Yhtenäinen tila - Uniform space

Kun matemaattinen alalla topologia , joka on yhtenäinen tila on asetettu , jolla on yhtenäinen rakenne . Yhtenäiset tilat ovat topologisia tiloja, joissa on lisärakenne, jota käytetään määrittämään yhtenäiset ominaisuudet , kuten täydellisyys , yhtenäinen jatkuvuus ja yhtenäinen lähentyminen . Yhtenäiset tilat yleistävät metrisiä tiloja ja topologisia ryhmiä , mutta konsepti on suunniteltu muotoilemaan heikoimmat aksioomat, joita tarvitaan useimpiin analyyseihin .

Topologisen rakenteen tavanomaisten ominaisuuksien lisäksi yhtenäisessä tilassa formalisoidaan käsitykset pisteiden suhteellisesta läheisyydestä ja läheisyydestä. Toisin sanoen ajatukset, kuten " x on lähempänä a: ta kuin y on b ", ovat järkeviä yhtenäisissä tiloissa. Vertailun vuoksi yleinen topologinen tilaa, koska asetetaan A, B on mielekästä sanoa, että kohta x on mielivaltaisesti lähellä on (eli sulkemiseen ), tai ehkä että on pienempi naapurustossa on x kuin B , mutta käsitteitä pisteiden läheisyydestä ja suhteellisesta läheisyydestä ei kuvata hyvin pelkästään topologisella rakenteella.

Määritelmä

Yhtenäiselle avaruudelle on kolme vastaavaa määritelmää. Ne kaikki koostuvat tilasta, joka on varustettu yhtenäisellä rakenteella.

Entourage määritelmä

Tämä määritelmä mukauttaa topologisen tilan esitystä naapuruusjärjestelmien kannalta . Tyhjä kokoelma osajoukkoja on a ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle U \ subseteq X \ kertaa X}$ yhtenäinen rakenne (taiyhdenmukaisuus ), jos se täyttää seuraavat aksioomit:

Jos , niin missä on lävistäjä . ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle \ Delta \ subseteq U}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ {(x, x): x \ X: ssä \}}$ ${\ displaystyle X \ kertaa X}$
Jos ja , niin . ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle U \ subseteq V \ subseteq X \ kertaa X}$ ${\ displaystyle V \ in \ Phi}$
Jos ja , niin . ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle V \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle U \ cap V \ in \ Phi}$
Jos , niin on olemassa sellainen, että missä missä on yhdistelmä itsensä kanssa. (Sen komposiitti kaksi osajoukkoja ja on on määritelty .) ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle V \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle V \ circ V \ subseteq U}$ ${\ displaystyle V \ circ V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X \ kertaa X}$ ${\ displaystyle V \ circ U = \ {(x, z): \ on y \ X: ssä: (x, y) \ U \ kiilassa (y, z) \ in V \}}$
Jos , niin , jossa on käänteinen ja U . ${\ displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle U^{-1} \ in \ Phi}$ ${\ displaystyle U^{-1} = \ {(y, x) :( x, y) \ in U \}}$

Ei-tyhjyyttä $Φ$ yhdessä (2) ja (3) todetaan, että $Φ$ on suodatin on $X x X$ . Jos viimeinen ominaisuus jätetään pois, kutsumme tilaa kvaasiyhtenäiseksi . Elementtejä $U$ of $Φ$ kutsutaan lähialueiksi tai seurueiksi ranskalaisesta ympäristön sanasta .

Yleensä kirjoitetaan $U [x] = {y : (x, y) \in U} = pr 2 (U \cap ({x} \times X))$ , missä $U \cap ({x} \times X)$ on $U$ ja $pr 2$ ovat projektio toiseen koordinaattiin. Kaaviossa tyypillinen seurue on piirretty läiskäksi, joka ympäröi " $y = x$ " lävistäjää; kaikki $U [x]$ : t muodostavat pystysuuntaiset poikkileikkaukset. Jos $(x, y) \in U$ , voidaan sanoa, että x ja y ovat $U$ -lähellä . Samoin, jos kaikki paria pistettä osajoukko on $X$ ovat $U$ -close (eli jos $x;$ sisältyy $U$ ), kutsutaan $U$ -pieni . Seurue $U$ on symmetrinen , jos $($ $x$ $,$ $y$ $) \in$ $U$ juuri silloin, kun $($ $y$ $,$ $x$ $) \in$ $U$ . Ensimmäinen selviö todetaan, että jokainen piste on $U$ -close itselleen jokaisen lähipiirissä $U$ . Kolmas aksiooma takaa sen, että "sekä $U-$ että $V$ -sulkeminen" on myös läheisyyssuhde yhdenmukaisuudessa. Neljäs aksiooma toteaa, että jokaista seurue $U$ on seurue $V$ , joka on "enintään puolet tästä". Lopuksi viimeinen aksiooma toteaa, että ominaisuuden "läheisyys" suhteessa yhtenäiseen rakenteeseen on symmetrinen x: ssä ja y: ssä .

