Normaali ominaisarvo - Normal eigenvalue

Matematiikan, erityisesti spektrin teoriassa , ominaisarvo on suljettu lineaarinen operaattori kutsutaan normaalin jos tila sallii hajoamisen tulee suora summa äärellisen-ulotteinen yleinen eigenspace ja muuttumattoman aliavaruuden , jossa on rajoitettu käänteinen. Normaalien ominaisarvojen joukko yhtyy diskreetin spektrin kanssa . ${\ displaystyle A- \ lambda I}$

Juuri lineaarinen

Anna olla Banach -tila . Juuri suoraviivainen lineaarisen operaattorin domain vastaava ominaisarvo on määritelty ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {\ lambda} (A)}$${\ displaystyle A: \, {\ mathfrak {B}} \ - {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {D}} (A)}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma _ {p} (A)}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {\ lambda} (A) = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} \ {x \ in {\ mathfrak {D}} (A): \, (A- \ lambda I _ {\ mathfrak {B}})^{j} x \ in {\ mathfrak {D}} (A) \, \ frall j \ in \ mathbb {N}, \, j \ leq k ; \, (A- \ lambda I _ {\ mathfrak {B}})^{k} x = 0 \} \ osajoukko {\ mathfrak {B}},}$

missä identiteettioperaattori on . Tämä joukko on lineaarinen jakotukki, mutta ei välttämättä vektoriavaruus , koska se ei välttämättä ole suljettu sisään . Jos tämä sarja on suljettu (esimerkiksi silloin, kun se on äärellinen-ulotteinen), sitä kutsutaan yleisen eigenspace ja vastaavan ominaisarvon . ${\ displaystyle I _ {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda}$

Normaalin ominaisarvon määritelmä

Ominaisarvo on suljettu lineaarinen operaattori on Banachin tila , jossa domeeni kutsutaan normaalin (alkuperäisessä terminologiaa, vastaa normaalisti halkaisu finite-ulotteinen root aliavaruuden ), jos seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät: ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma _ {p} (A)}$ ${\ displaystyle A: \, {\ mathfrak {B}} \ - {\ mathfrak {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {D}} (A) \ osajoukko {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle \ lambda}$

1. Algebrallinen moninaisuus on on rajallinen: , jossa on juuri suoraviivainen ja joka vastaa ominaisarvon ;${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ nu = \ dim {\ mathfrak {L}} _ {\ lambda} (A) <\ infty}$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {\ lambda} (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda}$
2. Avaruus voitaisiin hajottaa suoraksi summaksi , missä on invariantti aliavaruus , jossa on rajattu käänteisarvo.${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} = {\ mathfrak {L}} _ {\ lambda} (A) \ oplus {\ mathfrak {N}} _ {\ lambda}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ lambda}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A- \ lambda I _ {\ mathfrak {B}}}$

Tämä tarkoittaa, että rajoitus on päälle on operaattorin toimialueen ja alueella , joka on rajoitettu käänteinen. ${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {\ lambda}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {D}} (A_ {2}) = {\ mathfrak {N}} _ {\ lambda} \ cap {\ mathfrak {D}} (A)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {R}} (A_ {2}-\ lambda I) \ osajoukko {\ mathfrak {N}} _ {\ lambda}}$

Normaalien ominaisarvojen vastaavat karakterisoinnit

Antaa olla suljettu lineaarinen tiheästi määritelty operaattori Banach -tilassa . Seuraavat väitteet ovat vastaavia (lause III.88): ${\ displaystyle A: \, {\ mathfrak {B}} \ - {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$

1. ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (A)}$ on normaali ominaisarvo;
2. ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (A)}$on eristetty kohta ja on osittain Fredholm ;${\ displaystyle \ sigma (A)}$${\ displaystyle A- \ lambda I _ {\ mathfrak {B}}}$
3. ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (A)}$on eristetty kohta ja on Fredholm ;${\ displaystyle \ sigma (A)}$${\ displaystyle A- \ lambda I _ {\ mathfrak {B}}}$
4. ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (A)}$on eristetty kohta ja on Fredholm indeksi nolla;${\ displaystyle \ sigma (A)}$${\ displaystyle A- \ lambda I _ {\ mathfrak {B}}}$
5. ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (A)}$on yksittäinen piste ja vastaavan Riesz -projektorin sijoitus on rajallinen;${\ displaystyle \ sigma (A)}$ ${\ displaystyle P _ {\ lambda}}$
6. ${\ displaystyle \ lambda \ in \ sigma (A)}$on eristetty piste , sen algebrallinen moninaisuus on äärellinen ja alue on suljettu .${\ displaystyle \ sigma (A)}$${\ displaystyle \ nu = \ dim {\ mathfrak {L}} _ {\ lambda} (A)}$${\ displaystyle A- \ lambda I _ {\ mathfrak {B}}}$

Jos on normaali ominaisarvo, juurilinja on sama kuin Riesz -projektorin alue . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} _ {\ lambda} (A)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {R}} (P _ {\ lambda})}$

Suhde erilliseen spektriin

Yllä oleva vastaavuus osoittaa, että normaalien ominaisarvojen joukko on sama kuin erillinen spektri , joka määritellään spektrin eristettyjen pisteiden joukkoksi, jolla on rajallinen vastaavan Riesz -projektorin sijoitus.

Muiden kuin itsenäisten operaattoreiden spektrin hajoaminen

Suljetun operaattorin spektri Banach -tilassa voidaan hajottaa kahden erillisen joukon, normaalien ominaisarvojen joukon ja olennaisen spektrin viidennen tyypin yhdistämiseksi : ${\ displaystyle A: \, {\ mathfrak {B}} \ - {\ mathfrak {B}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$

${\ displaystyle \ sigma (A) = \ {{\ text {normaali ominaisarvo}}} \ A \} \ cup \ sigma _ {\ mathrm {ess}, 5} (A).}$

Katso myös

• Spektrin hajoaminen (toiminnallinen analyysi)
• Erillinen spektri (matematiikka)
• Olennainen spektri
• Fredholmin kuljettaja
• Operaattorin teoria
• Ratkaiseva muodollisuus
• Riesz -projektori
• Spektri (toiminnallinen analyysi)
• Operaattorin spektri

Viitteet