S -matriisi - S-matrix

In fysiikka , S -matriisi tai hajonta matriisi liittyy alkuperäiseen tilaan ja lopullinen tila on fyysisen järjestelmän meneillään sironta prosessi . Sitä käytetään kvanttimekaniikassa , sirontateoriassa ja kvanttikenttäteoriassa (QFT).

Muodollisemmin QFT: n yhteydessä S- matriisi määritellään yhtenäiseksi matriisiksi, joka yhdistää asymptoottisesti vapaiden hiukkastilojen joukot ( sisään- ja ulos-tilat ) fyysisten tilojen Hilbert-avaruudessa . Multi-hiukkasen tilassa sanotaan olevan vapaa (ei-vuorovaikutuksessa), jos se muuttuu alle Lorentz muutoksia kuin tensoritulo , tai suora tuote fysiikan kielenkäytössä, on yksi-hiukkasen tiloja kuin määrätty yhtälöllä (1) alla. Asymptoottisesti vapaa tarkoittaa sitten sitä, että valtiolla on tämä ulkonäkö joko kaukaisessa menneisyydessä tai kaukana tulevaisuudessa.

Vaikka S -matriisi voidaan määritellä mille tahansa taustalle ( avaruusaika ), joka on asymptoottisesti ratkaistavissa ja jolla ei ole tapahtumahorisontteja , sillä on yksinkertainen muoto Minkowskin tilan tapauksessa . Tässä erityistapauksessa, Hilbert tila on tila redusoitumattomasta yhtenäisen esityksiä on epähomogeeninen Lorentz ryhmä (jäljempänä Poincare-ryhmä ); S -matriisi on evoluution operaattori välillä (kaukaisessa menneisyydessä) ja (kaukaisessa tulevaisuudessa). Se määritellään vain nollaenergiatiheyden (tai äärettömän hiukkasten erotusetäisyyden) rajoissa. ${\ displaystyle t =-\ infty}$${\ displaystyle t =+\ infty}$

Voidaan osoittaa, että jos Kvanttikenttäteoria vuonna minkowskin avaruus on massa aukko , The tila on asymptoottinen menneisyydessä ja asymptoottinen tulevaisuudessa molemmat kuvataan Fock tiloihin .

Historia

S -matriisi otettiin ensimmäisen kerran käyttöön John Archibald Wheeler vuonna 1937 Paperi "matemaattinen kuvaus Valon Nuclei menetelmällä resonoi Konsernirakenne". Tässä artikkelissa Wheeler esitteli sirontamatriisin - yhtenäisen kertoimien matriisin, joka yhdistää "mielivaltaisen tietyn ratkaisun [integraaliyhtälöiden] asymptoottisen käyttäytymisen vakiomuotoisten ratkaisujen kanssa", mutta ei kehittänyt sitä kokonaan.

1940 -luvulla Werner Heisenberg kehitti ja perusti itsenäisesti S -matriisin ajatuksen . Kvanttikenttäteoriassa esiintyneiden ongelmallisten erojen vuoksi Heisenberg oli motivoitunut eristämään teorian olennaiset piirteet, joihin tulevat muutokset eivät vaikuta teorian kehittyessä. Näin hän joutui ottamaan käyttöön yhtenäisen "tunnusomaisen" S -matriisin.

Nykyään tarkat S -matriisin tulokset ovat kuitenkin konformaalikenttäteorian , integroitavien järjestelmien ja useiden muiden kvanttikenttäteorian ja merkkijonoteorian osa -alueiden kruunaava saavutus . S -matriisit eivät korvaa kenttäteoreettista käsittelyä, vaan täydentävät sen lopputuloksia.

Motivaatio

Suurienergisten hiukkasten fysiikassa halutaan laskea eri tulosten todennäköisyys sirontakokeissa . Nämä kokeet voidaan jakaa kolmeen vaiheeseen:

1. Törmää yhteen joukko saapuvia hiukkasia (yleensä kaksi hiukkasia, joilla on suuri energia).
2. Saapuvien hiukkasten salliminen vuorovaikutuksessa. Nämä vuorovaikutukset voivat muuttaa läsnä olevien hiukkastyyppien tyyppejä (esim. Jos elektroni ja positroni tuhoutuvat, ne voivat tuottaa kaksi fotonia ).
3. Tuloksena olevien lähtevien hiukkasten mittaaminen.

Prosessia, jolla saapuvat hiukkaset muutetaan ( vuorovaikutuksensa kautta ) lähteviksi hiukkasiksi, kutsutaan sironnaksi . Hiukkasfysiikan osalta näiden prosessien fysikaalisen teorian on kyettävä laskemaan eri lähtevien hiukkasten todennäköisyys, kun eri saapuvat hiukkaset törmäävät eri energioihin.

S -matriisi vuonna Kvanttikenttäteoria saavuttaa juuri tämän. Oletetaan, että pienen energiatiheyden lähentäminen pätee näissä tapauksissa.

Käyttää

S -matriisi liittyy läheisesti siirtymistä todennäköisyysamplitudi kvanttimekaniikan ja poikkileikkauksia eri vuorovaikutusten; elementit (yksittäiset numeeriset merkinnät) on S -matriisi tunnetaan sironta amplitudit . Navat ja S -matriisi monimutkainen energian taso tunnistetaan sidottujen tilojen , virtuaalinen valtiot tai resonansseja . Haara leikkaukset on S -matriisi monimutkainen energian taso liittyvät avaamiseen on sironnan kanavan .

Vuonna Hamiltonin lähestymistapa Kvanttikenttäteoria, The S -matriisi voidaan lasketaan aika tilata eksponentiaalista integroidun Hamiltonin että vuorovaikutuksen kuvan ; se voidaan ilmaista myös käyttämällä Feynmanin polkuintegraaleja . Molemmissa tapauksissa S -matriisin häiritsevä laskenta johtaa Feynman -kaavioihin .

Vuonna sirontateoriaa The S -matriisi on operaattori kartoitus vapaan hiukkasen in-valtioissa vapaan hiukkasen out-valtiot ( sironta kanavat ) on heisenbergin kuva . Tämä on erittäin hyödyllistä, koska usein emme voi kuvata vuorovaikutusta (ainakaan ei mielenkiintoisimpia) tarkasti.

