Matroid - Matroid

In kombinatoriikka , sivuliikkeen matematiikan , joka on matroid / m eɪ t r ɔɪ d / on rakenne, joka tiivistelmät ja yleistää käsitettä lineaarinen riippumattomuus on vektoriavaruudet . On olemassa monia vastaavia tapoja määritellä matroidi aksiomaattisesti , joista merkittävin on seuraavien suhteen: itsenäiset sarjat; emäkset tai piirit; sijoitustoiminnot; sulkemisoperaattorit; ja suljetut sarjat tai asunnot. Osittain järjestettyjen joukkojen kielellä äärellinen matroidi vastaa geometrista hilaa .

Matroid -teoria lainaa laajasti lineaarisen algebran ja graafiteorian terminologiaa , suurelta osin siksi, että se on abstraktio useista keskeisillä käsityksillä näillä aloilla. Matroidit ovat löytäneet sovelluksia geometriasta , topologiasta , kombinatorisesta optimoinnista , verkkoteoriasta ja koodausteoriasta .

Määritelmä

On olemassa monia vastaavia ( kryptomorfisia ) tapoja määritellä (rajallinen) matroidi.

Itsenäiset setit

Periaatteita riippumattomuuden, rajallinen matroid on pari , jossa on äärellinen joukko (kutsutaan perusteen ) ja on perheen ja osajoukkoja on (kutsutaan riippumaton sarjat ) jolla on seuraavat ominaisuudet: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (E, {\ mathcal {I}})}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle E}$

(I1) Tyhjä joukko on itsenäinen, eli . Vaihtoehtoisesti ainakin yksi osajoukko on riippumaton, eli .${\ displaystyle \ emptyyset \ in {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ neq \ emptyyset}$

(I2) Jokainen itsenäisen joukon osajoukko on itsenäinen, eli jokaiselle , jos silloin . Tätä kutsutaan joskus perinnölliseksi omaisuudeksi tai alaspäin suljettavaksi omaisuudeksi.${\ displaystyle A '\ subseteq A \ subseteq E}$${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle A '\ in {\ mathcal {I}}}$

(I3) Jos ja ovat kaksi itsenäistä joukkoa (eli jokainen joukko on itsenäinen) ja siinä on enemmän elementtejä kuin , silloin on olemassa sellainen, joka on in . Tätä kutsutaan joskus lisäysominaisuudeksi tai riippumattoman joukon vaihto -omaisuudeksi .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x \ in A \ kenoviiva B}$${\ displaystyle B \ cup \ {x \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$

Kaksi ensimmäistä ominaisuutta määrittelevät yhdistelmärakenteen, joka tunnetaan itsenäisyysjärjestelmänä (tai abstraktina yksinkertaisena kompleksina ).

Alustat ja piirit

Maajoukon osajoukkoa, joka ei ole riippumaton, kutsutaan riippuvaiseksi . Maksimaalista riippumatonta joukkoa - toisin sanoen riippumatonta joukkoa, josta tulee riippuvainen minkä tahansa elementin lisäämisestä - kutsutaan matroidin perustaksi . Piiri on matroid on minimaalinen riippuvainen osajoukko -se on, riippuvainen asetettu, jonka oikea osajoukot ovat kaikki riippumattomia. Terminologia syntyy, koska graafisten matroidien piirit ovat syklejä vastaavissa kaavioissa. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$

Matroidin riippuvat joukot, emäkset tai piirit luonnehtivat matroidia täysin: joukko on riippumaton silloin ja vain, jos se ei ole riippuvainen, jos ja vain jos se on perustan osajoukko, ja jos ja vain jos se on eivät sisällä piiriä. Riippuvien joukkojen, emästen ja piirien kokoelmilla on yksinkertaisia ​​ominaisuuksia, joita voidaan pitää matroidin aksioomina. Esimerkiksi voidaan määritellä matroidi pariksi , jossa on äärellinen joukko kuten ennen ja joka on kokoelma alajoukkoja , joita kutsutaan "emäksiksi" ja joilla on seuraavat ominaisuudet: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (E, {\ mathcal {B}})}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle E}$

(B1) on tyhjä.${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$

(B2) Jos ja ovat erillisiä jäseniä ja , niin on olemassa elementti siten, että . Tätä ominaisuutta kutsutaan perusvaihtopalveluksi .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle a \ in A \ setminus B}$${\ displaystyle b \ in B \ setminus A}$${\ displaystyle (A \ setminus \ {a \}) \ cup \ {b \} \ in {\ mathcal {B}}}$

Perusvaihtotavasta seuraa, että yksikään jäsen ei voi olla toisen asianmukainen osajoukko. ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$

Rank -toiminnot

Se on matroiditeorian perustulos, joka on suoraan analoginen lineaarisen algebran vastaavan lauseen kanssa , että missä tahansa kahdessa matroidin kannassa on sama määrä elementtejä. Tämä numero kutsutaan listalla on  . Jos on matroid päällä ja on osajoukko , matroid päällä voidaan määrittää määrittelemällä osajoukko itsenäiseksi silloin ja vain, jos se on riippumaton . Tämän avulla voimme puhua alimalleista ja minkä tahansa osajoukon arvosta . Sijoitus osajoukko saadaan listalla toiminto on matroid, jolla on seuraavat ominaisuudet: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle r (A)}$

• Rank-funktion arvo on aina ei-negatiivinen kokonaisluku .
• Mitä tahansa osajoukkoa varten meillä on .${\ displaystyle A \ osajoukko E}$${\ displaystyle r (A) \ leq | A |}$
• Minkä tahansa kahden subsets , meillä on: . Eli sijoitus on submodulaarinen funktio .${\ displaystyle A, B \ osajoukko E}$${\ displaystyle r (A \ cup B)+r (A \ cap B) \ leq r (A)+r (B)}$
• Mistään asettaa ja elementti , meillä on: . Ensimmäisestä eriarvoisuudesta seuraa yleisemmin, että jos , niin sitten . Eli sijoitus on monotoninen funktio .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle r (A) \ leq r (A \ cup \ {x \}) \ leq r (A) +1}$${\ displaystyle A \ subseteq B \ subseteq E}$${\ displaystyle r (A) \ leq r (B) \ leq r (E)}$

Näitä ominaisuuksia voidaan käyttää yhtenä vaihtoehtoisia määritelmiä rajallinen matroid: jos täyttää nämä ominaisuudet, sitten riippumaton sarjaa matroid yli voidaan määritellä ne osajoukot on kanssa . Osittain järjestettyjen joukkojen kielellä tällainen matroidirakenne vastaa geometrista hilaa, jonka elementit ovat osajoukkoja , osittain järjestyksessä. ${\ displaystyle (E, r)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle r (A) = | A |}$${\ displaystyle A \ osajoukko M}$

Ero on nimeltään mitättömyys osajoukon . Se on vähimmäismäärä elementtejä, jotka on poistettava itsenäisen joukon saamiseksi. Mitättömyydestä on kutsutaan mitättömyydestä . Eroa kutsutaan joskus osajoukon corankiksi . ${\ displaystyle | A | -r (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle r (E) -r (A)}$${\ displaystyle A}$

Sulkemistoimijat

Antaa olla matroidi äärellisellä joukolla , jonka sijoitusfunktio on yllä. Suljin (tai span ) osajoukon ja on asetettu ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {cl} (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {cl} (A) = {\ Bigl \ {} x \ in E \ mid r (A) = r {\ bigl (} A \ cup \ {x \} {\ bigr)} {\ Isompi \}}}$.

