritämme määritellä metrisen tensorin vain yhden kaavion toimialueelle. ${\ displaystyle g}$

Eräässä Schwarzschild kaaviossa (staattisessa pallomaisesti symmetrinen aika-avaruuden), The putkielementti on muotoa

${\ displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} \ vasemmalle (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right) = - a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} g _ {\ Omega}}$

${\ displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Missä on pallomainen vakiokoordinaatti ja onko yksikön 2-pallon standardimittari. Katso tarkempi johdanto tästä lausekkeesta kohdasta Schwarzschild-ratkaisun johtaminen . ${\ displaystyle \ Omega = (\ theta, \ phi)}$${\ displaystyle g _ {\ Omega}}$

Kontekstista riippuen voi olla tarkoituksenmukaista pitää a ja b radiaalisen koordinaatin määrittelemättöminä funktioina (esimerkiksi johdettaessa tarkka staattinen pallosymmetrinen ratkaisu Einsteinin kenttäyhtälölle ). Vaihtoehtoisesti voimme kytkeä tiettyjä toimintoja (mahdollisesti joistakin parametreista riippuen) Schwarzschild-koordinaattikaavion saamiseksi tietylle Lorentzian avaruuteen.

Jos tämä osoittautuu myöntävän jännitysenergiatensorin siten, että tuloksena oleva malli täyttää Einsteinin kenttäyhtälön (esimerkiksi staattisen pallomaisen symmetrisen täydellisen nesteen osalta, joka noudattaa sopivia energiaolosuhteita ja muita kohtuullisen täydelliseltä nesteeltä odotettavissa olevia ominaisuuksia), niin sopivan tensorin kenttiä, jotka edustavat fyysisiä määriä, kuten ainetta ja liikemäärän tiheyksiä, meillä on pala mahdollisesti suurempaa aika-aikaa; pala, jota voidaan pitää paikallisena ratkaisuna Einstein-kenttäyhtälöllä.

Tappaminen vektorikentät

Schwarzschild-kaavion suhteen Killing-vektorikenttien Lie-algebra luodaan ajallisesti irrotatiivisella Killing-vektorikentällä

${\ displaystyle \ osittainen _ {t}}$

ja kolme avaruuden kaltaista Killing-vektorikenttää

${\ displaystyle \ osittainen _ {\ phi}}$

${\ displaystyle \ sin \ phi \, \ osittainen _ {\ theta} + \ pinnasänky \ theta \, \ cos \ phi \, \ osittainen _ {\ phi}}$

${\ displaystyle \ cos \ phi \, \ osittainen _ {\ theta} - \ pinnasänky \ theta \, \ sin \ phi \, \ osittainen _ {\ phi}}$

Täällä, sanomalla, että on irrotational tarkoittaa, että pyörteisyyttä tensor vastaavan timelike kongruenssi Vanishes; siis tämä Killing-vektorikenttä on hyperpinta-ortogonaalinen . Se, että avaruusaikamme myöntää irrotatiivisen aikamaisen Killing-vektorikentän, on itse asiassa staattisen aika- ajan määrittelevä ominaisuus . Yksi välitön seuraus on, että vakion aikaiset koordinaattipinnat muodostavat perheen (isometrisiä) spatiaalisia hyperlicejä . (Tämä ei päde esimerkiksi Kerrin tyhjiön ulkoalueen Boyer – Lindquist-kaaviossa , jossa aikakohtainen koordinaattivektori ei ole hyperpinnan kohtisuora.) ${\ displaystyle {\ vec {X}} = \ osittainen _ {t}}$ ${\ displaystyle t = t_ {0}}$

Huomaa, että kaksi viimeistä kenttää ovat toistensa kiertoja koordinaattimuunnoksen alla . Vektorikenttien tappamista käsittelevä artikkeli tarjoaa yksityiskohtaisen johdannon ja keskustelun kolmesta avaruuden kaltaisesta kentästä. ${\ displaystyle \ phi \ mapsto \ phi + \ pi / 2}$

Staattisten sisäkkäisten pallojen perhe

Schwarzschild-kaaviossa pinnat näkyvät pyöreinä palloina (kun piirrämme lokit polaarisella pallomaisella tavalla), ja muodoltaan näemme, että Schwarzschild-metriikka, joka on rajoitettu mihin tahansa näistä pinnoista, on positiivinen selvä ja ${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}}$