Yksidimensionaalisessa kvanttimekaniikassa

Yksinkertainen prototyyppi, jossa S -matriisi on 2 -ulotteinen, tarkastellaan ensin havainnollistamista varten. Siinä hiukkaset, joilla on terävä energia E, hajautuvat paikallisesta potentiaalista V 1-ulotteisen kvanttimekaniikan sääntöjen mukaisesti. Jo tämä yksinkertainen malli näyttää joitakin yleisempien tapausten ominaisuuksia, mutta sitä on helpompi käsitellä.

Jokainen energia E tuottaa matriisin S = S ( E ), joka riippuu V: stä . Näin ollen koko S -matriisi voitaisiin kuvitellusti ottaen visualisoida sopivalla tavalla "jatkuvana matriisina", jossa jokainen elementti on nolla lukuun ottamatta 2 × 2 -lohkoa diagonaalia pitkin tietylle V: lle .

Määritelmä

Harkita paikallinen yksiulotteinen esteeksi V ( x ) , altistetaan säde kvantti hiukkasten energiaa E . Nämä hiukkaset tulevat mahdolliselle esteelle vasemmalta oikealle.

Schrödingerin yhtälön ratkaisut potentiaaliesteen ulkopuolella ovat tasoaallot, jotka on annettu

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} (x) = Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$

mahdollisen esteen vasemmalla puolella olevalle alueelle ja

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} (x) = Ce^{ikx}+De^{-ikx}}$

alueelta oikealle mahdolliseen esteeseen, missä

${\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE/\ hbar ^{2}}}}$

on aaltovektori . Aikariippuvuutta ei tarvita katsauksessamme, joten se jätetään pois. Termi, jolla on kerroin A, edustaa tulevaa aaltoa, kun taas termi, jolla on kerroin C, edustaa lähtevää aaltoa. B tarkoittaa heijastavaa aaltoa. Koska asetamme tulevan aallon positiiviseen suuntaan (tulee vasemmalta), D on nolla ja se voidaan jättää pois.

"Hajautusamplitudi", eli lähtevien aaltojen siirtymä päällekkäisyys tulevien aaltojen kanssa on lineaarinen suhde, joka määrittää S -matriisin,

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatrix}}.}$

Yllä oleva suhde voidaan kirjoittaa muodossa

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {out}} = S \ Psi _ {\ rm {in}}}$

missä

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {out}} = {\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}}, \ quad \ Psi _ {\ rm {in}} = {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatrix}}, \ qquad S = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ {22} \ end {pmatrix}}.}$

S: n elementit luonnehtivat täysin potentiaaliesteen V ( x ) sirontaominaisuuksia .

Yksilöllinen omaisuus

Yhtenäinen ominaisuus S -matriisi liittyy suoraan säilyttämiseen todennäköisyys nykyisen on kvanttimekaniikan .

Todennäköisyys nykyinen J on aaltofunktion ψ (x) on määritelty

${\ displaystyle J = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ vasen (\ psi ^{*} {\ frac {\ partial \ psi} {\ osittainen x}}-\ psi {\ frac {\ osittainen \ psi ^{*}} {\ osittainen x}} \ oikea)}$.

Virran tiheys esteen vasemmalla puolella on

${\ displaystyle J _ {\ rm {L}} = {\ frac {\ hbar k} {m}} \ vasen (| A |^{2}-| B |^{2} \ oikea)}$,

kun taas virran tiheys esteen oikealla puolella on

${\ displaystyle J _ {\ rm {R}} = {\ frac {\ hbar k} {m}} \ vasen (| C |^{2}-| D |^{2} \ oikea)}$.

Säilyttämisen todennäköisyys virrantiheys, J _L = J _R . Tämä tarkoittaa, että S -matriisi on yhtenäinen matriisi .

Todiste

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & J _ {\ rm {L}} = J _ {\ rm {R}} \\ & | A |^{2}-| B |^{2} = | C |^{ 2}-| D |^{2} \\ & | B |^{2}+| C |^{2} = | A |^{2}+| D |^{2} \\ & \ Psi _ {\ rm {out}}^{\ tikari} \ Psi _ {\ rm {out}} = \ Psi _ {\ rm {in}}^{\ tikari} \ Psi _ {\ rm {in}} \\ & \ Psi _ {\ rm {in}}^{\ tikari} S^{\ tikari} S \ Psi _ {\ rm {in}} = \ Psi _ {\ rm {in}}^{\ tikari} \ Psi _ {\ rm {in}} \\ & S^{\ dagger} S = I \\\ end {aligned}}}$

Ajanvaihtosymmetria

Jos potentiaali V ( x ) on todellinen, järjestelmällä on aikakääntelysymmetria . Tässä tilanteessa, jos ψ (x) on ratkaisu Schrödingerin yhtälöön, niin ψ*(x) on myös ratkaisu.

Aika käännetyn ratkaisun antaa

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}}^{*} (x) = A^{*} e^{-ikx}+B^{*} e^{ikx}}$

vasemmalle alueelle mahdolliselle esteelle, ja

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}}^{*} (x) = C^{*} e^{-ikx}+D^{*} e^{ikx}}$

potentiaaliesteen oikealla puolella olevalle alueelle, jossa kerrokset B * , C * edustavat tulevaa aaltoa ja termit, joiden kerroin A * , D * edustavat lähtevää aaltoa.

Ne liittyvät jälleen S -matriisiin,

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A^{*} \\ D^{*} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ { 22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B^{*} \\ C^{*} \ end {pmatrix}} \,}$

tuo on,

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {in}}^{*} = S \ Psi _ {\ rm {out}}^{*}.}$

Nyt suhteet

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {in}}^{*} = S \ Psi _ {\ rm {out}}^{*}, \ quad \ Psi _ {\ rm {out}} = S \ Psi _ {\ rm {in}}}$

yhdessä tuottavat ehdon

${\ displaystyle S^{*} S = I}$

Tämä ehto yhdessä ykseyssuhteen kanssa viittaa siihen, että S -matriisi on symmetrinen ajan muutossymmetrian seurauksena,

${\ displaystyle S^{T} = S.}$

Siirtokerroin ja heijastuskerroin

Läpäisykertoimeksi vasemmalta mahdollisen esteen on, kun D = 0 ,

${\ displaystyle T _ {\ rm {L}} = {\ frac {| C |^{2}} {| A |^{2}}} = | S_ {21} |^{2}.}$

