Primitiivinen rekursiivinen asetettu toiminto - Primitive recursive set function

Matematiikan, primitiivinen rekursiivinen sarja toimintoja tai primitiivinen rekursiiviset järjestysluku toiminnot ovat analogeja, primitiivinen rekursiiviset toiminnot , on määritelty sarjaa tai järjestysluvut pikemminkin kuin luonnollisia lukuja. Ne esittelivät Jensen & Karp (1971) .

Määritelmä

Primitiivinen rekursiivinen joukko-funktio on funktio sarjoista joukkoihin, jotka voidaan saada seuraavista perustoiminnoista soveltamalla toistuvasti seuraavia korvaamisen ja rekursion sääntöjä:

Perustoiminnot ovat:

  • Projektio: P n , m ( x 1 , ..., x n ) = x m
  • Nolla: F ( x ) = 0
  • Elementin liittäminen joukkoon : F ( x , y ) = x ∪ { y }
  • Jäsenyyden testaaminen: C ( x , y , u , v ) = x, jos u ∈ v , y muuten.

Säännöt uusien toimintojen tuottamiseksi korvaamalla ovat

  • F ( x , y ) = G ( x , H ( x ), y )
  • F ( x , y ) = G ( H ( x ), y )

missä x ja y ovat muuttujien äärelliset sekvenssit.

Sääntö uusien funktioiden tuottamiseksi rekursiolla on

  • F ( z , x ) = G (∪ u ∈ z F ( u , x ), z , x )

Primitiivi rekursiivinen järjestysluku toiminto on määritelty samalla tavalla, paitsi että ensimmäinen funktio F ( x , y ) = x ∪ { y } on korvattu F ( x ) = x ∪ { x } (jatkoa x ). Primitiiviset rekursiiviset ordinaalifunktiot ovat samat kuin primitiiviset rekursiiviset set-funktiot, jotka kartoittavat ordinaalit ordinaaleihin.

Voidaan lisätä myös enemmän alkuperäisiä toimintoja suuremman toimintoluokan saamiseksi. Esimerkiksi ordinaarifunktio α ei ole primitiivinen rekursiivinen, koska vakiofunktio arvolla ω (tai mikä tahansa muu ääretön joukko) ei ole primitiivinen rekursiivinen, joten saatat haluta lisätä tämä vakiofunktio alkuperäisiin funktioihin.

Viitteet

  • Jensen, Ronald B .; Karp, Carol (1971), "Primitiiviset rekursiiviset setitoiminnot ", Axiomatic Set Theory , Proc. Sympos. Pure Math., XIII, osa I, Providence, RI: Amer. Matematiikka. Soc., S. 143–176, ISBN  9780821802458 , MR  0281602