Tämä määritellään sulkeminen operaattorin jossa tarkoittaa asetetulla teholla , jolla on seuraavat ominaisuudet: ${\ displaystyle \ operaattorinimi {cl}: {\ mathcal {P}} (E) \ - {\ mathcal {P}} (E)}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

• Kaikille osajoukot on , .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X \ subseteq \ operaattorinimi {cl} (X)}$
• Kaikille osajoukot on , .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {cl} (X) = \ operaattorinimi {cl} (\ operaattorinimi {cl} (X))}$
• Kaikille subsets ja on kanssa , .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X \ subseteq Y}$${\ displaystyle \ operaattorinimi {cl} (X) \ subseteq \ operaattorinimi {cl} (Y)}$
• Kaikkien elementtien ja niiden alijoukkojen osalta , jos sitten .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle a \ operaattorinimessä {cl} (Y \ cup \ {b \}) \ setminus \ operaattorinimi {cl} (Y)}$${\ displaystyle b \ in \ operaattorinimi {cl} (Y \ cup \ {a \}) \ setminus \ operaattorinimi {cl} (Y)}$

Kolme ensimmäistä näistä ominaisuuksista ovat sulkemisoperaattorin määritteleviä ominaisuuksia. Neljättä kutsutaan joskus Mac Lane - Steinitz -vaihto -omaisuudeksi . Näitä ominaisuuksia voidaan pitää matroidin toisena määritelmänä: jokainen toiminto, joka noudattaa näitä ominaisuuksia, määrittää matroidin. ${\ displaystyle \ operaattorinimi {cl}: {\ mathcal {P}} (E) \ - {\ mathcal {P}} (E)}$

Asunnot

Joukko jonka suljin on yhtä suuri kuin itse sanotaan olevan suljettu , tai tasainen tai aliavaruus on matroid. Joukko on suljettu, jos se on arvoltaan suurin , mikä tarkoittaa, että minkä tahansa muun elementin lisääminen joukkoon lisäisi sijoitusta. Matroidin suljetuille sarjoille on ominaista peittävä osio -ominaisuus:

• Koko pistejoukko on suljettu.${\ displaystyle E}$
• Jos ja ovat asuntoja, niin on asunto.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S \ cap T}$
• Jos on tasainen, niin jokainen elementti on nimenomaan yksi asunnoista että kansi (eli oikein sisältää , mutta ei ole tasainen välillä ja ).${\ displaystyle S}$${\ displaystyle E \ setminus S}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$

Kaikkien asuntojen luokka , osittain järjestetty sisällyttämällä, muodostaa matroidihila . Kääntäen, joka matroid ristikko muodostaa matroid yli sen joukko on atomien mukaisesti sulkemisen jälkeen operaattori: joukolle atomien kanssa liittyä , ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (M)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ bigvee S}$

${\ displaystyle \ operaattorinimi {cl} (S) = \ {x \ in E \ mid x \ leq \ bigvee S \}}$.

Tämän matroidin tasot vastaavat yksi kerrallaan ristikon elementtejä; hilaelementtiä vastaava tasainen on joukko ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ {x \ in E \ mid x \ leq y \}}$.

Siten tämän matroidin asuntojen hila on luonnollisesti isomorfinen  . ${\ displaystyle L}$

Hyperplanes

Vuonna matroid listalla , litteä listalla kutsutaan hypertaso . (Hyperplaaneja kutsutaan myös kerroksiksi tai kopopisteiksi .) Nämä ovat suurimmat oikeat tasot ; toisin sanoen ainoa hyper -tason supersetti, joka on myös tasainen, on matroidin kaikkien elementtien joukko. Vastaava määritelmä on, että kerros on E: n osajoukko, joka ei ulotu M: lle , mutta sellainen, että minkä tahansa muun elementin lisääminen siihen muodostaa ulottuvuusjoukon . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r-1}$${\ displaystyle E}$

Matroidin hyperplanien perheellä on seuraavat ominaisuudet, joita voidaan pitää matroidien aksiomatisointina: ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

• Ei ole olemassa erillisiä joukkoja ja niiden kanssa . Toisin sanoen hyperplanet muodostavat Sperner -perheen .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle X \ subseteq Y}$
• Jokaista ja erillisiä kanssa , on olemassa kanssa .${\ displaystyle x \ in E}$${\ displaystyle Y, Z \ {matematiikassa {H}}}$${\ displaystyle x \ notin Y \ cup Z}$${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle (Y \ cap Z) \ cup \ {x \} \ subseteq X}$

Graphoids

Minty (1966) määritteli graphoidin kolminkertaiseksi , jossa ja ovat sellaisia ​​tyhjiä alajoukkoja , jotka ${\ displaystyle (L, C, D)}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle L}$

• mikään elementti (kutsutaan "piiriksi") ei sisällä toista,${\ displaystyle C}$
• mikään elementti (jota kutsutaan "cocircuitiksi") ei sisällä toista,${\ displaystyle D}$
• ei asetettu ja asetettu leikkaavat täsmälleen yksi elementti, ja${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$
• kun on edustettuina läpikäydä liitto osajoukkojen kanssa (singelton sarja), sitten joko olemassa sellainen, että tai olemassa sellainen, että${\ displaystyle L}$${\ displaystyle R, G, B}$${\ displaystyle G = \ {g \}}$${\ displaystyle X \ C: ssä}$${\ displaystyle g \ in X \ subseteq R \ cup G}$${\ displaystyle Y \ in D}$${\ displaystyle g \ in Y \ subseteq B \ cup G.}$

Hän osoitti, että on olemassa matroidi, joka on piirien luokka ja piirien luokka. Päinvastoin, jos ja ovat piirin ja virtapiirin luokat matroidilla, jossa on maasarja , niin se on graphoid. Siten grafofidit antavat matroidien itsestään kaksoiskryptomorfisen aksiomatisaation. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle (E, C, D)}$

Esimerkkejä

Ilmainen matroid

Antaa olla äärellinen joukko. Joukko kaikkia osajoukkoja täyttää matroidin määritelmän. Sitä kutsutaan vapaan matroid yli . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Yhtenäiset matroidit