Heijastuskerroin vasemmalta mahdollisen esteen on, kun D = 0 ,

${\ displaystyle R _ {\ rm {L}} = {\ frac {| B |^{2}} {| A |^{2}}} = | S_ {11} |^{2}.}$

Vastaavasti siirtokerroin potentiaaliesteen oikealta puolelta on, kun A = 0 ,

${\ displaystyle T _ {\ rm {R}} = {\ frac {| B |^{2}} {| D |^{2}}} = | S_ {12} |^{2}.}$

Heijastuskerroin potentiaaliesteen oikealta puolelta on, kun A = 0 ,

${\ displaystyle R _ {\ rm {R}} = {\ frac {| C |^{2}} {| D |^{2}}} = | S_ {22} |^{2}.}$

Lähetys- ja heijastuskertoimien väliset suhteet ovat

${\ displaystyle T _ {\ rm {L}}+R _ {\ rm {L}} = 1}$

ja

${\ displaystyle T _ {\ rm {R}}+R _ {\ rm {R}} = 1.}$

Tämä identiteetti on seurausta S -matriisin yhtenäisyysominaisuudesta.

Optinen lause yhdessä ulottuvuudessa

Tapauksessa vapaa hiukkasista V ( x ) = 0 , The S -matriisi sanoen

${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Aina kun V ( x ) on eri kuin nolla, S -matriisi poikkeaa yllä olevasta muodosta

${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 2ir & 1+2it \\ 1+2it & 2ir^{*} {\ frac {1+2it} {1-2it^{*}}} \ end {pmatrix}}.}$

Tätä poikkeamaa parametroivat kaksi monimutkaista energian funktiota , r ja t . Yhtenäisyydestä seuraa myös näiden kahden toiminnon välinen suhde,

${\ displaystyle | r |^{2}+| t |^{2} = \ operaattorinimi {Im} (t).}$

Tämän identiteetin analogia kolmessa ulottuvuudessa tunnetaan optisena lauseena .

Määritelmä kvanttikentän teoriassa

Vuorovaikutuskuva

Yksinkertainen tapa määritellä S -matriisi alkaa ottaa huomioon vuorovaikutuskuva . Anna Hamiltonin H olla jaettu vapaan osan H ₀ ja vuorovaikutus V , H = H ₀ + V . Tässä kuvassa operaattorit käyttäytyvät vapaakentän operaattoreina ja tilavektoreilla on vuorovaikutuksen V mukainen dynamiikka . Antaa

${\ displaystyle \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle}$

tarkoittaa tilaa, joka on kehittynyt vapaasta alkutilasta

${\ displaystyle \ left | \ Phi _ {\ rm {i}} \ right \ rangle.}$

S -matriisi elementti määritellään sitten projektio tämä tila on lopullinen tila

${\ displaystyle \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} \ oikea |.}$

Täten

${\ displaystyle S _ {\ rm {fi}} \ equiv \ lim _ {t \ rightarrow +\ infty} \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} | \ Psi (t) \ right \ rangle \ equiv \ vasen \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} \ oikea | S \ vasen | \ Phi _ {\ rm {i}} \ oikea \ soittoääni,}$

jossa S on S-operaattori . Tämän määritelmän suuri etu on, että aikakehitysoperaattori U, joka kehittää tilaa vuorovaikutuskuvassa, on muodollisesti tunnettu,

${\ displaystyle U (t, t_ {0}) = Te^{-i \ int _ {t_ {0}}^{t} d \ tau V (\ tau)},}$

jossa T tarkoittaa aikajärjestettyä tuotetta . Tässä operaattorissa ilmaistuna

${\ displaystyle S _ {\ rm {fi}} = \ lim _ {t_ {2} \ rightarrow +\ infty} \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow -\ infty} \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} \ oikea | U (t_ {2}, t_ {1}) \ vasen | \ Phi _ {\ rm {i}} \ oikea \ soittoääni,}$

josta

${\ displaystyle S = U (\ infty,-\ infty).}$

Laajentaminen U -tietämyksen avulla antaa Dyson -sarjan ,

${\ displaystyle S = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-i)^{n}} {n!}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} dt_ {1} \ cdots \ int _ {-\ infty}^{\ infty} dt_ {n} T \ vasen [V (t_ {1}) \ cdots V (t_ {n}) \ oikea],}$

tai jos V on Hamiltonin tiheys,

${\ displaystyle S = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-i)^{n}} {n!}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} dx_ {1}^{4} \ cdots \ int _ {-\ infty}^{\ infty} dx_ {n}^{4} T \ vasen [{\ mathcal {H}} (t_ {1}) \ cdots { \ matematiikka {H}} (t_ {n}) \ oikea].}$

Koska erityinen evoluution ajan operaattori, S on yhtenäinen. Kaikille alkutiloille ja lopullisille tiloille

${\ displaystyle S _ {\ rm {fi}} = \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} | S | \ Phi _ {\ rm {i}} \ right \ rangle = \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} \ vasen | \ summa _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-i)^{n}} {n!}} \ int _ {-\ infty} ^{\ infty} dx_ {1}^{4} \ cdots \ int _ {-\ infty}^{\ infty} dx_ {n}^{4} T \ vasen [{\ mathcal {H}} (t_ { 1}) \ cdots {\ mathcal {H}} (t_ {n}) \ right] \ right | \ Phi _ {\ rm {i}} \ right \ rangle.}$

Tämä lähestymistapa on hieman naiivi, koska mahdolliset ongelmat pyyhkäistään maton alle. Tämä on tarkoituksellista. Lähestymistapa toimii käytännössä, ja joitakin teknisiä kysymyksiä käsitellään muissa osioissa.

Sisään ja ulos

Tässä käytetään hieman tiukempaa lähestymistapaa mahdollisten ongelmien ratkaisemiseksi, jotka jätettiin huomiotta yllä olevassa vuorovaikutuskuvan lähestymistavassa. Lopputulos on tietysti sama kuin nopeampaa reittiä valittaessa. Tätä varten tarvitaan käsityksiä sisään- ja ulos -tiloista. Niitä kehitetään kahdella tavalla, tyhjiöstä ja vapaista hiukkasista. On sanomattakin selvää, että nämä kaksi lähestymistapaa ovat samanarvoisia, mutta ne valaisevat asioita eri näkökulmista.