Emäs tai perustavaa laatua järjestelmä entourages (tai lähialueilla ) tasalaatuisuuskoneen $Φ$ on mikä tahansa joukko B on entourages on $Φ$ siten, että jokainen seurue $Ф$ sisältää joukon kuuluvan B . Täten yllä olevalla ominaisuudella 2 peruskytkentäjärjestelmät B riittävät määrittämään yhdenmukaisuuden $Φ$ yksiselitteisesti: $Φ$ on joukko $X \times X: n$ osajoukkoja, jotka sisältävät joukon B: tä . Jokaisessa yhtenäisessä tilassa on perushyökkäysjärjestelmä, joka koostuu symmetrisistä seuroista.

Intuitio yhdenmukaisuuksista saadaan esimerkistä metrisistä tiloista : jos $(X, d)$ on metrinen tila, joukot

{\ displaystyle U_ {a} = \ {(x, y) \ X x kertaa X: d (x, y) \ leq a \} \ quad {\ text {where}} \ quad a> 0}

muodostavat perustavanlaatuisen seurantajärjestelmän X : n vakiomuotoiselle yhtenäiselle rakenteelle . Sitten x ja y ovat $U a$ -sulkeutuvat juuri silloin, kun x: n ja y: n etäisyys on enintään a .

Tasaisuusprosentti $Φ$ on hienompi kuin toinen yhtenäisyys $Ψ$ on samat jos $Φ \supseteq Ψ$ ; siinä tapauksessa $Ψ: n$ sanotaan olevan karkeampi kuin $Φ$ .

Pseudometrian määritelmä

Yhtenäiset tilat voidaan määritellä vaihtoehtoisesti ja vastaavasti käyttämällä pseudometrisia järjestelmiä , mikä on erityisen hyödyllistä toiminnallisessa analyysissä (pseudometriikka tarjoaa semormormit ). Tarkemmin sanottuna anna f : X × X → R on pseudometric joukkoon X . Käänteisten kuvien U _a = f ⁻¹ ([0, a ]), kun a > 0, voidaan osoittaa muodostavan perustavanlaatuinen järjestelmä yhdenmukaisuudesta. Tasaisuuteen tuottama U on yhdenmukaisuus määritelty yhden pseudometric f . Jotkut kirjoittajat kutsuvat avaruuksia, joiden topologia määritellään pseudometristen mittareiden avulla .

Jotta perhe ( f _i ) on pseudometrics on X , yhtenäisen rakenteen määritelty perhe on vähintään ylemmän sitoutuneen yhtenäisen määriteltyjen rakenteiden yksittäisten pseudometrics f _i . Tämän yhdenmukaisuuden perusjärjestelmään kuuluu yksittäisten pseudometristen f _i määrittämien yhdenmukaisuuksien rajallisten rajapisteiden joukko . Jos perheen pseudometrics on rajallinen , se voidaan nähdä, että samaa yhtenäistä rakennetta on määritetty yhden pseudometric, nimittäin ylempi kuoren sup f _i perheen.

Vähemmän vähäpätöisesti voidaan osoittaa, että yhtenäinen rakenne, joka sallii laskettavan perustavanlaatuisen seuruejärjestelmän (tästä johtuen erityisesti laskennallisen pseudometriaperheen määrittämä yhdenmukaisuus), voidaan määritellä yhdellä pseudometrialla. Seurauksena on, että mikä tahansa yhtenäinen rakenne voidaan määritellä edellä (mahdollisesti lukemattomalla) pseudometriikkaperheellä (katso Bourbaki: Yleinen topologia, luku IX, kohta 1, nro 4).