Anna olla äärellinen joukko ja luonnollinen luku . Matroidin voi määritellä ottamalla jokaisen elementin osajoukon perustaksi. Tämä tunnetaan yhtenäinen matroid listalla . Yhtenäinen matroidi, jolla on arvo ja elementtejä, on merkitty . Kaikki vähintään yhden tason yhdenmukaiset matroidit ovat yksinkertaisia ​​(katso § Lisä terminologia ). Tasaista matroidia, joka on pisteissä 2, kutsutaan - pisteviivaksi . Matroidi on yhtenäinen silloin ja vain, jos siinä ei ole piirejä, joiden koko on pienempi kuin yksi plus matroidin sijoitus. Yhtenäisten matroidien suoria summia kutsutaan osio -matroideiksi . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle U_ {k, n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Univormumatroidissa jokainen elementti on silmukka (elementti, joka ei kuulu mihinkään itsenäiseen joukkoon), ja yhtenäisessä matroidissa jokainen elementti on cooop (elementti, joka kuuluu kaikkiin kantoihin). Näiden kahden tyyppisten matroidien suora summa on osio -matroidi, jossa jokainen elementti on silmukka tai kopio; sitä kutsutaan diskreetiksi matroidiksi . Diskreetin matroidin vastaava määritelmä on matroidi, jossa jokainen maajoukon oikea, ei-tyhjä osajoukko on erotin. ${\ displaystyle U_ {0, n}}$${\ displaystyle U_ {n, n}}$${\ displaystyle E}$

Matroidit lineaarisesta algebrasta

Matroiditeoria kehittyi lähinnä riippumattomuuden ja ulottuvuuden ominaisuuksien perusteellisesta tutkimuksesta vektoritiloissa. Tällä tavalla määritellyt matroidit voidaan esittää kahdella tavalla:

• Jos on jokin äärellinen osajoukko vektoriavaruuden , voimme määritellä matroid päälle ottamalla riippumattoman sarjaa olevan lineaarisesti riippumattomia osajoukkoja . Tämän matroidin itsenäisesti asetettujen aksioomien pätevyys seuraa Steinitzin vaihtolemmasta . Jos on matroidi, joka voidaan määritellä tällä tavalla, sanomme, että joukko edustaa . Tällaisia ​​matroideja kutsutaan vektorimatroideiksi . Tärkeä esimerkki tällä tavalla määritellystä matroidista on Fano-matroidi, Fano-tasosta johdettu kolmanneksi paras matroidi , rajallinen geometria, jossa on seitsemän pistettä (matroidin seitsemän elementtiä) ja seitsemän viivaa ( matroidi). Se on lineaarinen matroidi, jonka elementtejä voidaan kuvata seitsemäksi nollapisteeksi kolmiulotteisessa vektoriavaruudessa äärellisen kentän GF (2) päällä . Kuitenkaan ei ole mahdollista tarjota samanlaista esitystä Fano -matroidille käyttämällä todellisia numeroita GF: n sijasta (2).${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle M}$
• Matriisi , jossa merkinnät alalla synnyttää matroid sen sarakkeet. Matroidin riippuvaiset sarakejoukot ovat niitä, jotka ovat lineaarisesti riippuvaisia ​​vektoreina. Tämä matroid kutsutaan sarake matroid on , ja sanotaan edustaa . Esimerkiksi Fano-matroidi voidaan esittää tällä tavalla 3 × 7 (0,1) -matriisina . Pylväsmatroidit ovat vain vektorimatroideja toisella nimellä, mutta usein on syitä suosia matriisin esitystä. (On yksi tekninen ero: sarakkeen matroid voi olla eri elementtejä, jotka ovat samassa vektorissa, mutta vektori matroid kuten edellä on määritelty ei voi. Yleensä tämä ero on merkityksetön ja voidaan jättää huomiotta, mutta antamalla olla monijoukko vektorien yksi tuo kaksi määritelmää täydelliseen sopimukseen.)${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$

Matroidia, joka vastaa vektorimatroidia, vaikka se voidaan esittää eri tavalla, kutsutaan edustettavaksi tai lineaariseksi . Jos se vastaa vektorimatrotia kentän päällä , sanomme sen olevan edustettavissa ; Erityisesti on reaaliaikainen esitettävissä jos se on esitettävissä yli todelliset luvut. Esimerkiksi vaikka graafinen matroidi (katso alla) esitetään kuvaajana, se on myös edustettavissa vektoreilla millä tahansa kentällä. Perusongelma matroiditeoriassa on luonnehtia matroideja, joita voidaan esittää tietyllä alalla ; Rotan olettamus kuvaa mahdollisen karakterisoinnin jokaiselle äärelliselle kentälle . Tähän mennessä tärkeimmät tulokset ovat binaarimatroidien (jotka edustavat GF: ää (2)) Tutteen (1950- luku ), kolmiosaisten matroidien (edustettavissa 3-elementtikentässä) Reidin ja Bixbyn sekä Seymourin (1970- luku) karakterisoinnit ) ja kvaternaarisista matroideista (edustettavissa 4-elementtikentän päällä) Geelenin, Gerardsin ja Kapoorin (2000) vuoksi. Tämä on hyvin avoin alue. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle F}$

Säännöllinen matroid on matroid joka on esitettävissä kaikilla mahdollisilla aloilla. Vámos matroid on yksinkertaisin esimerkki matroid joka ei ole representable ohi millään alalla.

Matroidit kuvaajateoriasta

Toinen alkuperäinen lähde matroidien teorialle on graafiteoria .

Jokainen äärellinen kuvaaja (tai monikuva ) synnyttää matroidin seuraavasti: ottakaa kaikkien reunojen joukkoksi ja ottakaa reunajoukko riippumattomaksi silloin ja vain, jos se on metsä ; eli jos se ei sisällä yksinkertaista sykliä . Sitten sitä kutsutaan syklimatroidiksi . Tällä tavalla johdetut matroidit ovat graafisia . Kaikki matroidit eivät ole graafisia, mutta kaikki kolmen elementin matroidit ovat graafisia. Jokainen graafinen matroidi on säännöllinen. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M (G)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M (G)}$

Muita matroideja kaavioista löydettiin myöhemmin:

• Bicircular matroid kuvaajan määritellään kutsumalla joukko reunoja riippumaton, jos jokainen yhdistetty osajoukko sisältää enintään yhden jakson.
• Jonkin suunnattu tai suuntaamaton verkko antaa ja kaksi erottaa sarjaa pisteiden. Määritä joukossa itsenäinen osajoukko , jos | | Vertex-erilliset polut päälle . Tämä määrittelee matroidin, jota kutsutaan gammoidiksi : tiukka gammoidi on sellainen, jonka joukko on koko pistejoukko .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle G}$
• On kaksiosainen kuvaaja , voidaan muodostaa matroid, jossa elementit ovat pisteiden toisella puolella on bipartition, ja riippumaton osajoukot ovat sarjaa päätepisteiden sovitukset kuvaajan. Tätä kutsutaan poikittaiseksi matroidiksi , ja se on gammoidin erityistapaus. Poikittaiset matroidit ovat kaksoismatroideja tiukoille gammoideille.${\ displaystyle G = (U, V, E)}$${\ displaystyle U}$
• Graafiset matroidit on yleistetty matroideiksi allekirjoitetuista kaavioista , vahvistuskaavioista ja puolueellisista kaavioista . Kaaviossa, jossa on erottuva lineaarinen sykliluokka, joka tunnetaan nimellä "puolueellinen kuvaaja" , on kaksi matroidia, jotka tunnetaan kehysmatroidina ja painotetun kuvaajan nostomatroidina . Jos jokainen sykli kuuluu arvostettuun luokkaan, nämä matroidit vastaavat jakson matroidia . Jos sykliä ei eroteta, kehysmatroidi on pyöränmuotoinen . Allekirjoitettu kuvaaja, jonka reunat on merkitty merkeillä, ja vahvistuskaavio, joka on kuvaaja, jonka reunat on merkitty suunnattavasti ryhmästä, synnyttävät kumpikin puolueellisen kuvaajan ja sisältävät siten kehys- ja nosto -matroideja.${\ displaystyle G}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle (G, B)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$
• Laman kaaviot muodostavat perustan kaksiulotteisen jäykkyyttä matroid , eli matroid määritelty teorian rakenteellisesta jäykkyydestä .
• Antaa olla yhdistetty kuvaaja ja olla sen reunajoukko. Antaa olla kokoelma osajoukkoja on sellainen, että on yhä kytkettynä. Sitten , jonka elementti sarja on ja sen luokan riippumattomien asetetaan, on matroid nimeltään side matroid on . Rank -funktio on reuna -alijoukossa indusoidun osakaavion syklomaattinen luku , joka on yhtä suuri kuin kyseisen osakaavion maksimimetsän ulkopuolella olevien reunojen lukumäärä ja myös siinä olevien riippumattomien syklien lukumäärä.${\ displaystyle G}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle GF}$${\ displaystyle M^{*} (G)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle r (F)}$${\ displaystyle F}$

Matroidit kenttälaajennuksista

Kolmas matroiditeorian alkuperäinen lähde on kenttäteoria .

Laajentaminen kentän synnyttää matroid. Oletetaan ja ovat kenttiä, joissa on . Antaa olla mikä tahansa äärellinen osajoukko . Määrittele osajoukko on oltava algebrallisesti riippumattomia jos ekstensiokenttä on tuonpuoleisuuden määrin yhtä kuin . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F (S)}$${\ displaystyle | S |}$

Matroidia, joka vastaa tällaista matroidia, kutsutaan algebralliseksi matroidiksi . Algebrallisten matroidien karakterisoinnin ongelma on erittäin vaikea; siitä tiedetään vähän. Vámos matroid tarjoaa esimerkki matroid, joka ei ole algebrallinen.

Perusrakenteet

On olemassa joitain tavanomaisia ​​tapoja tehdä uusia matroideja vanhoista.

Kaksinaisuus

Jos M on äärellinen matroid, voimme määritellä ortogonaaliset tai kaksi matroid M * ottamalla samoihin asettaa ja soittamalla A-sarjan pohjalta on M *, jos ja vain jos sen täydennys on perusta M . Ei ole vaikea todentaa, että M * on matroid ja että duaali M * on M .

Dualia voidaan kuvata yhtä hyvin myös muilla tavoilla määritellä matroidi. Esimerkiksi:

• Joukko on riippumaton M *: ssa silloin ja vain, jos sen komplementti ulottuu M: ään .
• Joukko on M * -piiri silloin ja vain, jos sen täydennys on M: n takami .
• Dualin sijoitusfunktio on .${\ displaystyle r^{*} (S) = | S | -r (M)+r \ vasen (E \ setminus S \ right)}$

Mukaan matroid versio Kuratowski lauseen , kahden graafisen matroid M on graafinen matroid jos ja vain jos M on matroid on tasomainen kuvaajan . Tässä tapauksessa M : n kaksikko on G: n kaksikaavion matroidi . Tietyn kentän F yli edustettavan vektori -matroidin duaali on myös edustettavissa F: n päällä . Poikittaisen matroidin kaksikko on tiukka gammoidi ja päinvastoin.

Esimerkki

Kaavion syklimatroidi on sen sidosmatroidin kaksoismatroidi.

Alaikäiset

Jos M on matroid elementistä joukko E , ja S on osajoukko E , rajoitus on M ja S , kirjallinen M  | S on joukon S matroidi, jonka itsenäiset joukot ovat S: n sisältämiä M: n itsenäisiä joukkoja . Sen piirit ovat M: n piirejä, jotka sisältyvät S: ään, ja sen sijoitusfunktio on M: n, joka rajoittuu S: n osajoukkoihin . Lineaarisessa algebrassa tämä vastaa rajoittumista S : n vektoreiden luomaan aliavaruuteen . Vastaavasti jos T = M - S tämä voidaan kutsua poistetaan ja T , kirjallinen M \ T tai M - T . M: n alamatroidit ovat juuri poistosekvenssin tuloksia: järjestyksellä ei ole merkitystä.

Rajoituksen kaksitoiminen on supistuminen. Jos T on osajoukko E , supistuminen on M mukaan T , kirjallinen M / T , on matroid alla olevaan joukko E - T , jonka sijoitus toiminto on vuonna lineaarialgebra, tämä vastaa katsomalla osamäärä tilaa lineaarisen tila tuottamat vektorit T , yhdessä kuvien vektoreista E - T . ${\ displaystyle r '(A) = r (A \ cup T) -r (T).}$

Matroid N , joka saadaan M , jonka sekvenssi rajoitus ja supistuminen toimintaa kutsutaan pieni ja M . Sanomme, että M sisältää alaikäisenä N : n . Monille tärkeille matroidiperheille voidaan luonnehtia pieniä ja pieniä matroideja, jotka eivät kuulu perheeseen; heitä kutsutaan kielletyiksi tai poissuljetuiksi alaikäisiksi .

Summat ja ammattiliitot

Olkoon M on matroid, jonka alla on joukko elementtejä E , ja anna N toinen matroid alla olevaan joukko F . Suora summa on matroids M ja N on matroid joiden kohde joukko on disjoint liitto sekä E ja F , ja jonka riippumaton sarjat ovat disjoint ammattiliitot riippumattoman joukon M riippumaton joukko N .

Liitto on M ja N on matroid joiden kohde sarja on liitto (ei disjoint liitto) sekä E ja F , ja joiden riippumattomat joukot ovat ne osajoukot, jotka ovat unionin riippumattoman asetettu M ja yksi N . Yleensä termiä "liitto" käytetään, kun E = F , mutta tämä olettamus ei ole välttämätön. Jos E ja F ovat toisistaan ​​riippumattomia, liitto on suora summa.