Vacualta

Jos ^† ( k ) on luominen operaattori , sen hermiittinen adjoint on tuhoaminen operaattori ja tuhoaa tyhjiö,

${\ displaystyle a (k) \ left |*, 0 \ right \ rangle = 0.}$

Vuonna Dirac merkintätapa , määritellä

${\ displaystyle |*, 0 \ rangle}$

kuten tyhjiö kvanttitilassa , eli tilassa, ilman todellista hiukkasia. Tähti tarkoittaa, että kaikki tyhjiöt eivät välttämättä ole yhtä suuret eivätkä varmasti Hilbert -tilan nollatilaa 0 . Kaikki tyhjiötilat oletetaan Poincarén invariantiksi , invarianssiksi käännösten, kiertojen ja tehostusten alla, muodollisesti,

${\ displaystyle P^{\ mu} |*, 0 \ rangle = |*, 0 \ rangle, \ quad M^{\ mu \ nu} |*, 0 \ rangle = |*, 0 \ rangle,}$

jossa P ^μ on käännöksen generaattori avaruudessa ja ajassa ja M ^μν on Lorentzin muunnosten generaattori . Tyhjiön kuvaus on siten riippumaton vertailukehyksestä. Määritettäviin sisään- ja ulos -tiloihin liittyvät sisään- ja ulos -kenttäoperaattorit (alias kentät ) Φ _i ja Φ _o . Tässä huomio kiinnitetään yksinkertaisimpaan tapaukseen, skalaariteoriaan , jotta esimerkki voitaisiin havainnollistaa mahdollisimman vähän. Sisään- ja ulos -kentät tyydyttävät

${\ displaystyle (\ Box ^{2}+m ^{2}) \ phi _ {\ rm {i, o}} (x) = 0,}$

vapaa Klein -Gordon -yhtälö . Näillä kentillä oletetaan olevan samat yhtäaikaiset kommutointisuhteet (ETCR) kuin vapailla kentillä,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {[\ phi _ {\ rm {i, o}} (x), \ pi _ {\ rm {i, o}} (y)]} _ {x_ {0} = y_ {0}} & = i \ delta (\ mathbf {x} -\ mathbf {y}), \\ {[\ phi _ {\ rm {i, o}} (x), \ phi _ {\ rm {i, o}} (y)]} _ {x_ {0} = y_ {0}} & = {[\ pi _ {\ rm {i, o}} (x), \ pi _ {\ rm {i, o}} (y)]} _ {x_ {0} = y_ {0}} = 0 \ end {aligned}},}$

jossa π _{i , j} on kenttä kanonisesti konjugaatin ja Φ _{i , j} . Associated sen sisään ja ulos kentät ovat kaksi luomis- ja hävitysoperaattorit, ^† _i ( k ) ja ^† _f ( k ) , toimimalla samaan Hilbert tilaa , kaksi erillistä sarjaa ( Fockin tilat ; alkuperäiseen tilaan i , viimeinen tila f ). Nämä operaattorit täyttävät tavanomaiset kommutointisäännöt,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {[a _ {\ rm {i, o}} (\ mathbf {p}), a _ {\ rm {i, o}}^{\ dagger} (\ mathbf {p} ')]} & = i \ delta (\ mathbf {p} -\ mathbf {p'}), \\ {[a _ {\ rm {i, o}} (\ mathbf {p}), a _ {\ rm {i, o}} (\ mathbf {p '})]]} & = {[a _ {\ rm {i, o}}^{\ tikari} (\ mathbf {p}), _ {\ rm {i, o}}^{\ tikari} (\ mathbf {p '})]} = 0. \ loppu {tasattu}}}$

Luomisoperaattorien toiminta omalla vakuumillaan ja tiloillaan, joissa on rajallinen määrä hiukkasia sisään- ja ulos -tiloissa, annetaan

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle & = a_ {i}^{\ dagger} (k_ {1}) \ cdots a _ {\ rm {i}}^{\ tikari} (k_ {n}) \ left | i, 0 \ right \ rangle, \\\ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ { n} \ oikea \ rangle & = a _ {\ rm {f}}^{\ tikari} (p_ {1}) \ cdots a_ {f}^{\ tikari} (p_ {n}) \ vasen | f, 0 \ oikea \ rangle, \ end {aligned}}}$

jossa normalisointikysymykset on jätetty huomiotta. Seuraavassa osassa on yksityiskohtainen selvitys siitä, miten yleinen n -hiukkastila normalisoidaan. Alku- ja viimeiset välilyönnit määritellään

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {i}} = \ operaationimi {span} \ {\ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = a _ {\ rm {i}}^{\ tikari} (k_ {1}) \ cdots a _ {\ rm {i}}^{\ tikari} (k_ {n}) \ vasen | \ mathrm {i}, 0 \ oikea \ rangle \},}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {f}} = \ operaationimi {span} \ {\ left | f, p_ {1} \ pisteitä p_ {n} \ right \ rangle = a _ {\ rm {f}}^{\ tikari} (p_ {1}) \ cdots a _ {\ rm {f}}^{\ tikari} (p_ {n}) \ vasen | \ mathrm {f}, 0 \ oikea \ rangle \}.}$

Asymptoottisilla tiloilla oletetaan olevan hyvin määritellyt Poincaré-muunnosominaisuudet, eli niiden oletetaan muuttuvan yksipartikkelisten tilojen suorana tuotteena. Tämä on ominaisuus ei-vuorovaikutteiselle kentälle. Tästä seuraa, että asymptoottiset tilat ovat kaikki momentumoperaattorin P ^μ ominaistiloja ,

${\ displaystyle P^{\ mu} \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {m} \ right \ rangle = k_ {1}^{\ mu} +\ cdots +k_ {m} ^{\ mu} \ vasen | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {m} \ oikea \ rangle, \ quad P^{\ mu} \ vasen | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle = p_ {1}^{\ mu} +\ cdots +p_ {n}^{\ mu} \ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ { n} \ oikea \ soittoääni.}$

Erityisesti ne ovat koko Hamiltonin,

${\ displaystyle H = P^{0}.}$

Tyhjiön oletetaan yleensä olevan vakaa ja ainutlaatuinen,

${\ displaystyle | \ mathrm {i}, 0 \ rangle = | \ mathrm {f}, 0 \ rangle = |*, 0 \ rangle \ equiv | 0 \ rangle.}$

Vuorovaikutuksen oletetaan olevan adiabaattisesti päällä ja pois päältä.