Yhtenäinen kannen määritelmä

Yhtenäinen tila ( X , Θ ) on joukko X on varustettu erottaa perheen päällysteet Θ , nimeltään "yhtenäinen kattaa", peräisin joukko päällysteet ja X , jotka muodostavat suodattimen , kun tilata tähden tarkentaminen. Yksi sanoo, että kansi P on tähti tarkentaminen kannen Q , kirjallinen P <* Q , jos kaikilla ∈ P on olemassa U ∈ Q siten, että jos ∩ B ≠ Ø, B ∈ P , niin B ⊆ U . Aksomaattisesti suodattimen kunto vähenee:

{X} on yhtenäinen kansi (eli {X} ∈ Θ ).
Jos P <* Q ja P on yhtenäinen kansi, niin Q on myös yhtenäinen kansi.
Jos P ja Q ovat yhtenäiset kannet, niin on yhtenäinen kansi R että tähti-jalostaa molemmat P ja Q .

Annetaan piste x ja yhtenäinen kansi P , voidaan harkita liiton jäsenten P , jotka sisältävät x tyypillisenä naapurustossa x on "koko" P , ja tämä intuitiivinen toimenpidettä sovelletaan tasaisesti tilaan.

Annetaan yhtenäinen tila seurue mielessä määritellä kansi P on tasainen, jos on olemassa seurue U siten, että kutakin x ∈ X , on olemassa ∈ P siten, että U [ x ] ⊆ . Nämä yhtenäiset kannet muodostavat yhtenäisen tilan, kuten toisessa määritelmässä. Päinvastoin, kun otetaan huomioon yhtenäinen tila yhtenäisessä kansikuvassa, ⋃ { A × A : A ∈ P } : n supersetit , kun P vaihtelee yhtenäisten kansien yli, ovat yhdenmukaisen tilan seurueita, kuten ensimmäisessä määritelmässä. Lisäksi nämä kaksi muutosta ovat toistensa käänteisiä.

Yhtenäisten tilojen topologia

Joka yhtenäinen tila X tulee topologinen avaruus määrittämällä osajoukko O ja X on auki, jos ja vain jos kaikilla x on O on olemassa seurue V siten, että V [ x ] on osajoukko O . Tässä topologiassa pisteen x naapurisuodatin on { V [ x ]: V ∈ Φ}. Tämä voidaan todistaa käyttämällä rekursiivisesti "puolikokoisen" seurueen olemassaoloa. Verrattuna yleiseen topologiseen tilaan, yhtenäisen rakenteen olemassaolo mahdollistaa lähiöiden kokojen vertailun: V [ x ] ja V [ y ] katsotaan "samankokoisiksi".

Tasaisen rakenteen määrittämän topologian sanotaan johtuvan yhtenäisyydestä . Yhtenäinen rakenne topologisessa tilassa on yhteensopiva topologian kanssa, jos yhtenäisen rakenteen määrittämä topologia on sama kuin alkuperäinen topologia. Yleensä useat erilaiset yhtenäiset rakenteet voivat olla yhteensopivia tietyn X: n topologian kanssa .

Tasapainotettavat tilat

Topologista tilaa kutsutaan yhtenäistettäväksi, jos on olemassa yhtenäinen rakenne, joka on yhteensopiva topologian kanssa.

Jokainen yhtenäistettävä tila on täysin säännöllinen topologinen tila. Lisäksi yhdenmukaistettavan tilan X osalta seuraavat vastaavat:

X on Kolmogorov -avaruus
X on Hausdorff -avaruus
X on Tychonoff -avaruus
minkä tahansa yhteensopivan yhtenäisen rakenteen osalta kaikkien seurojen leikkauspiste on lävistäjä {( x , x ): x in X }.

Jotkut kirjoittajat (esim. Engelking) lisäävät tämän viimeisen ehdon suoraan yhdenmukaistettavan tilan määritelmään.

Tasapainottavan tilan topologia on aina symmetrinen topologia ; eli avaruus on R ₀ -tila .