Lisä terminologiaa

Olkoon M on matroid, jonka alla on joukko elementtejä E .

• E voidaan kutsua perusteen on M . Sen elementit voidaan kutsua pistettä ja M .
• Osajoukko E ulottuu M , jos sen sulkeminen on E . Joukko sanotaan span suljettu joukko K , jos sen sulkeminen on K .
• Ympärysmitta on matroid on koko sen pienimmän piirin tai riippuvainen asetettu.
• Elementtiä, joka muodostaa yhden elementin piirin M, kutsutaan silmukoksi . Vastaavasti elementti on silmukka, jos se ei kuulu mihinkään perusteeseen.
• Elementtiä, joka ei kuulu mihinkään piiriin, kutsutaan kaaokseksi tai kannakseksi . Vastaavasti elementti on yhdistelmä, jos se kuuluu jokaiseen perustaan. Loop ja coloops ovat keskenään kaksinaisia.
• Jos kahden elementin joukon { f, g } on piiri M , sitten f ja g ovat yhdensuuntaisia on M .
• Matroidia kutsutaan yksinkertaiseksi, jos sillä ei ole piirejä, jotka koostuvat 1 tai 2 elementistä. Toisin sanoen siinä ei ole silmukoita eikä rinnakkaisia ​​elementtejä. Myös termiä kombinatorinen geometria käytetään. Yksinkertainen matroid saatu toisesta matroid M poistamalla kaikki silmukat ja poistamalla yksi elementti kustakin 2-elementin piiri kunnes ei 2-elementti virtapiirit jäävät kutsutaan yksinkertaistaminen on M . Matroidi on yksinkertainen, jos sen kaksoismatroidi on yksinkertainen.
• A Union of piirien kutsutaan joskus sykli on M . Sykli on siis kaksoismatroidin asunnon täydennys. (Tämä käyttö on ristiriidassa kuvaajan yleisen "syklin" merkityksen kanssa.)
• Erotin on M on osajoukko S on E siten, että . Oikea tai ei-triviaali erotin on erotin, joka ei ole E eikä tyhjä joukko. Jaoton erotin on erotin, joka ei sisällä muita ei-tyhjiä erotin. Supistumattoman erottimet osio maahan asetettu E .${\ displaystyle r (S)+r (ES) = r (M)}$
• Matroidia, jota ei voida kirjoittaa kahden tyhjän matroidin suorana summana tai vastaavasti jolla ei ole asianmukaisia ​​erottimia, kutsutaan yhdistetyksi tai irreducible . Matroidi on yhdistetty silloin ja vain, jos sen dual on kytketty.
• Maksimaalinen redusoitumattoman submatroid on M kutsutaan komponentti on M . Komponentti on M: n rajoittaminen pelkistymättömäksi erottimeksi ja päinvastoin M: n rajoittaminen pelkistämättömäksi erottimeksi on komponentti. Erotin on komponenttien liitos.
• Matroidia M kutsutaan kehysmatroidiksi, jos sen tai sitä sisältävän matroidin perusta on sellainen, että kaikki M: n pisteet sisältyvät peruselementtien pareja yhdistäviin viivoihin.
• Matroidia kutsutaan päällystysmatroidiksi, jos sen kaikkien piirien koko on vähintään yhtä suuri kuin sen sijoitus.
• Matroid polytooppia on kupera runko on indikaattorivektoreita ja emästen .${\ displaystyle P_ {M}}$${\ displaystyle M}$

Algoritmit

Ahne algoritmi

Painotettu matroid on matroid yhdessä funktio sen elementtejä ei-negatiiviset reaalilukuja . Elementtien osajoukon paino määritellään osajoukon elementtien painojen summaksi. Ahne algoritmi voidaan löytää suurin-paino perusteella matroid, lähtemällä tyhjä joukko ja toistuvasti lisäämällä yksi osa kerrallaan, jokaisessa vaiheessa valita enintään-paino alkioiden joukossa, joiden lisääminen olisi säilyttää riippumattomuus lisätystä sarjasta. Tämän algoritmin ei tarvitse tietää mitään matroidin määritelmän yksityiskohdista, kunhan sillä on pääsy matroidiin riippumattomuuden oraakkelin , aliohjelman avulla, jolla testataan, onko joukko riippumaton.

Tätä optimointialgoritmia voidaan käyttää matroidien karakterisointiin: jos joukkojen perheellä F , joka on suljettu alijoukkojen alle, on ominaisuus, että riippumatta siitä, kuinka joukkoja painotetaan, ahne algoritmi löytää perheestä enimmäispainojoukon, niin F on oltava matroidin itsenäisten sarjojen perhe.

Matroidin käsite on yleistetty mahdollistamaan muuntyyppiset sarjat, joille ahne algoritmi antaa optimaaliset ratkaisut; katso greedoid ja matroid upottamista lisätietoja.

Matroid -osiointi

Matroid osiointi ongelma on eristää elementit matroid osaksi niin vähän toisistaan riippumatonta kuin mahdollista, ja matroid pakkaus ongelma on löytää niin monta erilliset ulottuu sarjaa kuin mahdollista. Molemmat voidaan ratkaista polynomi -ajassa, ja ne voidaan yleistää ongelmaan, joka koskee aseman laskemista tai itsenäisen joukon löytämistä matroidisummassa.

Matroidin risteys

Leikkauspiste Kahden tai useamman matroids on perheen asetetaan, jotka ovat samanaikaisesti riippumattomia kussakin matroids. Ongelma löytää suurin tai suurin painotettu joukko kahden matroidin leikkauspisteestä löytyy polynomiajasta , ja se tarjoaa ratkaisun moniin muihin tärkeisiin yhdistelmäoptimointitehtäviin. Esimerkiksi, maksimi sovitus on kaksiosainen kuvaajia voidaan ilmaista ongelma, joka leikkaa kahden osion matroids . Suurimman joukon löytäminen kolmen tai useamman matroidin risteyksestä on kuitenkin NP-täydellinen .

Matroid ohjelmisto

Kaksi erillistä matroidien laskentajärjestelmää ovat Kinganin Oid ja Hlinenyn Macek . Molemmat ovat avoimia paketteja. "Oid" on interaktiivinen, laajennettava ohjelmistojärjestelmä matroidien kokeiluun. "Macek" on erikoistunut ohjelmistojärjestelmä, joka sisältää työkaluja ja rutiineja kohtuullisen tehokkaille yhdistelmälaskennoille edustettavien matroidien kanssa.

Molemmat avoimen lähdekoodin matemaattiset ohjelmistot SAGE ja Macaulay2 sisältävät matroidipaketteja.

Polynomi -invariantit

On olemassa kaksi erityisen merkittävää polynomit liittyy äärellinen matroid M maahan asetettu E . Jokainen on matroidi -invariantti , mikä tarkoittaa, että isomorfisilla matroideilla on sama polynomi.