Heisenbergin kuva

Heisenbergin kuva käytetään vastedes. Tässä kuvassa valtiot ovat ajasta riippumattomia. Heisenbergin tilavektori edustaa siten hiukkasjärjestelmän koko avaruusajan historiaa. Sisään- ja ulos -tilojen merkinnät viittaavat asymptoottiseen ulkonäköön. State vF _{a: , ja} on tunnettu siitä, että kun t → -∞ hiukkasen pitoisuus on, että edustaa kollektiivisesti a: . Samoin tilassa Ψ _{β , out} hiukkaspitoisuus esitetään β : lla t →+∞ . Olettaen, että sisään- ja ulos -tilat sekä vuorovaikutteiset tilat asuvat samassa Hilbert -avaruudessa ja olettaen normalisoituneiden sisään- ja ulos -tilojen täydellisyyden (asymptoottisen täydellisyyden postulaatti), alkutiloja voidaan laajentaa lopullisten perusteiden perusteella tilat (tai päinvastoin). Selkeä ilmaisu annetaan myöhemmin, kun lisää merkintöjä ja terminologiaa on otettu käyttöön. Laajennuskertoimet ovat juuri alla määriteltäviä S -matriisi -elementtejä.

Vaikka tilavektorit ovat Heisenbergin kuvassa ajassa vakioita, niiden edustamat fyysiset tilat eivät ole . Jos järjestelmän havaitaan olevan tilassa Ψ hetkellä t = 0 , se löytyy tilasta U ( τ ) Ψ = e ^{- iHτ} Ψ hetkellä t = τ . Tämä ei ole (välttämättä) sama Heisenbergin tilavektori, mutta se on vastaava tilavektori, mikä tarkoittaa, että sen havaitaan mittauksen jälkeen olevan yksi lopullisista tiloista laajennuksesta nollasta poikkeavalla kertoimella. Jos τ muuttuu, havaitaan, että havaittu Ψ (ei mitattu) on todellakin Schrödingerin kuva -tilan vektori. Toistamalla mittauksen riittävän monta kertaa ja keskiarvoistamalla voidaan sanoa, että sama tilavektori löytyy todellakin hetkellä t = τ kuin hetkellä t = 0 . Tämä kuvastaa in -state -tilan laajentumista out -tiloihin.

Vapaista hiukkasista

Tätä näkökulmaa varten on harkittava, miten arkkityyppinen sirontakoe suoritetaan. Alkuhiukkaset valmistetaan hyvin määritellyissä tiloissa, joissa ne ovat niin kaukana toisistaan, etteivät ne ole vuorovaikutuksessa. Ne on jotenkin tehty vuorovaikutukseen, ja lopulliset hiukkaset rekisteröidään, kun ne ovat niin kaukana toisistaan, että ne ovat lopettaneet vuorovaikutuksen. Ajatuksena on etsiä Heisenbergin kuvasta tiloja, joilla oli kaukaisessa menneisyydessä ilmaisia ​​hiukkasvaltioita. Tämä tulee olemaan osavaltioissa. Samoin ulkoinen tila on tila, jolla on kaukaisessa tulevaisuudessa vapaa hiukkastila.

Tässä osiossa käytetään yleistä viitettä, Weinberg (2002) . Yleinen ei-vuorovaikuttava monipartikkelitila annetaan

${\ displaystyle \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2}; \ cdots},}$

missä

• p on vauhti,
• σ on spin z -komponentti tai massattomassa tapauksessa heliksiivisyys ,
• n on hiukkaslaji.

Nämä tilat normalisoidaan muodossa

${\ displaystyle \ left (\ Psi _ {p_ {1} '\ sigma _ {1}' n_ {1} '; p_ {2}' \ sigma _ {2} 'n_ {2}'; \ cdots}, \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2}; \ cdots} \ right) = \ delta ^{3} (\ mathbf {p} _ {1} '-\ mathbf {p} _ {1}) \ delta _ {\ sigma _ {1}' \ sigma _ {1}} \ delta _ {n_ {1} 'n_ {1} } \ delta ^{3} (\ mathbf {p} _ {2} '-\ mathbf {p} _ {2}) \ delta _ {\ sigma _ {2}' \ sigma _ {2}} \ delta _ {n_ {2} 'n_ {2}} \ cdots \ quad \ pm {\ text {permutations}}.}$

Permutaatiot toimivat sellaisenaan; jos s ∈ S _k on k objektin permutaatio ( k -hiukkastilalle ) niin, että

${\ displaystyle n_ {s (i)} '= n_ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq k,}$

tuloksena on nollasta poikkeava termi. Merkki on plus, ellei s liity parittomaan määrään fermionin siirtoja, jolloin se on miinus. Merkinnät ovat yleensä lyhennettyjä, jolloin yksi kreikkalainen kirjain edustaa koko tilan kuvaavaa kokoelmaa. Lyhennettynä normalisoinnista tulee

${\ displaystyle \ left (\ Psi _ {\ alpha '}, \ Psi _ {\ alpha} \ right) = \ delta (\ alpha'-\ alpha).}$

Kun integroidaan vapaiden hiukkastilojen päälle, kirjoitetaan tähän merkintään

${\ displaystyle d \ alpha \ cdots \ equiv \ sum _ {n_ {1} \ sigma _ {1} n_ {2} \ sigma _ {2} \ cdots} \ int d^{3} p_ {1} d^ {3} p_ {2} \ cdots,}$

jossa summa sisältää vain sellaisia ​​termejä, että kaksi termiä eivät ole yhtä suuret kuin hiukkasetyyppisten indeksien permutaatio. Etsittyjen valtioiden on tarkoitus olla täydellisiä . Tämä ilmaistaan ​​muodossa

${\ displaystyle \ Psi = \ int d \ alpha \ \ Psi _ {\ alpha} \ vasen (\ Psi _ {\ alfa}, \ Psi \ oikea),}$

joka voitaisiin muotoilla muotoon

${\ displaystyle \ int d \ alpha \ \ left | \ Psi _ {\ alpha} \ right \ rangle \ left \ langle \ Psi _ {\ alpha} \ right | = 1,}$

missä kullekin kiinteälle α : lle oikea puoli on projisointioperaattori tilaan α . Epähomogeenisen Lorentzin muunnoksen (Λ, a ) alla kenttä muuttuu säännön mukaisesti

