Keplerin ongelma - Kepler problem

On klassinen mekaniikka , Kepler ongelma on erityinen tapauksessa kahden kappaleen ongelma , jossa kahden elimen vuorovaikutuksessa jonka keskeisvoima F , joka vaihtelee lujuus kuin neliöön käänteisesti etäisyyden r välillä. Voima voi olla joko houkutteleva tai vastenmielinen. Ongelmana on löytää kahden kappaleen sijainti tai nopeus ajan mittaan ottaen huomioon niiden massat , sijainnit ja nopeudet . Klassista mekaniikkaa käyttämällä ratkaisu voidaan ilmaista Kepler -kiertoradalla käyttämällä kuutta kiertorataelementtiä .

Kepler -ongelma on nimetty Johannes Keplerin mukaan , joka ehdotti Keplerin lakeja planeettojen liikkeistä (jotka ovat osa klassista mekaniikkaa ja ratkaisevat planeettojen kiertoradat) ja tutki voimatyyppejä, jotka johtaisivat kiertoradalle näiden lakien noudattamiseksi (ns. Keplerin käänteinen ongelma ).

Jos haluat keskustella säteittäisille kiertoradille ominaisesta Kepler -ongelmasta, katso Radiaalinen liikerata . Yleinen suhteellisuusteoria tarjoaa tarkempia ratkaisuja kaksirunkoiseen ongelmaan, erityisesti voimakkailla painovoimakentillä .

Sovellukset

Kepler -ongelma syntyy monissa yhteyksissä, joissakin Keplerin itse tutkiman fysiikan ulkopuolella. Keplerin ongelma on tärkeä taivaanmekaniikassa , koska Newtonin painovoima noudattaa käänteistä nelilakia . Esimerkkejä ovat satelliitti, joka liikkuu planeetan ympäri, planeetta auringonsa ympäri tai kaksi binääristä tähteä toistensa ympärillä. Kepler Ongelmana on myös tärkeää liikkeen kahden varautuneita hiukkasia, koska Coulombin laki on sähköstatiikka myös tottelee käänteisen neliön lakia . Esimerkkejä ovat vety , halogeeniatomi, positronium ja muonium , jotka ovat kaikki pelit tärkeä rooli mallijärjestelminä testaamiseen fyysisen teorioita ja mittaamalla vakioita luonnon.

Keplerin ongelma ja yksinkertainen harmonisen oskillaattorin ongelma ovat klassisen mekaniikan kaksi perusongelmaa . Ne ovat ainoat kaksi ongelmaa, joilla on suljettu kiertorata kaikille mahdollisille alkuehdoille, eli ne palaavat lähtöpisteeseen samalla nopeudella ( Bertrandin lause ). Keplerin ongelmaa on usein käytetty uusien menetelmien kehittämiseen klassisessa mekaniikassa, kuten Lagrangin mekaniikka , Hamiltonin mekaniikka , Hamilton-Jacobi-yhtälö ja toimintakulmakoordinaatit . Keplerin ongelma säilyttää myös Laplace – Runge – Lenz -vektorin , joka on sittemmin yleistetty sisältämään muita vuorovaikutuksia. Keplerin ongelman ratkaisu antoi tutkijoille mahdollisuuden osoittaa, että planeettojen liike voidaan selittää kokonaan klassisella mekaniikalla ja Newtonin painovoimalailla ; tieteellisellä selityksellä planeettojen liikkeestä oli tärkeä rooli valaistumisen käynnistämisessä .

Matemaattinen määritelmä

Keskeisvoima F kahden kappaleen vaihtelee lujuus kuin neliöön käänteisesti etäisyyden r niiden välillä:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {k} {r^{2}}} \ mathbf {\ hat {r}}}

jossa k on vakio ja edustaa yksikkövektoria niiden välisellä viivalla. Voima voi olla joko houkutteleva ( k <0) tai vastenmielinen ( k > 0). Vastaava skalaaripotentiaali on: ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}$

{\ displaystyle V (r) = {\ frac {k} {r}}}

Kepler -ongelman ratkaisu

Liikeyhtälö säteelle hiukkasen massa liikkuvan on keskeinen potentiaali saadaan Lagrangen yhtälöt ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle V (r)}$

{\ displaystyle m {\ frac {d^{2} r} {dt^{2}}}-mr \ omega^{2} = m {\ frac {d^{2} r} {dt^{2} }}-{\ frac {L^{2}} {mr^{3}}} =-{\ frac {dV} {dr}}}

{\ displaystyle \ omega \ equiv {\ frac {d \ theta} {dt}}}

ja kulmamomentti säilyy. Esimerkkinä ensimmäinen termi vasemmalla puolella on nolla pyöreille kiertoradille ja käytetty sisäänpäin suuntautuva voima vastaa odotetusti keskipistevoiman tarvetta .