Tyypillinen polynomi

Tunnusomainen polynomi on M (jota joskus kutsutaan kromaattinen polynomi , vaikka sitä ei lasketa väriaineita), on määritelty olevan

${\ displaystyle p_ {M} (\ lambda): = \ sum _ {S \ subseteq E} (-1) ^{| S |} \ lambda ^{r (M) -r (S)},}$

tai vastaavasti (niin kauan kuin tyhjä sarja on suljettu M: ssä ) kuten

${\ displaystyle p_ {M} (\ lambda): = \ summa _ {A} \ mu (\ tyhjäsarja, A) \ lambda ^{r (M) -r (A)} \,}$

jossa μ tarkoittaa Möbius funktio on geometrisen ristikko on matroid ja otetaan summa kaikki asunnot A matroid.

Kun M on kaavion G syklimatroosi M ( G ) , ominaispolynoomi on kromaattisen polynomin lievä muunnos , jonka antaa χ _G  (λ) = λ ^c p _{M ( G )}  (λ), missä c on G: n kytkettyjen komponenttien määrä .

Kun M on sidos matroid M * ( G ) graafin G , karakteristisen polynomin yhtä suuri kuin virtaus polynomi on G .

Kun M on lineaaristen hyperplanojen järjestelyn A matroidi M ( A ) kohdassa R ⁿ (tai F ^n, jossa F on mikä tahansa kenttä), järjestelyn ominaispolynoomi annetaan p _A  (λ) = λ ^{n - r ( M )} p _{M ( A )}  (λ).

Beta -invariantti

Beeta invariantti on matroid, käyttöön Crapo (1967), voidaan ilmaista karakteristisen polynomin p kuin derivaattojen arviointi

${\ displaystyle \ beta (M) = (-1)^{r (M) -1} p_ {M} '(1) \}$

tai suoraan kuten

${\ displaystyle \ beta (M) = (-1)^{r (M)} \ sum _ {X \ subseteq E} (-1)^{| X |} r (X) \.}$

Beeta-invariantti ei ole negatiivinen, ja se on nolla silloin ja vain, jos M on irrotettu, tyhjä tai silmukka. Muuten se riippuu vain M : n kerrostalosta . Jos M: llä ei ole silmukoita ja koloja, niin β ( M ) = β ( M ^∗ ).

Tutte -polynomi

Tutte polynomi on matroid, T _M  ( x , y ), yleistää tunnusomainen polynomi on kaksi muuttujaa. Tämä antaa sille enemmän kombinatorisia tulkintoja ja antaa sille myös kaksinaisuusominaisuuden

${\ displaystyle T_ {M^{*}} (x, y) = T_ {M} (y, x),}$

mikä merkitsee useita eroja M: n ominaisuuksien ja M  *: n ominaisuuksien välillä . Yksi Tutte -polynomin määritelmä on

${\ displaystyle T_ {M} (x, y) = \ sum _ {S \ subseteq E} (x-1)^{r (M) -r (S)} (y-1)^{| S |- r (S)}.}$

Tämä ilmaisee Tutte-polynomin arviointina corank-nullity tai rank generoivasta polynomista ,

${\ displaystyle R_ {M} (u, v) = \ sum _ {S \ subseteq E} u^{r (M) -r (S)} v^{| S | -r (S)}.}$

Tämän määritelmän on helppo nähdä, että ominaisuus polynomi on, jopa yksinkertainen seikka, arvio T _M , erityisesti,

${\ displaystyle p_ {M} (\ lambda) = (-1)^{r (M)} T_ {M} (1- \ lambda, 0).}$

Toinen määritelmä koskee sisäistä ja ulkoista toimintaa ja summaa emästen yli, mikä osoittaa, että T (1,1) on emästen lukumäärä. Tämä, joka koostuu vähemmän alajoukoista, mutta jolla on monimutkaisempia termejä, oli Tutten alkuperäinen määritelmä.

Poistamisen ja supistumisen aiheuttamaa rekursiota varten on olemassa toinen määritelmä. Poisto-supistumisen identiteetti on

${\ displaystyle F (M) = F (Me)+F (M/e)}$kun ei ole silmukkaa eikä koppaa.${\ displaystyle e}$

Invariantti matroideja (eli funktio, joka ottaa saman arvon isomorfisissa matroideissa), joka täyttää tämän rekursion ja kertoimen

${\ displaystyle F (M \ oplus M ') = F (M) F (M')}$

sanotaan olevan Tutte-Grothendieckin invariantti . Tutte -polynomi on yleisin tällainen invariantti; toisin sanoen Tutte-polynomi on Tutte-Grothendieck-invariantti ja jokainen sellainen invariantti on arvio Tutte-polynomista.

Tutte polynomi T _G   graafin on Tutte polynomi T _{M ( G )} sen jakson matroid.

Ääretön matroids

Infiniittisten matroidien teoria on paljon monimutkaisempi kuin äärellisten matroidien ja se muodostaa oman aiheensa. Yksi vaikeuksista on pitkään ollut se, että oli olemassa monia järkeviä ja hyödyllisiä määritelmiä, joista yksikään ei näyttänyt sisältävän äärellisen matroiditeorian kaikkia tärkeitä näkökohtia. Esimerkiksi näytti olevan vaikeaa saada emäkset, piirit ja kaksinaisuus yhteen yhteen äärettömien matroidien käsitteeseen.

Äärettömän matroidin yksinkertaisin määritelmä on vaatia äärellinen sijoitus ; eli E: n asema on rajallinen. Tämä teoria on samanlainen kuin äärellisten matroidien lukuun ottamatta kaksinaisuuden epäonnistumista, koska äärellisen aseman äärettömän matroidin kaksoisella ei ole äärellinen sijoitus. Äärellinen-luokan matroideihin kuuluvat kaikki äärellisulotteisten vektoriavaruuksien osajoukot ja äärellisen transsendenssiasteen kenttälaajennukset .

Seuraava yksinkertaisin ääretön yleistys on lopulliset matroidit. Matroidi on lopullinen, jos sillä on sellainen ominaisuus

${\ displaystyle x \ in \ operaattorinimi {cl} (Y) \ Leftrightarrow (\ olemassa Y '\ subseteq Y) Y' {\ text {on äärellinen ja}} x \ in \ operatorname {cl} (Y ').}$

Vastaavasti jokainen riippuvainen joukko sisältää äärellisen riippuvaisen joukon. Esimerkkejä ovat äärettömien ulottuvuuksien vektoriavaruuksien mielivaltaisten osajoukkojen lineaarinen riippuvuus (mutta ei äärettömiä riippuvuuksia kuten Hilbertin ja Banachin tiloissa ) ja algebrallinen riippuvuus kenttälaajennusten mielivaltaisista osajoukoista, joilla on mahdollisesti ääretön transsendenssiaste. Jälleen, lopullisen matroidin luokka ei ole itse kaksinainen, koska lopullisen matroidin kaksois ei ole lopullinen. Äärettömiä äärettömiä matroideja tutkitaan malliteoriassa , matemaattisen logiikan haarassa, jolla on vahvat siteet algebraan .