${\ displaystyle g | _ {t = t_ {0}, r = r_ {0}} = r_ {0} ^ {2} g _ {\ Omega} = r_ {0} ^ {2} \ vasen (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ oikea), \; 0 <\ theta <\ pi, \; - \ pi <\ phi <\ pi}$

Missä on vakiomallinen Riemannin-metriikka yksikön säteen 2-pallolla. Eli nämä sisäkkäiset koordinaattipallot edustavat itse asiassa geometrisia palloja ${\ displaystyle g _ {\ Omega}}$

1. pinta-ala ${\ displaystyle A = 4 \ pi r_ {0} ^ {2}}$
2. Gaussin kaarevuus ${\ displaystyle K = 1 / r_ {0} ^ {2}}$

Ne ovat erityisesti geometrisia pyöreitä palloja . Lisäksi kulmakoordinaatit ovat täsmälleen tavalliset polaariset pallomaiset kulmakoordinaatit : sitä kutsutaan joskus kolatiteetiksi ja kutsutaan yleensä pituusasteeksi . Tämä on pohjimmiltaan Schwarzschild-kaavion geometrinen piirre. ${\ displaystyle \ Omega = (\ theta, \ phi)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

Voi olla hyödyllistä lisätä, että edellä mainitut neljä tappaikkakenttää, joita pidetään abstrakteina vektorikentinä Lorentzian monikerroksessamme, antavat todellisen ilmaisun staattisen pallosymmetrisen avaruusajan molemmille symmetrioille, kun taas niiden kaaviossa ottama trigonometrinen muoto on Schwarzschild-kaavion termin tarkin ilmaisu . Erityisesti kolme spatiaalista tappaminen vektori kentät on täsmälleen samassa muodossa kuin kolme nontranslational tappaminen vektori kentät pallomaisesti symmetrinen kaavion E ³ ; eli heillä on käsitys mielivaltaisesta euklidisesta kiertämisestä alkuperän tai pallomaisen symmetrian suhteen.

Huomaa kuitenkin hyvin: yleensä Schwarzschildin radiaalikoordinaatti ei kuvaa tarkasti radiaalisia etäisyyksiä , toisin sanoen etäisyyksiä, jotka otetaan avaruusgeodeettisen kongruenssin varrella ja jotka syntyvät integraaleina käyrinä . Pikemminkin, jotta löydämme sopivan käsityksen " spatiaalisesta etäisyydestä " kahden sisäkkäisen pallomme välillä, meidän tulisi integroida pitkin jotakin koordinaattisädettä alkuperästä: ${\ displaystyle \ osittainen _ {r}}$ ${\ displaystyle b (r) dr}$

${\ displaystyle \ Delta \ rho = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} b (r) dr}$

Vastaavasti voimme pitää jokaista palloa idealisoitujen tarkkailijoiden pallomaisen pilven sijaintipaikkana, joiden on (yleensä) käytettävä rakettimoottoreita kiihdyttämään säteittäisesti ulospäin asemansa säilyttämiseksi. Nämä ovat staattisia tarkkailijoita , ja niillä on maailman muotoisia viivoja , joilla Schwarzschild-kaaviossa on tietysti pystysuorat koordinaatit . ${\ displaystyle r = r_ {0}, \ theta = \ theta _ {0}, \ phi = \ phi _ {0}}$

Jotta voisimme laskea oikean aikavälin kahden tarkkailijan maailmanlinjan kahden tapahtuman välillä , meidän on integroitava asianmukaista koordinaatistoa pitkin: ${\ displaystyle a (r) dt}$

${\ displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} a (r) dt}$

Koordinoi singulariteetteja

Katse takaisin koordinaattialueita edellä, huomaa, että koordinoida singulariteetti on merkkejä sijainnin pohjoisnapa yksi meidän staattinen sisäkkäisiä palloja, kun merkkejä sijainti Etelä napa . Aivan kuten tavallisella polaarisella pallokaavalla E ^{3: lla} , topologisista syistä emme voi saada jatkuvia koordinaatteja koko pallosta; meidän on valittava jokin pituusaste (suuri ympyrä) toimimaan päämeridiaanina ja leikattava tämä pois kaaviosta. Tuloksena on, että me leikattiin suljettu puolitaso kustakin spatiaalisesta hyperlaatasta mukaan lukien akseli ja puoli tasoa, joka ulottuu tältä akselilta. ${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta = 0}$${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta = \ pi}$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$${\ displaystyle t = t_ {0}}$${\ displaystyle r = 0}$