{\ displaystyle L = herra^{2} \ omega}

{\ displaystyle {\ frac {dV} {dr}}}

{\ displaystyle mr \ omega ^{2}}

Jos L ei ole nolla määritelmän kulmaliikemäärän mahdollistaa muutoksen riippumattoman muuttujan välillä ja ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle \ theta}$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} = {\ frac {L} {mr^{2}}} {\ frac {d} {d \ theta}}}

antaa uuden ajasta riippumattoman liikeyhtälön

{\ displaystyle {\ frac {L} {r^{2}}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasen ({\ frac {L} {mr^{2}}} {\ frac { dr} {d \ theta}} \ oikea)-{\ frac {L^{2}} {mr^{3}}} =-{\ frac {dV} {dr}}}

Ensimmäisen kauden laajennus on

{\ displaystyle {\ frac {L} {r^{2}}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ vasen ({\ frac {L} {mr^{2}}} {\ frac { dr} {d \ theta}} \ oikea) =-{\ frac {2L^{2}} {mr^{5}}} \ vasen ({\ frac {dr} {d \ theta}} \ oikea)^ {2}+{\ frac {L^{2}} {mr^{4}}} {\ frac {d^{2} r} {d \ theta^{2}}}}

Tästä yhtälöstä tulee kvasilineaarinen muuttujien muuttamisen ja molempien puolien kertomisen kanssa ${\ displaystyle u \ equiv {\ frac {1} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {mr^{2}} {L^{2}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {du} {d \ theta}} = {\ frac {-1} {r^{2}}} {\ frac {dr} {d \ theta}}}

{\ displaystyle {\ frac {d^{2} u} {d \ theta^{2}}} = {\ frac {2} {r^{3}}} \ vasen ({\ frac {dr} {d \ theta}} \ oikea)^{2}-{\ frac {1} {r^{2}}} {\ frac {d^{2} r} {d \ theta^{2}}}}

Vaihdon ja uudelleenjärjestelyn jälkeen:

{\ displaystyle {\ frac {d^{2} u} {d \ theta^{2}}}+u =-{\ frac {m} {L^{2}}} {\ frac {d} {du }} V \ vasen ({\ frac {1} {u}} \ oikea)}

Käänteisneliövoimalaille, kuten painovoima- tai sähköstaattinen potentiaali , potentiaali voidaan kirjoittaa

{\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ frac {k} {r}} = ku}

Kiertoradan voi johtaa yleisestä yhtälöstä ${\ displaystyle u (\ theta)}$

{\ displaystyle {\ frac {d^{2} u} {d \ theta^{2}}}+u =-{\ frac {m} {L^{2}}} {\ frac {d} {du }} V \ vasen ({\ frac {1} {u}} \ oikea) =-{\ frac {km} {L^{2}}}}

jonka ratkaisu on vakio ja yksinkertainen sinimuoto ${\ displaystyle -{\ frac {km} {L^{2}}}}$

{\ displaystyle u \ equiv {\ frac {1} {r}} = -{\ frac {km} {L^{2}}} \ vasen [1+e \ cos (\ theta -\ theta _ {0} ) \ oikein]}

jossa ( epäkeskisyys ) ja ( vaihesiirtymä ) ovat integraation vakioita. ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$

Tämä on yleinen kaava kartiomaiselle osalle, jossa on yksi painopiste alkuperässä; vastaa ympyrää , vastaa ellipsiä, vastaa paraabelia ja vastaa hyperboolia . Epäkeskisyys on suhteessa koko energia (vertaa Laplace-Runge-Lenz vektori ) ${\ displaystyle e = 0}$ ${\ displaystyle e <1}$ ${\ displaystyle e = 1}$ ${\ displaystyle e> 1}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle E}$

{\ displaystyle e = {\ sqrt {1+{\ frac {2EL^{2}} {k^{2} m}}}}}

Näiden kaavojen vertaaminen osoittaa, että se vastaa ellipsiä (kaikki suljetun kiertoradan ratkaisut ovat ellipsejä), vastaa paraabelia ja vastaa hyperboolia . Erityisesti täydellisesti pyöreille kiertoradille ( keskivoima on täsmälleen sama kuin keskipistevoima , joka määrittää vaaditun kulmanopeuden tietylle ympyrän säteelle). ${\ displaystyle E <0}$ ${\ displaystyle E = 0}$ ${\ displaystyle E> 0}$ ${\ displaystyle E =-{\ frac {k^{2} m} {2L^{2}}}}$