1960 -luvun lopulla matroiditeoreetikot pyysivät yleisempää käsitystä, joka jakaa äärellisten matroidien eri näkökohdat ja yleistää niiden kaksinaisuuden. Monet käsitteet äärettömistä matroideista määriteltiin vastauksena tähän haasteeseen, mutta kysymys jäi avoimeksi. Yksi DA Higgsin tutkimista lähestymistavoista tuli tunnetuksi B-matroideina, ja Higgs, Oxley ja muut tutkivat niitä 1960- ja 1970-luvuilla. Bruhnin, Diestelin ja Kriesellin et ai. ( 2013 ), se ratkaisee ongelman: Saavutettuaan samaan käsitykseen itsenäisesti, he tarjosivat viisi vastaavaa aksioomajärjestelmää - riippumattomuuden, tukikohtien, piirien, sulkemisen ja sijoituksen suhteen. B-matroidien kaksinaisuus yleistää kaksinaisuudet, jotka voidaan havaita loputtomissa kaavioissa.

Itsenäisyyden aksioomat ovat seuraavat:

1. Tyhjä sarja on itsenäinen.
2. Jokainen itsenäisen joukon osajoukko on itsenäinen.
3. Jokaista ei -maksimaalista (alle joukon sisällyttämistä) riippumatonta joukkoa I ja maksimaalista riippumatonta joukkoa J on sellainen, joka on riippumaton.${\ displaystyle x \ kohdassa J \ setminus I}$${\ displaystyle I \ cup \ {x \}}$
4. Jokainen osajoukko X emäksen tilaa, joka riippumaton osajoukko I ja X voidaan laajentaa maksimaalinen riippumaton osajoukko X .

Näiden aksioomien avulla jokaisella matroidilla on dual.

Historia

Matroid -teorian esitteli Hassler Whitney  ( 1935 ). Sen löysi itsenäisesti myös Takeo Nakasawa , jonka työ unohdettiin moniksi vuosiksi ( Nishimura & Kuroda 2009 ).

Pääoppaassaan Whitney tarjosi kaksi aksioomaa itsenäisyyden saavuttamiseksi ja määritteli minkä tahansa näiden aksioomien mukaisen rakenteen "matroideiksi". (Vaikka se saattoi olettaa, hän ei sisältänyt aksioomaa, joka edellyttäisi ainakin yhden osajoukon olevan riippumaton.) Hänen keskeinen havaintonsa oli, että nämä aksioomat tarjoavat abstraktion "riippumattomuudesta", joka on yhteinen sekä kaavioille että matriiseille. Tästä syystä monet matroiditeoriassa käytetyistä termeistä muistuttavat niiden vastaavien käsitteiden termejä lineaarisessa algebrassa tai graafiteoriassa .

Lähes heti Whitney kirjoitti ensimmäisen kerran matroideista, Saunders Mac Lane  ( 1936 ) kirjoitti tärkeän artikkelin matroidien suhteesta projektiiviseen geometriaan . Vuotta myöhemmin BL van der Waerden  ( 1937 ) huomasi samankaltaisuudet algebrallisen ja lineaarisen riippuvuuden välillä klassisessa oppikirjassaan Modern Algebra.

1940 -luvulla Richard Rado kehitti edelleen teoriaa nimellä "itsenäisyysjärjestelmät" silmällä kohti poikittaista teoriaa , jossa hänen nimeään aiheesta käytetään edelleen joskus.

1950 -luvulla WT Tutte nousi matroiditeorian johtavaksi hahmoksi, jonka hän säilytti monta vuotta. Hänen puheenvuoronsa olivat runsaat, mukaan lukien poissuljettujen alaikäisten binaaristen , säännöllisten ja graafisten matroidien karakterisointi ; säännöllisen matroidin esitettävyyslause; ketjuryhmien ja niiden matroidien teoria; ja työkalut, joita hän käytti todistamaan monet tuloksistaan, "Path theorem" ja " Tutte homotopy theorem " (ks. esim. Tutte 1965 ), jotka ovat niin monimutkaisia, että myöhemmät teoreetikot ovat joutuneet suuriin vaikeuksiin poistaakseen käytön tarpeen. ne todisteina. (Hieno esimerkki on AMH Gerardsin lyhyt todiste ( 1989 ) Tutten luonnehdinnasta tavallisille matroideille.)

Henry Crapo  ( 1969 ) ja Thomas Brylawski  ( 1972 ) yleistivät matroideiksi Tutten "dikromaatiksi", joka on graafinen polynomi, joka tunnetaan nyt nimellä Tutte -polynomi ( Crapon nimeämä). Heidän työtään on viime aikoina (erityisesti 2000 -luvulla) seurannut paperitulva - tosin ei niin paljon kuin kaavion Tutte -polynomissa.

Vuonna 1976 Dominic Welsh julkaisi ensimmäisen kattavan kirjan matroiditeoriasta.

Paul Seymourin hajoamislause säännöllisille matroideille ( 1980 ) oli 1970 -luvun lopun ja 1980 -luvun merkittävin ja vaikutusvaltaisin teos. Toinen Kahn & Kungin (1982) perustavanlaatuinen panos osoitti, miksi projektiivisilla ja Dowling -geometrioilla on niin tärkeä rooli matroiditeoriassa.

Tuolloin oli monia muita tärkeitä tekijöitä, mutta ei pidä jättää mainitsematta mainita Geoff Whittlen laajentamista kolmiosaisiin matroideihin, jotka Tutte luonnehtii binaarimatroideista, jotka edustavat rationaalisia ( Whittle 1995 ), ehkä suurin yksittäinen panos 1990 -luvulla . Nykyisellä ohjelmakaudella (vuodesta noin 2000) Matroid Alaikäiset projekti Jim Geelen , Gerards, Whittle, ja muut, jotka yrittää kopioida varten matroids jotka ovat esitettävissä äärellisessä kentässä menestys Robertson-Seymour Graph Alaikäiset Project (katso Robertson - Seymour -lause ), on tuottanut merkittävää edistystä matroidien rakenneteoriassa. Monet muut ovat myös osallistuneet siihen osaan matroiditeoriaa, joka (21. vuosisadan ensimmäisellä ja toisella vuosikymmenellä) kukoistaa.

Tutkijat

Matroidit , jotka olivat edelläkävijöitä matroidien tutkimuksessa, ovat Takeo Nakasawa , Saunders Mac Lane , Richard Rado , WT Tutte , BL van der Waerden ja Hassler Whitney . Muita merkittäviä avustajia ovat Jack Edmonds , Jim Geelen , Eugene Lawler , László Lovász , Gian-Carlo Rota , PD Seymour ja Dominic Welsh .