${\ displaystyle U (\ Lambda, a) \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2} \ cdots} = e^{ -ia _ {\ mu} ((\ Lambda p_ {1})^{\ mu}+(\ Lambda p_ {2})^{\ mu}+\ cdots)} {\ sqrt {\ frac {(\ Lambda p_ {1})^{0} (\ Lambda p_ {2})^{0} \ cdots} {p_ {1}^{0} p_ {2}^{0} \ cdots}}} \ summa _ {\ sigma _ {1} '\ sigma _ {2}' \ cdots} D _ {\ sigma _ {1} '\ sigma _ {1}}^{(j_ {1})} (W (\ Lambda, s. {1 })) D _ {\ sigma _ {2} '\ sigma _ {2}}^{(j_ {2})} (W (\ Lambda, p_ {2})) \ cdots \ Psi _ {\ Lambda p_ { 1} \ sigma _ {1} 'n_ {1}; \ Lambda p_ {2} \ sigma _ {2}' n_ {2} \ cdots},}$

( 1 )

jossa W (Λ, p ) on Wigner kierto ja D ^{( j )} on (2 j + 1) ulotteinen esitys SO (3) . Laittamalla Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0) , jolle U on exp ( iHτ ) , (1) , seuraa välittömästi, että

${\ displaystyle H \ Psi = E _ {\ alpha} \ Psi, \ quad E _ {\ alpha} = p_ {1}^{0}+p_ {2}^{0}+\ cdots,}$

niin sisään- ja ulos-tilat, jotka ovat perässä, ovat koko Hamiltonin ominaisilmoituksia, jotka eivät välttämättä ole vuorovaikutuksessa, koska hiukkasten energiatermejä ei ole. Yllä olevan osan keskustelu ehdottaa, että in -tilojen Ψ ⁺ ja out -tilojen Ψ ^- pitäisi olla sellaisia

${\ displaystyle e^{-iH \ tau} \ int d \ alpha \ g (\ alpha) \ Psi _ {\ alfa}^{\ pm} = \ int d \ alpha \ e^{-iE _ {\ alpha} \ tau} g (\ alfa) \ Psi _ {\ alfa}^{\ pm}}$

suurilla positiivisilla ja negatiivisilla τ: llä on vastaavan paketin ulkonäkö, jota edustaa g , vapaiden hiukkastilojen, g oletetaan sileäksi ja sopivasti lokalisoiduksi. Aaltopaketit ovat välttämättömiä, muuten ajan kehitys antaa vain vaihetekijän, joka ilmaisee vapaita hiukkasia, mikä ei voi olla mahdollista. Oikea puoli seuraa siitä, että sisään- ja ulos -tilat ovat Hamiltonin ominaistiloja edellä. Virallistamiseksi vaatimuksen oletetaan, että koko Hamiltonin H voidaan jakaa kaksi termiä, vapaa-hiukkasen Hamiltonin H ₀ ja vuorovaikutus V , H = H ₀ + V siten, että ominaistilat cp _{y: n} ja H ₀ on sama ulkonäkö kuin normalisointiin ja Lorentzin muunnosominaisuuksiin liittyvät sisään- ja ulos-tilat,

${\ displaystyle H_ {0} \ Phi _ {\ alpha} = E _ {\ alpha} \ Phi _ {\ alpha},}$

${\ displaystyle (\ Phi _ {\ alpha} ', \ Phi _ {\ alpha}) = \ delta (\ alpha'-\ alpha).}$

Tulo- ja lähtötilat määritellään koko Hamiltonin ominaistiloiksi,

${\ displaystyle H \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm} = E _ {\ alpha} \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm},}$

tyydyttävä

${\ displaystyle e^{-iH \ tau} \ int d \ alpha \ g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm} \ oikea nuoli e^{-iH_ {0} \ tau} \ int d \ alfa \ g (\ alfa) \ Phi _ {\ alfa}.}$

for x: → -∞ tai x: → + ∞ vastaavasti. Määritellä

${\ displaystyle \ Omega (\ tau) \ equiv e^{+iH \ tau} e^{-iH_ {0} \ tau},}$

sitten

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm} = \ Omega (\ mp \ infty) \ Phi _ {\ alpha}.}$

Tämä viimeinen lauseke toimii vain käyttämällä aaltopaketteja.Näistä määritelmistä seuraa, että sisään- ja ulos-tilat normalisoidaan samalla tavalla kuin vapaiden hiukkasten tilat,

${\ displaystyle (\ Psi _ {\ beta}^{+}, \ Psi _ {\ alpha}^{+}) = (\ Phi _ {\ beta}, \ Phi _ {\ alpha}) = (\ Psi _ {\ beta}^{-}, \ Psi _ {\ alfa}^{-}) = \ delta (\ beta-\ alfa),}$

ja nämä kolme sarjaa ovat yksinomaan ekvivalentteja. Kirjoita nyt ominaisarvoyhtälö uudelleen,

${\ displaystyle (E _ {\ alfa} -H_ {0} \ pm i \ epsilon) \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm} = \ pm i \ epsilon \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm} +V \ Psi _ {\ alfa}^{\ pm},}$

johon on lisätty ± iε -termit , jotta LHS -operaattori voidaan kääntää . Koska tulo- ja lähtötilat pienenevät vapaiden hiukkastilojen tilalle V → 0 , laita

${\ displaystyle i \ epsilon \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm} = i \ epsilon \ Phi _ {\ alpha}}$

RHS -järjestelmässä

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm} = \ Phi _ {\ alpha}+(E _ {\ alfa} -H_ {0} \ pm i \ epsilon)^{-1} V \ Psi _ {\ alfa}^{\ pm}.}$

Käytä sitten vapaiden hiukkastilojen täydellisyyttä,

${\ displaystyle V \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm} = \ int d \ beta \ (\ Phi _ {\ beta}, V \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm}) \ Phi _ { \ beta} \ equiv \ int d \ beta \ T _ {\ beta \ alpha}^{\ pm} \ Phi _ {\ beta},}$

saada lopulta

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha}^{\ pm} = \ Phi _ {\ alpha}+\ int d \ beta \ {\ frac {T _ {\ beta \ alpha}^{\ pm} \ Phi _ { \ beta}} {E _ {\ alfa} -E _ {\ beta} \ pm i \ epsilon}}.}$

Tässä H ₀ on korvattu sen ominaisarvolla vapaiden hiukkastilojen suhteen. Tämä on Lippmann -Schwingerin yhtälö .