Päinvastoin, jokainen täysin säännöllinen tila on yhdenmukaistettavissa. Täysin säännöllisen tilan X topologian kanssa yhteensopiva yhtenäisyys voidaan määritellä karkeimmaksi yhtenäisyydeksi, joka tekee X: n kaikista jatkuvista reaaliarvoisista funktioista tasaisesti jatkuvia. Tämän yhtenäisyyden perustavanlaatuinen seurustusjärjestelmä saadaan aikaan kaikkien joukkojen ( f × f ) ⁻¹ ( V ) rajallisten leikkauspisteiden kanssa , joissa f on jatkuva reaaliarvoinen funktio X: ssä ja V on yhtenäisen tilan R seuraaja . Tämä yhdenmukaisuus määrittelee topologian, joka on selvästi karkeampi kuin X: n alkuperäinen topologia ; että se on myös hienompaa kuin alkuperäinen topologia (siis osuu se) on yksinkertainen seurausta täydellisen säännöllisyyden: minkä tahansa x ∈ X ja naapuruston V on x , on jatkuva reaaliarvoinen funktio f kanssa f ( x ) = 0 ja yhtä suuri kuin V : n komplementti .

Erityisesti kompakti Hausdorff -tila on yhtenäistettävä. Itse asiassa kompaktissa Hausdorff -tilassa X kaikkien X × X -lävistäjien alueiden joukko muodostaa ainutlaatuisen yhtenäisyyden, joka on yhteensopiva topologian kanssa.

Hausdorffin yhtenäinen tila on metrizoitavissa, jos sen yhtenäisyys voidaan määritellä laskettavalla pseudometriikkaperheellä. Itse asiassa, kuten edellä keskusteltiin , tällainen yhdenmukaisuus voidaan määritellä yhdellä pseudometrialla, joka on välttämättä metriikka, jos tila on Hausdorff. Erityisesti jos vektoriavaruuden topologia on Hausdorff ja määritettävissä laskettavalla seminormiperheellä , se on metrizoitavissa.

Yhtenäinen jatkuvuus

Samanlaisia topologisten tilojen välisiä jatkuvia toimintoja , jotka säilyttävät topologiset ominaisuudet , ovat yhtenäisten tilojen väliset tasaisesti jatkuvat toiminnot , jotka säilyttävät yhtenäiset ominaisuudet. Yhtenäiset tilat, joissa on yhtenäiset kartat, muodostavat luokan . Isomorphism välillä yhtenäinen tilojen kutsutaan yhtenäinen isomorfismi .

Tasaisesti jatkuva funktio määritellään sellaiseksi, jossa käänteiset kuvat seurueista ovat jälleen seurusteluja, tai vastaava, jossa yhtenäisten kansien käänteiset kuvat ovat jälleen yhtenäisiä kansia.

Kaikki tasaisesti jatkuvat toiminnot ovat jatkuvia indusoitujen topologioiden suhteen.

Täydellisyys

Yleistämällä täydellisen metrisen avaruuden käsitettä voidaan myös määritellä täydellisyys yhtenäisille tiloille. Cauchy -sekvenssien kanssa työskentelemisen sijasta käytetään Cauchy -suodattimia (tai Cauchy -verkkoja ).

A Cauchy -suodatin (esimCauchyn esisuodatin )Fon yhtenäinen tilaXonsuodatin(vast.Esisuodattimen)Fsiten, että jokainen seurueU, on olemassa∈Fkanssax⊆U. Toisin sanoen suodatin on Cauchy, jos se sisältää "mielivaltaisen pieniä" joukkoja. Määritelmistä seuraa, että jokainen suodatin, joka lähenee (suhteessa yhtenäisen rakenteen määrittämään topologiaan) on Cauchy -suodatin. Cauchy -suodatinta kutsutaanminimaaliseksi,jos se ei sisällä pienempää (eli karkeampaa) Cauchy -suodatinta (muuta kuin itseään). Voidaan osoittaa, että jokainen Cauchy -suodatin sisältää ainutlaatuisenminimaalisen Cauchy -suodattimen. Kunkin pisteen naapurisuodatin (suodatin, joka koostuu pisteen kaikista alueista) on minimaalinen Cauchy -suodatin.

Päinvastoin, yhtenäistä tilaa kutsutaan täydellinen, jos jokainen Cauchy -suodatin lähenee toisiaan. Mikä tahansa kompakti Hausdorff -tila on täydellinen yhtenäinen tila suhteessa topologian kanssa yhteensopivaan ainutlaatuiseen yhtenäisyyteen.

Täydellinen yhtenäinen tilat on seuraavat tärkeä ominaisuus: jos f : → Y on tasaisesti jatkuva funktio päässä tiheä osajoukko yhtenäisen tilan X osaksi täydellinen yhtenäinen tila Y , niin f voidaan laajentaa (yksilöllisesti) tulee tasaisesti jatkuva funktio kaikissa X: ssä .

