Kompaktiuden lause - Compactness theorem

Vuonna matemaattinen logiikka , The tiiviyttä teoreema toteaa, että joukko on ensimmäisen kertaluvun lauseet on malli jos ja vain jos jokainen äärellinen osajoukko se on mallia. Tämä lause on tärkeä työkalu malliteoriassa , koska se tarjoaa hyödyllisen (mutta yleensä ei tehokkaan) menetelmän minkä tahansa lausejoukon mallien rakentamiseksi, joka on äärimmäisen johdonmukainen .

Tiiviys lause varten propositiologiikka on seurausta Tihonovin lause (joka kertoo, että tuote on ahtaissa tiloissa on kompakti) levitetään kompakti Stone tilat , joten lause nimi. Samoin se on analoginen topologisten tilojen tiiviyden rajallisen leikkausominaisuuksien kuvauksen kanssa: kompaktissa tilassa olevien suljettujen joukkojen kokoelmalla on ei-tyhjä leikkauspiste, jos jokaisella rajallisella alikokoelmalla on ei-tyhjä leikkauspiste.

Tiivistyslauseke on yksi kahdesta avainominaisuudesta yhdessä laskevan Löwenheim – Skolem-lauseen kanssa , jota Lindströmin lauseessa käytetään ensimmäisen asteen logiikan kuvaamiseen. Vaikka tiivistyslausekkeessa on joitain yleistyksiä ei-ensiluokkaisille logiikoille, kompaktiteoreema itsessään ei pidä niitä lukuun ottamatta hyvin rajoitettua määrää esimerkkejä.

Historia

Kurt Gödel osoitti laskettavan pienikokoisuuden lause vuonna 1930. Anatoly Maltsev osoitti lukemattoman tapauksen vuonna 1936.

Sovellukset

Kompaktiuden teoreemalla on monia sovelluksia malliteoriassa; tässä on piirretty muutama tyypillinen tulos.

Tiiviyden lause merkitsee Robinson periaate : Jos ensimmäisen kertaluvun virke pitää joka alalla on ominaisuus nolla, niin on olemassa jatkuva p siten, että lause pätee kaikilla aloilla tunnusomaisia suurempi kuin s . Tämä voidaan nähdä seuraavasti: Oletetaan, että φ on lause, joka pätee jokaiselle ominaisnollan kentälle. Tällöin sen negaatio ¬φ yhdessä kenttäaksioomien ja lauseiden 1 + 1 ≠ 0, 1 + 1 + 1 ≠ 0,… loputtoman sekvenssin kanssa ei ole tyydyttävä (koska ei ole ominaisuuskenttää 0, jossa ¬φ olisi , ja loputon lausejärjestys varmistaa, että mikä tahansa malli olisi ominaisuuskenttä 0). Siksi näistä lauseista on äärellinen osajoukko A , joka ei ole tyydyttävä. Voidaan olettaa, että A sisältää ¬φ, kenttäaksioomat ja joillekin k , muodon 1 + 1 + ... + 1 ≠ 0 ensimmäiset k lauseet (koska uusien lauseiden lisääminen ei muuta tyytymättömyyttä). Olkoon B kaikki A: n lauseet paitsi ¬φ. Tällöin mikä tahansa kenttä, jonka ominaiskäyrä on suurempi kuin k, on B: n malli , ja ¬φ yhdessä B: n kanssa ei ole tyydyttävä. Tämä tarkoittaa, että φ: n on pysyttävä kaikissa B- malleissa , mikä tarkoittaa tarkalleen sitä, että φ pitää paikkansa kaikilla ominaisuuskentillä, jotka ovat suurempia kuin k .