Osavaltioina ilmaistuna

Alkutilat voidaan laajentaa lopullisten tilojen perusteella (tai päinvastoin). Täydellisyyssuhdetta käyttämällä

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha}^{-} = \ int d \ beta (\ Psi _ {\ beta}^{+}, \ Psi _ {\ alpha}^{-}) \ Psi _ {\ beta}^{+} = \ int d \ beta | \ Psi _ {\ beta}^{+} \ rangle \ langle \ Psi _ {\ beta}^{+} | \ Psi _ {\ alfa}^{- } \ rangle = \ summa _ {n_ {1} \ sigma _ {1} n_ {2} \ sigma _ {2} \ cdots} \ int d^{3} p_ {1} d^{3} p_ {2 } \ cdots (\ Psi _ {\ beta}^{+}, \ Psi _ {\ alfa}^{-}) \ Psi _ {\ beta}^{+},}$

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha}^{-} = \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = C_ {0} \ left | \ mathrm {f }, 0 \ oikea \ rangle \ +\ summa _ {m = 1}^{\ infty} \ int {d^{4} p_ {1} \ ldots d^{4} p_ {m} C_ {m} ( p_ {1} \ ldots p_ {m}) \ vasen | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle} ~,}$

missä | C _m | ² on todennäköisyys, että vuorovaikutus muuttuu

${\ displaystyle \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = \ Psi _ {\ alpha}^{-}}$

osaksi

${\ displaystyle \ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle = \ Psi _ {\ beta}^{+}}$.

Kvanttimekaniikan tavallisten sääntöjen mukaan

${\ displaystyle C_ {m} (p_ {1} \ ldots p_ {m}) = \ left \ langle \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ rangle = (\ Psi _ {\ beta}^{+}, \ Psi _ {\ alpha}^{-})}$

ja joku voi kirjoittaa

${\ displaystyle \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = C_ {0} \ left | \ mathrm {f}, 0 \ right \ rangle \ +\ sum _ {m = 1}^{\ infty} \ int {d^{4} p_ {1} \ ldots d^{4} p_ {m} \ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ { m} \ oikea \ rangle} \ vasen \ langle \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ oikea | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ rangle ~. }$

Laajennuskertoimet ovat juuri alla määriteltäviä S -matriisi -elementtejä.

S -matriisi

S -matriisi on nyt määritelty

${\ displaystyle S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ Psi _ {\ beta}^{-} | \ Psi _ {\ alpha}^{+} \ rangle = \ langle \ mathrm {f}, \ beta | \ mathrm {i}, \ alfa \ rangle, \ qquad | \ mathrm {f}, \ beta \ rangle \ in {\ mathcal {H}} _ {\ rm {f}}, \ quad | \ mathrm {i} , \ alpha \ rangle \ in {\ mathcal {H}} _ {\ rm {i}}.}$

Tässä α ja β ovat lyhenteitä, jotka edustavat hiukkaspitoisuutta, mutta tukahduttavat yksittäiset leimat. Associated että S -matriisi siellä on S-operaattori S määritellään

${\ displaystyle \ langle \ Phi _ {\ beta} | S | \ Phi _ {\ alpha} \ rangle \ equiv S _ {\ beta \ alpha},}$

jossa Φ _γ ovat vapaiden hiukkastilojen tilat. Tämä määritelmä on vuorovaikutuskuvassa käytetyn suoran lähestymistavan mukainen. Myös yhtenäisen vastaavuuden vuoksi

${\ displaystyle \ langle \ Psi _ {\ beta}^{+} | S | \ Psi _ {\ alfa}^{+} \ rangle = S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ Psi _ {\ beta} ^{-} | S | \ Psi _ {\ alfa}^{-} \ soittoääni.}$

Fyysisenä vaatimuksena S: n on oltava yhtenäinen operaattori . Tämä on lausunto todennäköisyyden säilymisestä kvanttikenttäteoriassa. Mutta

${\ displaystyle \ langle \ Psi _ {\ beta}^{-} | S | \ Psi _ {\ alfa}^{-} \ rangle = S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ Psi _ {\ beta} ^{-} | \ Psi _ {\ alpha}^{+} \ soittoääni.}$

Täydellisyydellä siis

${\ displaystyle S | \ Psi _ {\ alpha}^{-} \ rangle = | \ Psi _ {\ alpha}^{+} \ rangle,}$

niin S on yhtenäinen muutos sisätilasta ulkoiseen tilaan. Lorentzin invarianssi on toinen tärkeä vaatimus S -matriisissa. S-operaattori edustaa kvantti kanoninen muunnos alkuperäisestä on valtioiden lopulliseen ulos todetaan. Lisäksi, S lehdet tyhjiö tila muuttumaton ja muunnoksia on -space kentät ulos -space aloilla,

${\ displaystyle S \ left | 0 \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle}$

${\ displaystyle \ phi _ {\ mathrm {f}} = S \ phi _ {\ mathrm {i}} S^{-1} ~.}$

Luomis- ja tuhoamisoperaattoreiden osalta tästä tulee

${\ displaystyle a _ {\ rm {f}} (p) = Sa _ {\ rm {i}} (p) S^{-1}, a _ {\ rm {f}}^{\ tikari} (p) = Sa _ {\ rm {i}}^{\ tikari} (p) S^{-1},}$

siten

${\ displaystyle {\ begin {aligned} S | \ mathrm {i}, k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n} \ rangle & = Sa _ {\ rm {i}}^{\ tikari } (k_ {1}) a _ {\ rm {i}}^{\ tikari} (k_ {2}) \ cdots a _ {\ rm {i}}^{\ tikari} (k_ {n}) | 0 \ rangle = Sa _ {\ rm {i}}^{\ tikari} (k_ {1}) S^{-1} Sa _ {\ rm {i}}^{\ tikari} (k_ {2}) S^{- 1} \ cdots Sa _ {\ rm {i}}^{\ dagger} (k_ {n}) S^{-1} S | 0 \ rangle \\ & = a _ {\ rm {o}}^{\ tikari } (k_ {1}) a _ {\ rm {o}}^{\ tikari} (k_ {2}) \ cdots a _ {\ rm {o}}^{\ tikari} (k_ {n}) S | 0 \ rangle = a _ {\ rm {o}}^{\ tikari} (k_ {1}) a _ {\ rm {o}}^{\ tikari} (k_ {2}) \ cdots a _ {\ rm {o} }^{\ tikari} (k_ {n}) | 0 \ rangle = | \ mathrm {o}, k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n} \ rangle. \ end {aligned}} }$