Topologista tilaa, josta voidaan tehdä täydellinen yhtenäinen tila, jonka yhtenäisyys saa aikaan alkuperäisen topologian, kutsutaan täysin yhtenäistettäväksi tilaksi .

Hausdorffin yhtenäisen tilan valmistuminen

Kuten metrisissä tiloissa, jokaisessa yhtenäisessä tilassa X on aHausdorffin täydennys : eli on olemassa täydellinen Hausdorffin yhtenäinen tilaYja tasaisesti jatkuva karttai:X→Y,jolla on seuraava ominaisuus:

tahansa tasaisesti jatkuva kartoitus f on X täydelliseksi Hausdorff yhtenäinen tila Z , on ainutlaatuinen tasaisesti jatkuva kartta g : Y → Z siten, että f = gi .

Hausdorffin valmistus Y on ainutlaatuinen isomorfismiin asti. Joukko Y voidaan katsoa koostuvan X: n minimaalisista Cauchy -suodattimista . Kuten naapuruston suodatin B ( x ) jokaisen pisteen x on X on minimaalinen Cauchyn suodatin, kartta i voidaan määritellä kartoitus x ja B ( x ). Näin määritelty kartta i ei yleensä ole injektiivinen; itse asiassa ekvivalenssisuhteen kaavio i ( x ) = i ( x ') on X: n kaikkien seurojen leikkauspiste , ja siten i on injektiivinen juuri silloin, kun X on Hausdorff.

Y: n yhtenäinen rakenne määritellään seuraavasti: kullekin symmetriselle seuralle V (eli siten, että ( x , y ) on V: ssä juuri silloin, kun ( y , x ) on V ), olkoon C ( V ) kaikkien joukko paria ( F , G ) minimaalisia Cauchy-suodattimia, joilla on yhteinen vähintään yksi V-pieni sarja . Joukot C ( V ) voidaan osoittaa muodostavan peruskytkentäjärjestelmän; Y on varustettu näin määritellyllä yhtenäisellä rakenteella.

Joukko i ( X ) on tällöin Y: n tiheä osajoukko . Jos X on Hausdorff, niin i on isomorfismi i: lle ( X ), ja siten X voidaan tunnistaa tiheällä osajoukolla sen valmistumisesta. Lisäksi i ( X ) on aina Hausdorff; sitä kutsutaan Hausdorffin yhtenäiseksi tilaksi, joka liittyy X: ään . Jos R merkitsee ekvivalenssisuhdetta i ( x ) = i ( x '), niin osamäärätila X / R on homeomorfinen i: lle ( X ).