Katso myös

• Antimatroid
• Coxeter matroid
• Suunnattu matroidi
• Pregeometria (malliteoria)
• Polymatroidi
• Greedoidi

Huomautuksia

Viitteet

• Bruhn, Henning; Diestel, Reinhard; Kriesell, Matthias; Pendavingh, Rudi; Wollan, Paul (2013), "Axioms for infinite matroids", Advances in Mathematics , 239 : 18–46, arXiv : 1003.3919 , doi : 10.1016/j.aim.2013.01.011 , MR  3045140 , S2CID  10436077.
• Bryant, Victor; Perfect, Hazel (1980), Independence Theory in Combinatorics , Lontoo ja New York: Chapman ja Hall, ISBN 978-0-412-22430-0.
• Brylawski, Thomas H. (1972), "A decomposition for combinatorial geometries", Transactions of the American Mathematical Society , 171 : 235–282, doi : 10.2307/1996381 , JSTOR  1996381.
• Crapo, Henry H. (1969), "Tutte -polynomi ", Aequationes Mathematicae , 3 (3): 211–229, doi : 10.1007/BF01817442 , S2CID  119602825.
• Crapo, Henry H .; Rota, Gian-Carlo (1970), Yhdistelmäteorian perusteista: yhdistelmägeometriat , Cambridge, Massa: MIT Press, ISBN 978-0-262-53016-3, MR  0290980.
• Geelen, Jim; Gerards, AMH; Whittle, Geoff (2007), "Kohti matroidi-mollirakenteiden teoriaa", julkaisussa Grimmett, Geoffrey; et ai. (toim.), Combinatorics, Complexity, and Chance: A Tribute to Dominic Welsh , Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 34 , Oxford: Oxford University Press, s. 72–82.
• Gerards, AMH (1989), "Lyhyt todiste Tutten luonnehdinnasta täysin yksimodulaarisista matriiseista", Lineaarialgebra ja sen sovellukset , 114/115: 207–212, doi : 10.1016/0024-3795 (89) 90461-8.
• Kahn, Jeff; Kung, Joseph PS (1982), "Variety of combinatorial geometries", Transactions of the American Mathematical Society , 271 (2): 485–499, doi : 10.2307/1998894 , JSTOR  1998894.
• Kingan, Robert; Kingan, Sandra (2005), "A software system for matroids", Graphs and Discovery , DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, s. 287–296.
• Kung, Joseph PS, toim. (1986), A Source Book in Matroid Theory , Boston: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-1-4684-9199-9 , ISBN 978-0-8176-3173-4, MR  0890330.
• Mac Lane, Saunders (1936), "Jotkut tulkinnat abstraktista lineaarisesta riippuvuudesta projektiivisen geometrian suhteen", American Journal of Mathematics , 58 (1): 236–240, doi : 10.2307/2371070 , JSTOR  2371070.
• Minty, George J. (1966), "Suunnattujen lineaaristen kaavioiden, sähköverkkojen ja verkko-ohjelmoinnin teorioiden aksiomaattisista perusteista", Journal of Mathematics and Mechanics , 15 : 485–520, MR  0188102.
• Nishimura, Hirokazu; Kuroda, Susumu, toim. (2009), Kadonnut matemaatikko, Takeo Nakasawa. Matroiditeorian unohdettu isä , Basel: Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007/978-3-7643-8573-6 , ISBN 978-3-7643-8572-9, MR  2516551 , Zbl  1163.01001.
• Oxley, James (1992), Matroid Theory , Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853563-8, MR  1207587 , Zbl  0784.05002.
• Recski, András (1989), Matroid Theory and its Applications in Electric Network Theory and in Statics , Algorithms and Combinatorics, 6 , Berliini ja Budapest: Springer-Verlag ja Akademiai Kiado, doi : 10.1007/978-3-662-22143-3 , ISBN 978-3-540-15285-9, MR  1027839.
• Sapozhenko, AA (2001) [1994], "Matroid" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Seymour, Paul D. (1980), "Hajoaminen säännöllisen matroids", Journal of Combinatorial Theory, B , 28 (3): 305-359, doi : 10,1016 / 0095-8956 (80) 90075-1 , HDL : 10338 .dmlcz/101946 , Zbl  0443.05027.
• Truemper, Klaus (1992), Matroid Decomposition , Boston: Academic Press, ISBN 978-0-12-701225-4, MR  1170126.
• Tutte, WT (1959), "Matroids and graphs", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (3): 527–552, doi : 10.2307/1993185 , JSTOR  1993185 , MR  0101527.
• Tutte, WT (1965), "Lectures on matroids", Journal of Research of the National Bureau of Standards B , 69 : 1–47.
• Tutte, WT (1971), Johdatus matroidien teoriaan , Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics, 37 , New York: American Elsevier Publishing Company, Zbl  0231.05027.
• Vámos, Peter (1978), "Matroid-teorian puuttuva aksiooma on kadonnut ikuisesti", Journal of the London Mathematical Society , 18 (3): 403–408, doi : 10.1112/jlms/s2-18.3.403.
• van der Waerden, BL (1937), Moderne Algebra.
• Welsh, DJA (1976), Matroid Theory , LMS Monographs, 8 , Academic Press, ISBN 978-0-12-744050-7, Zbl  0343.05002.
• White, Neil, toim. (1986), Theory of Matroids , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 26 , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30937-0, Zbl  0579.00001.
• White, Neil, toim. (1987), Combinatorial geometries , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 29 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33339-9, Zbl  0626.00007
• White, Neil, toim. (1992), Matroid Applications , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 40 , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38165-9, Zbl  0742.00052.
• Whitney, Hassler (1935), "abstrakti ominaisuudet lineaarinen riippuvuus", American Journal of Mathematics , 57 (3): 509-533, doi : 10,2307 / 2371182 , HDL : 10338.dmlcz / 100694 , JSTOR  2371182 , MR  1507091. Painettu uudelleen Kung (1986) , s. 55–79.
• Whittle, Geoff (1995), "A Charakterization of the matroids representable over GF (3) and the rationals", Journal of Combinatorial Theory, Series B , 65 (2): 222–261, doi : 10.1006/jctb.1995.1052.

Ulkoiset linkit

• "Matroid" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Kingan, Sandra: Matroiditeoria . Suuri bibliografia matroid -papereista, matroid -ohjelmistoista ja linkeistä.
• Locke, SC: Ahneat algoritmit .
• Pagano, Steven R.: Matroids ja Signed Graphs .
• Mark Hubenthal: Lyhyt katsaus matroideihin ( PDF ) (sisältää todisteita tämän artikkelin lausunnoista)
• James Oxley: Mikä on matroidi? (PDF)
• Neil White: Matroid -sovellukset