Samanlainen lauseke pätee, kun S toimii vasemmalla ulos -tilassa. Tämä tarkoittaa, että S -matriisi voidaan ilmaista muodossa

${\ displaystyle S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ mathrm {o}, \ beta | \ mathrm {i}, \ alpha \ rangle = \ langle \ mathrm {i}, \ beta | S | \ mathrm {i }, \ alpha \ rangle = \ langle \ mathrm {o}, \ beta | S | \ mathrm {o}, \ alpha \ rangle.}$

Jos S kuvaa vuorovaikutusta oikein, myös näiden ominaisuuksien on oltava totta:

• Jos järjestelmä koostuu yhdestä hiukkasesta momentum -ominaistilassa | K ⟩ sitten S | k ⟩ = | k ⟩ . Tämä seuraa yllä olevasta laskelmasta erityistapauksena.
• S -matriisi elementti voi olla nollasta poikkeava vain jos lähtötila on sama koko vauhtia kuin tulo tilaan. Tämä seuraa S -matriisin vaaditusta Lorentzin invarianssista .

Evoluutiooperaattori U

Määritä ajasta riippuva luonti- ja tuhoamisoperaattori seuraavasti,

${\ displaystyle a^{\ tikari} \ vasen (k, t \ oikea) = U^{-1} (t) a _ {\ rm {i}}^{\ tikari} \ vasen (k \ oikea) U \ vasen (t \ oikea)}$

${\ displaystyle a \ left (k, t \ right) = U^{-1} (t) a _ {\ rm {i}} \ left (k \ right) U \ left (t \ right) ~,}$

niin pelloille,

${\ displaystyle \ phi _ {\ rm {f}} = U^{-1} (\ infty) \ phi _ {\ rm {i}} U (\ infty) = S^{-1} \ phi _ { \ rm {i}} S ~,}$

missä

${\ displaystyle S = e^{i \ alpha} \, U (\ infty)}$ .

Sallimme vaihe -eron, jonka antaa

${\ displaystyle e ^{i \ alpha} = \ left \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ right \ rangle ^{-1} ~,}$

koska S: lle ,

${\ displaystyle S \ left | 0 \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle \ Longrightarrow \ left \ langle 0 | S | 0 \ right \ rangle = \ left \ langle 0 | 0 \ right \ rangle = 1 ~.}$

Korvaamalla U: n nimenomainen lauseke, sinulla on

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {\ left \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ right \ rangle}} {\ mathcal {T}} e^{-i \ int {d \ tau H_ {\ rm {int}} (\ tau)}} ~,}$

missä on vuorovaikutusosa hamiltonilaista ja aikajärjestys. ${\ displaystyle H _ {\ rm {int}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Tarkastelemalla voidaan nähdä, että tämä kaava ei ole nimenomaisesti kovariittinen.

Dyson -sarja

S -matriisin yleisimmin käytetty ilmaisu on Dyson -sarja. Tämä ilmaisee S -matriisi -operaattorin sarjana :

${\ displaystyle S = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-i)^{n}} {n!}} \ int \ cdots \ int d^{4} x_ {1 } d^{4} x_ {2} \ pisteitä d^{4} x_ {n} T [{\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x_ {1}) {\ mathcal {H} } _ {\ rm {int}} (x_ {2}) \ cdots {\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x_ {n})]}$

missä:

• ${\ displaystyle T [\ cdots]}$tarkoittaa aikajärjestystä ,
• ${\ displaystyle \; {\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x)}$tarkoittaa vuorovaikutusta Hamiltonin tiheys, joka kuvaa vuorovaikutusta teoriassa.

Ei -S -matriisi

Koska muutosta hiukkasista mustaksi aukoksi Hawkingin säteilyksi ei voitu kuvata S -matriisilla, Stephen Hawking ehdotti "ei -S -matriisia", jolle hän käytti dollarimerkkiä ja jota siksi kutsuttiin myös "dollarin matriisiksi" ".

Katso myös

• Feynmanin kaavio
• LSZ -vähennyskaava
• Wickin lause
• Haagin lause
• Vuorovaikutuskuva

Huomautukset

Huomautuksia

Viitteet

• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Kvanttimekaniikka: epärelativistinen teoria . Voi. 3 (3. painos). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1. |volume=sisältää ylimääräistä tekstiä ( ohje ) §125
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, osa I , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
• Merzbacher, Eugen (1961), Quantum Mechanics , Wiley & Sons, luku 13, § 3; Luku 19, §6, ISBN 0-471-59670-1
• Sakurai, JJ ; Napolitano, J (2011) [1964]. Moderni kvanttimekaniikka (2. painos). Addison Wesley . Luku 6. ISBN 978-0-8053-8291-4.
• Barut, Asim Orhan (1967). Hajotusmatriisin teoria perushiukkasten vuorovaikutukselle . Macmillan.
• Albert Messias (1999). Kvanttimekaniikka . Doverin julkaisut. ISBN 0-486-40924-4.
• Tony Philips (marraskuu 2001). "Äärellinen ulottuvuus Feynman-kaaviot" . Mitä uutta matematiikassa . American Mathematical Society . Haettu 2007-10-23 .
• Stephen Gasiorowicz (1974). Kvanttifysiikka . Wiley & Sons. ISBN 0-471-29281-8.
• Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization , Springer Publishing , ISBN 3-540-59179-6
• Mussardo, G. (1992). "Ei-kriittiset tilastolliset mallit: Factorized scattering teoriat ja bootstrap-ohjelma". Fysiikkaraportit . 218 (5–6): 215–379. Bibcode : 1992PhR ... 218..215M . doi : 10.1016/0370-1573 (92) 90047-4 .
• Zamolodchikov, AB (1979). "Faktoroidut S-matriisit kahdessa ulottuvuudessa tiettyjen relativististen kvanttikenttäteoriamallien tarkkoina ratkaisuina". Fysiikan vuosikirjat . 120 (2): 253. Bibcode : 1979AnPhy.120..253Z . doi : 10.1016/0003-4916 (79) 90391-9 .