Kun edellä esitetty, että on tappaminen vektori alalla, olemme pois pikkutarkka mutta tärkeä karsinta että aiomme kuin syklisen koordinoida, ja todellakin ajatellut meidän kolme spacelike tappaminen vektorit toimivat pyöreä aloilla. ${\ displaystyle \ osittainen _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ phi}$

Mahdollisesti tietysti, tai tällöin meidän on myös valmisteltava alue jonkin pallon ulkopuolella tai jonkin pallon sisällä kaavion toimialueelta. Tämä tapahtuu aina, kun f tai g räjähtää jossakin Schwarzschildin radiaalikoordinaatin r arvossa. ${\ displaystyle r_ {1}> 0}$${\ displaystyle r_ {2} <\ infty}$

Staattisten hyperlipojen visualisointi

Schwarzschildin radiaalisen koordinaatin merkityksen ymmärtämiseksi paremmin se voi auttaa upottamaan yhden spatiaalisista hyperlipoista (ne ovat tietysti kaikki isometrisiä toisilleen) tasaisessa euklidisessa tilassa. Ihmiset, joiden on vaikea visualisoida nelidimensionaalista euklidista avaruutta, huomaavat mielellään, että voimme käyttää pallomaista symmetriaa tukahduttaaksemme yhden koordinaatin . Tämä voidaan saavuttaa kätevästi asettamalla . Nyt meillä on kaksiulotteinen Riemannin-pakosarja, jossa on paikallinen radiaalinen koordinaattikaavio, ${\ displaystyle t = t_ {0}}$${\ displaystyle t = 0, \ theta = \ pi / 2}$

${\ displaystyle g | _ {t = 0, \ theta = \ pi / 2} = b (r) ^ {2} dr ^ {2} + r ^ {2} d \ phi ^ {2}, \; \ ; r_ {1} <r <r_ {2}, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Upottaa tämän pinnan (tai klo rengasmainen rengas) on E ³ , otamme kehyksen kenttä E ³ , jossa

1. on määritelty parametrisoidulle pinnalle, joka perii halutun mittarin upotustilasta,
2. on mukautettu säteittäiseen kaavioon,
3. sisältää määrittelemättömän toiminnon .${\ displaystyle f (r)}$

Harkitse parametrisoitua pintaa

${\ displaystyle (z, r, \ phi) \ oikealle (f (r), \, r \ cos \ phi, \, r \ sin \ phi)}$

Tämän pinnan koordinaattivektorikentät ovat

${\ displaystyle \ osittainen _ {r} = (f ^ {\ prime} (r), \, \ cos \ phi, \, \ sin \ phi), \; \; \ osittainen _ {\ phi} = (0 , -r \ sin \ phi, r \ cos \ phi)}$

Indusoitu metriikka, joka periytyy, kun rajoitamme E ^3: n Euclidean metristä parametrisoituun pintaan, on

${\ displaystyle d \ rho ^ {2} = \ vasen (1 + f ^ {\ prime} (r) ^ {2} \ oikea) \, dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ phi ^ {2}, \; r_ {1} <r <r_ {2}, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Tämän tunnistamiseksi hyperlice-mittaristamme meidän pitäisi ilmeisesti valita sellainen ${\ displaystyle f (r)}$

${\ displaystyle f ^ {\ prime} (r) = {\ sqrt {1-b (r) ^ {2}}}}$

Ottaaksemme jonkin verran typerän esimerkin, meillä saattaa olla . ${\ displaystyle b (r) = f (r) = \ sin (r)}$

Tämä toimii pinnoilla, joilla todelliset etäisyydet kahden säteittäisesti erotetun pisteen välillä ovat suurempia kuin niiden säteittäisten koordinaattien välinen ero. Jos todelliset etäisyydet ovat pienempiä , meidän pitäisi upottaa Riemannin-jakotukkimme avaruuspinnaksi E ^{1,2: een} . Meillä saattaa olla esimerkiksi . Joskus saatamme tarvita kahta tai useampaa paikallista rengasmaisten renkaiden upotusta (positiivisen tai negatiivisen Gaussin kaarevuuden alueilla). Yleensä meidän ei pitäisi odottaa saavansa globaalia upotusta mihinkään tasaiseen tilaan (Riemannin tensorin katoamisen kanssa). ${\ displaystyle b (r) = f (r) = \ sinh (r)}$

Asia on, että Schwarzschild-kaavion määrittävä ominaisuus radiaalisen koordinaatin geometrisen tulkinnan kannalta on juuri se, mitä meidän on suoritettava (periaatteessa) tällainen pallojen symmetrinen upottaminen spatiaalisiin hyperlipoihin.