Esimerkkejä

Jokainen metrinen tila ( M , d ) voidaan katsoa yhtenäiseksi tilaksi. Itse asiassa, koska metriikka on a fortiori pseudometrinen, pseudometrinen määritelmä antaa M : lle yhtenäisen rakenteen. Joukot tarjoavat perustavanlaatuisen järjestelmän yhdenmukaisuudesta
${\ displaystyle \ qquad U_ {a} \ kolmioq d^{-1} ([0, a]) = \ {(m, n) \ M \ kertaa M: d (m, n) \ leq a \} .}$
Tämä M: n yhtenäinen rakenne luo tavanomaisen metrisen tilan topologian M: ssä . Eri metrisilla tiloilla voi kuitenkin olla sama yhtenäinen rakenne (triviaalin esimerkin tarjoaa metriikan vakio monikerta). Tämä yhtenäinen rakenne tuottaa myös vastaavat määritelmät yhtenäisestä jatkuvuudesta ja täydellisyydestä metrisille tiloille .
Metrikoiden avulla voidaan rakentaa yksinkertainen esimerkki erillisistä yhtenäisistä rakenteista, joilla on sama topologia. Olkoon esimerkiksi d ₁ ( x , y ) = | x - y | on tavallinen metriikka R: llä ja anna d ₂ ( x , y ) = | e ^x - e ^y |. Sitten molemmat mittarit indusoivat tavanomaisen topologian R: llä , mutta yhtenäiset rakenteet ovat erilaisia, koska {(x, y): | x - y | <1} on seurue yhtenäisessä rakenteessa d _{1: lle,} mutta ei d _{2: lle} . Epämuodollisesti tämän esimerkin voidaan katsoa ottavan tavanomaisen yhtenäisyyden ja vääristävän sitä jatkuvan mutta epätasaisesti jatkuvan toiminnon vaikutuksesta.
Joka topologinen ryhmä G (erityisesti, joka topologinen vektori tila ) tulee yhtenäinen tila, jos määritellään osajoukko V on G x G olevan seurue jos ja vain jos se sisältää joukon {( x , y ): x ⋅ y ^{- 1} on U } joidenkin -osassa U on neutraalialkio ja G . Tämä yhtenäinen rakenne G kutsutaan oikea yhdenmukaisuus on G , koska jokainen on G , oikealla kertominen x → x ⋅ on tasaisesti jatkuva suhteen tämä yhtenäinen rakenne. Voidaan myös määrittää vasemmanpuoleinen yhtenäisyys G: lle ; näiden kahden ei tarvitse osua samaan, mutta ne molemmat luovat tietyn topologian G: lle .
Jokaiselle topologiselle ryhmälle G ja sen alaryhmälle H vasemmanpuoleisten kosettien joukko G / H on yhtenäinen tila suhteessa yhtenäisyyteen Φ, joka määritellään seuraavasti. Joukot , joissa U kulkee identiteetin naapurustojen yli G: ssä , muodostavat yhdenmukaisuuden perusperiaatteen. Vastaava indusoi topologia on G / H on yhtä suuri kuin osamäärä topologian määritelty luonnollinen kartta G → G / H . ${\ displaystyle {\ tilde {U}} = \ {(s, t) \ G/H \ kertaa G/H: \ \ t \ U \ cdot s \}}$
Triviaalinen topologia kuuluu yhtenäiseen tilaan, jossa koko karteesinen tuote X × X on ainoa seurue .

Historia

Ennen kuin André Weil antoi ensimmäisen nimenomaisen määritelmän yhtenäiselle rakenteelle vuonna 1937, yhtenäisistä käsitteistä, kuten täydellisyydestä, keskusteltiin metristen tilojen avulla . Nicolas Bourbaki esitti yhdenmukaisen rakenteen määritelmän seurojen suhteen kirjassa Topologie Générale ja John Tukey antoi yhtenäisen kannen määritelmän. Weil luonnehti myös yhtenäisiä tiloja pseudometristen perheiden suhteen.

Katso myös

Karkea rakenne
Täydellinen metrinen tila - Metrinen geometria
Täydellinen topologinen vektoriavaruus - TVS, jossa pisteet, jotka lähestyvät asteittain toisiaan, lähentyvät aina pisteeseen
Täysin yhtenäistettävä tila
Suodattimet topologiassa - Suodattimien avulla kuvataan ja luonnehditaan kaikkia topologisia peruskäsityksiä ja tuloksia.
Läheisyystila - Rakenne, joka kuvaa käsitettä "läheisyys" osajoukkojen välillä
Tila (matematiikka) - Matemaattinen joukko, johon on lisätty rakennetta
Yhtenäisen lähentymisen topologia
Yhtenäinen jatkuvuus - Toimintojen muutoksen yhtenäinen rajoittaminen
Yhtenäinen isomorfismi - Tasaisesti jatkuva homeomorfismi
Yhtenäinen ominaisuus - Tutkimuskohde yhtenäisten topologisten tilojen luokassa
Tasaisesti yhdistetty tila - Yhtenäisen tilan tyyppi

Viitteet

Nicolas Bourbaki , yleinen topologia ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X ( luvut 1–4), ISBN 0-387-19372-3 ( luvut 5–10): Luku II on kattava viittaus univormuun rakenteet, IX luvun 1 § kattaa pseudometrian ja III luvun 3 § yhdenmukaiset rakenteet topologisilla ryhmillä
Ryszard Engelking , yleinen topologia. Tarkistettu ja valmis painos , Berliini 1989.
John R. Isbell , Uniform Spaces ISBN 0-8218-1512-1
IM James, Johdatus yhtenäisiin tiloihin ISBN 0-521-38620-9
IM James, Topologiset ja yhtenäiset tilat ISBN 0-387-96466-5
John Tukey , Convergence and Uniformity in Topology ; ISBN 0-691-09568-X
André Weil , Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale , Act. Sei. Ind. 551 , Pariisi, 1937

Languages

In other projects