Metrinen Ansatz

Edellä mainittua linjaelementtiä , jota f , g pidetään Schwarzschildin radiaalikoordinaatin r määrittelemättöminä funktioina , käytetään usein metrisenä ansatzina johdettaessa staattisia pallosymmetrisiä ratkaisuja yleissuhteellisuusteoriaan (tai muihin metrisiin gravitaatioteorioihin ).

Havainnollistamme, kuinka yhteys ja kaarevuus lasketaan Cartanin ulkoisella laskentamenetelmällä . Ensinnäkin luemme rivielementin kehyskentän ,

${\ displaystyle \ sigma ^ {0} = - a (r) \, dt}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {1} = b (r) \, dr}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = rd \ theta \,}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {3} = r \ sin \ theta \, d \ phi}$

jossa katsomme olevan vielä määrittelemättömiä sujuvia toimintoja . (Tosiasia, että avaruusaikamme hyväksyy kehyksen, jolla on tämä erityinen trigonometrinen muoto, on jälleen yksi vastaava ilmaisu Schwarzschild-kaavion käsitteestä staattisessa, pallomaisesti symmetrisessä Lorentzian monikerroksessa.) ${\ displaystyle a \, b}$${\ displaystyle r}$

Toiseksi laskemme näiden kobaasien yksimuotojen ulkoiset johdannaiset:

${\ displaystyle d \ sigma ^ {0} = - a '(r) \, dr \ wedge dt = {\ frac {a' (r)} {b (r)}} \, dt \ wedge \ sigma ^ { 1}}$

${\ displaystyle d \ sigma ^ {1} = 0 \,}$

${\ displaystyle d \ sigma ^ {2} = dr \ kiila d \ theta}$

${\ displaystyle d \ sigma ^ {3} = \ sin \ theta \, dr \ wedge d \ phi + r \, \ cos \ theta \, d \ theta \ wedge d \ phi = - \ left ({\ frac { \ sin \ theta \, d \ phi} {b (r)}} \ wedge \ sigma ^ {1} + \ cos \ theta \, d \ phi \ wedge \ sigma ^ {2} \ right)}$

Verrattuna Cartanin ensimmäiseen rakenteelliseen yhtälöön (tai pikemminkin sen integroitavuusehtoon),

${\ displaystyle d \ sigma ^ {\ hat {m}} = - {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} \, \ wedge \ sigma ^ {\ hattu {n}} }$

luulemme lausekkeita yhdelle muodolle . (Hatut ovat vain merkintäväline muistuttamaan meitä siitä, että indeksit viittaavat kobasis-yksimuotoihimme, ei koordinaattimuotoihin .) ${\ displaystyle dt, \, dr, \, d \ theta, d \ phi}$

Jos muistelemme, mitkä indeksiparit ovat symmetrisiä (aika-aika) ja mitkä antisymmetrisiä (avaruus-avaruus) , voimme vahvistaa, että kuusi yhdistysmuotoa ovat ${\ displaystyle {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}}}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {1} = {\ frac {a '} {b}} (r) \, dt}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {2} = 0}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {3} = 0}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {2} = - {\ frac {d \ theta} {b (r)}}}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {3} = - {\ frac {\ sin \ theta \, d \ phi} {b (r)}}}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {2}} _ {3} = - \ cos \ theta \, d \ phi}$

(Tässä esimerkissä vain neljä kuudesta ei ole kovaa.) Voimme kerätä nämä yksimuotoiset muodot matriisiksi yksimuotoisiksi tai vielä paremmaksi SO (1,3) -arvoisiksi yksimuotoisiksi. Huomaa, että tuloksena oleva yhden muodon matriisi ei ole aivan antisymmetrinen kuin SO (4) -arvotulla yksimuodolla; meidän on käytettävä sen sijaan Lorentzian liitännäisestä johtuvaa transponointikäsitettä .

Kolmanneksi lasketaan yhdysmuodon ulkoiset johdannaiset ja käytetään Cartanin toista rakenteellista yhtälöä

${\ displaystyle {\ Omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} = d {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} - {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {\ ell}} \ kiila {\ omega ^ {\ hattu {\ ell}}} _ {\ hattu {n}}}$

laskea kaarevuus kaksi muotoa. Neljänneksi, käyttämällä kaavaa

${\ displaystyle {\ Omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} = {R ^ {\ hat {m}}} _ {{\ hat {n}} | {\ hattu {\ imath}} {\ hattu {\ jmath}} |} \, \ sigma ^ {\ hattu {\ imath}} \ wedge \ sigma ^ {\ hattu {\ jmath}}}$

jossa Bach palkit osoittavat, että meidän pitäisi tiivistää vain yli kuusi yhä paria indeksien ( i , j ), voimme lukea pois lineaarisesti itsenäisiä komponentteja Riemannin tensor suhteessa meidän coframe ja sen kahden kehyksen kenttä . Saamme:

${\ displaystyle {R ^ {0}} _ {101} = {\ frac {-a '' \, b + a '\, b'} {a \, b ^ {3}}} (r)}$

${\ displaystyle {R ^ {0}} _ {202} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {-a '} {a \, b ^ {2}}} (r) = {R ^ {0}} _ {303}}$

${\ displaystyle {R ^ {1}} _ {212} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {b '} {b ^ {3}}} (r) = {R ^ {1} } _ {313}}$

${\ displaystyle {R ^ {2}} _ {323} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {b ^ {2} -1} {b ^ {2}}} ( r)}$

Viidenneksi voimme laskea indeksejä ja järjestää komponentit matriisiksi ${\ displaystyle R _ {{\ hat {m}} {\ hat {n}} {\ hat {i}} {\ hat {j}}}}$

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} R_ {0101} & R_ {0102} & R_ {0103} & R_ {0123} & R_ {0131} & R_ {0112} \\ R_ {0201} & R_ {0202} & R_ {0203} & R_ {0223} & R_ {0231} & R_ {0212} \\ R_ {0301} & R_ {0302} & R_ {0303} & R_ {0323} & R_ {0331} & R_ {0312} \\ R_ {2301} ja R_ {2302} & R_ { 2303} & R_ {2323} & R_ {2331} & R_ {2312} \\ R_ {3101} & R_ {3102} & R_ {3103} ja R_ {3123} & R_ {3131} & R_ {3112} \\ R_ {1201} & R_ {1202} & R_ {1203} & R_ {1223} & R_ {1231} & R_ {1212} \ end {matrix}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} E&B \\ B ^ {T} & L \ end {matrix}} \ oikea]}$

missä E, L ovat symmetrisiä (yleensä kuusi lineaarisesti riippumatonta komponenttia) ja B on jäljittämätöntä (yleensä kahdeksan lineaarisesti itsenäistä komponenttia), joiden ajattelemme edustavan lineaarista operaattoria kahden muodon kuusiulotteisessa vektoriavaruudessa ( jokainen tapahtuma). Tästä voimme lukea Bel-hajoamisen ajallisen yksikkövektorikentän suhteen . Sähkögravitatiivisen tensor on ${\ displaystyle {\ vec {X}} = {\ vec {e}} _ {0} = {\ frac {1} {a (r)}} \, \ osittainen _ {t}}$

${\ displaystyle E [{\ vec {X}}] _ {11} = {\ frac {a '' \, b-a '\, b'} {a \, b ^ {3}}} (r) , \; E [{\ vec {X}}] _ {22} = E [{\ vec {X}}] _ {33} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {a '} {a \, b ^ {2}}} (r)}$

Magnetogravitic tensor häviää identtisesti, ja topogravitic tensor , josta (käyttäen sitä, että on irrotational) voimme määrittää kolmiulotteisen Riemannin tensor spatiaalisen hyperslices, on ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$

${\ displaystyle L [{\ vec {X}}] _ {11} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {1-b ^ {2}} {b ^ {2} }} (r), \; L [{\ vec {X}}] _ {22} = L [{\ vec {X}}] _ {33} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {-b '} {b ^ {3}}} (r)}$

Tämä pätee mihin tahansa Lorentzin jakotukkiin, mutta huomaamme, että yleisessä suhteellisuusteossa sähkögravitaattinen tensori ohjaa pienien esineiden vuorovesi-jännityksiä mitattuna kehystä vastaavilla tarkkailijoilla, ja magnetogravitinen tensori ohjaa pyörivien esineiden spin-spin-voimia , mitattuna kehystämme vastaavien tarkkailijoiden toimesta.

Dual runko alalla meidän coframe kenttä on

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = {\ frac {1} {a (r)}} \, \ osittainen _ {t}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1} = {\ frac {1} {b (r)}} \, \ osittainen _ {r}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2} = {\ frac {1} {r}} \, \ osittainen _ {\ theta}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {3} = {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \, \ osittain _ {\ phi}}$

Se, että kerroin kertoo vain ensimmäisen kolmesta ortonormaalista avaruusvektorikentästä, tarkoittaa, että Schwarzschild-kaaviot eivät ole spatiaalisesti isotrooppisia (paitsi paikallisesti tasaisen avaruusajan triviaalissa tapauksessa); pikemminkin valokartiot näyttävät (säteittäisesti litistyneiltä) tai (säteittäisesti pitkänomaisilta). Tämä on tietysti vain yksi tapa sanoa, että Schwarzschild-kaaviot edustavat oikein etäisyyksiä jokaisessa sisäkkäisessä pallopallossa, mutta säteittäinen koordinaatti ei edusta uskollisesti oikeaa säteen suuntaista etäisyyttä. ${\ displaystyle {\ frac {1} {b (r)}}}$

Joitakin tarkkoja ratkaisuja Schwarzschild-kaavioiden hyväksymiseen

Joitakin esimerkkejä tällä tavoin saatavista tarkoista ratkaisuista ovat:

• Schwarzschild-tyhjiön ulkoalue ,
• sama, Reissner – Nordström -elektropölynimuri , joka sisältää edellisen esimerkin erityistapauksena,
• sama, Reissner – Nordström – de Sitter -elektrolambdavacuum, joka sisältää edellisen esimerkin erityistapauksena,
• Janis-Newman-Winacour-ratkaisu (joka mallintaa staattisen pallosymmetrisen objektin ulkopinnan, jolla on massaton minimaalisesti kytketty skalaarikenttä),
• tähtimallit, jotka on saatu sovittamalla sisätila-alue, joka on staattinen pallomainen symmetrinen täydellinen nestemäinen ratkaisu pallomaisen katoavan paineen lokeron yli ulkoalueelle, joka on paikallisesti isometrinen osalle Schwarzschildin tyhjiöaluetta.

Yleistykset

On luonnollista harkita ei-staattisia, mutta pallomaisesti symmetrisiä aika-aikoja yleistetyllä Schwarzschild-kaavalla, jossa metriikka on muodoltaan

${\ displaystyle g = -a (t, r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (t, r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} \ left ( d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ oikea),}$

${\ displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Toiseen suuntaan yleisesti ottaen voimme käyttää muita koordinaatistoja pyöreillä kaksipalloillamme saadaksemme esimerkiksi stereografisen Schwarzschild-kaavion, josta on joskus hyötyä:

${\ displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {(1 + x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}}, \; - \ infty <t, x, y <\ infty, r_ {1} <r <r_ {2}}$

Katso myös

• staattinen aika-aika ,
• pallosymmetrinen avaruusaika ,
• staattiset pallosymmetriset täydelliset nesteet ,
• isotrooppiset koordinaatit , toinen suosittu staattisten pallosymmetristen aika-alueiden kaavio,
• Gaussin polaarikoordinaatit , harvinaisempi vaihtoehtoinen kaavio staattisille pallosymmetrisille avaruuksille,
• Gullstrand – Painlevé-koordinaatit , yksinkertainen kaavio, joka on voimassa staattisen mustan aukon tapahtumahorisontissa.
• kehyskentät yleisessä suhteellisuudessa , lisätietoja kehyskentistä ja kehyskentistä,
• Riemannin tensorin Bel hajoaminen ,
• kongruenssi (yleinen suhteellisuusteoria) , lisätietoja edellä mainituista${\ displaystyle {\ vec {X}}}$
• Kruskal – Szekeres-koordinaatit , kaavio, joka kattaa maksimaalisesti laajennetun Schwarzschild-ratkaisun koko avaruuskokonaisuuden ja ovat hyvin käyttäytyviä kaikkialla fyysisen singulaarisuuden ulkopuolella,
• Eddington – Finkelstein-koordinaatit , vaihtoehtoinen kaavio staattisille pallosymmetrisille avaruuksille,

Huomautuksia