Tiivistyslauseen toinen sovellus osoittaa, että kaikilla teoreilla, joilla on mielivaltaisesti suuria äärellisiä malleja tai yksi ääretön malli, on mielivaltaisen suuren kardinaalin malleja (tämä on Upward Löwenheim – Skolem -lause ). Joten esimerkiksi Peano-aritmeettisissa malleissa on epätyypillisiä malleja, joissa on lukemattomasti monia 'luonnollisia lukuja'. Tämän saavuttamiseksi olkoon T alkuteoria ja olkoon κ mikä tahansa kardinaalinumero . Lisää T: n kieleen yksi vakiosymboli jokaiselle κ: n elementille. Lisää sitten T: hen joukko lauseita, joiden mukaan objektit, jotka on merkitty kahdella uudella kokoelmalla olevalla erillisellä vakiosymbolilla, ovat erillisiä (tämä on kokoelma κ ² lauseita). Koska tämän uuden teorian jokainen äärellinen osajoukko on tyydyttävä riittävän suurella T: n äärellisellä mallilla tai millä tahansa äärettömällä mallilla, koko laajennettu teoria on tyydyttävä. Mutta missä tahansa laajennetun teorian mallissa on vähintään κ kardinaali

Kolmas kompaktiteoreeman soveltaminen on reaalilukujen epätyypillisten mallien rakentaminen , toisin sanoen "äärettömän pieniä" lukuja sisältävien reaalilukujen teorian johdonmukaiset jatkeet. Nähdäksesi tämän, olkoon Σ reaalilukujen teorian ensiluokkainen aksiomatisointi. Tarkastellaan teorian saatu lisäämällä uusi vakiosymbolista ε kielen ja vieressä on Σ aksioomasta ε> 0 ja aksioomia ε <1 / n kaikki positiiviset kokonaisluvut n . On selvää, että vakioluvut R ovat malli näiden aksiomien jokaiselle äärelliselle osajoukolle, koska reaaliluvut tyydyttävät kaiken in: ssä ja sopivalla ε-valinnalla ne voidaan saada tyydyttämään kaikki aksiomien äärelliset osajoukot ε: n suhteen. Tiivistyslauseella on malli * R, joka tyydyttää Σ ja sisältää myös äärettömän pienen elementin ε. Vastaava argumentti, vierekkäiset aksioomat ω> 0, ω> 1 jne., Osoittavat, että äärettömän suurten kokonaislukujen olemassaoloa ei voida sulkea pois reaalien millään aksiomatisaatiolla Σ.

Todisteet

Tiivistyslause voidaan todistaa käyttämällä Gödelin täydellisyyslausetta , joka toteaa, että lausejoukko on tyydyttävä vain ja vain, jos siitä ei voida osoittaa ristiriitaa. Koska todisteet ovat aina äärellisiä ja sisältävät siten vain äärimmäisen monta annetusta lauseesta, seuraa kompaktiteoreema. Itse asiassa tiivistyslauseke vastaa Gödelin täydellisyyslausetta, ja molemmat vastaavat Boolen pääideaaliteemaa, valinnan aksioman heikkoa muotoa .

Gödel osoitti alun perin tiivistyslauseen juuri tällä tavalla, mutta myöhemmin löydettiin joitain "puhtaasti semanttisia" todisteita kompaktiuden teoreemista eli todisteita, jotka viittaavat totuuteen, mutta eivät todistettavuuteen . Yksi näistä todisteista perustuu ultratuotteisiin , jotka ovat riippuvaisia valitusta aksiomasta seuraavasti:

Todiste: Korjaa ensimmäisen kertaluvun kieli L ja olkoon Σ kokoelma L-lauseita siten, että kaikilla L-lauseiden äärellisillä alikokoelmilla, i  ⊆ Σ, on malli . Olkoon myös rakenteiden suora tulo ja minä olen Σ: n äärellisten osajoukkojen kokoelma. Kullekin i in I olkoon A _i  : = { j ∈ I  : j ⊇ i }. Perheen kaikki nämä sarjat AL _i synnyttää asianmukainen suodatin , joten on olemassa ultrasuodattimen U sisältää kaikki sarjat A-muodon _i . ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {i}}$${\ displaystyle \ prod _ {i \ subseteq \ Sigma} {\ mathcal {M}} _ {i}}$

Nyt mitä tahansa kaavaa φ in Σ meillä on:

• joukko A _{φ} on U: ssa
• aina kun j  ∈ A _{φ} , sitten φ ∈  j , siten φ pysyy paikallaan ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {j}}$
• Kaikkien j: n joukko ominaisuudella, jota φ pitää sisällään, on A: n _supersarja , joten myös U: ssa${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {j}}$

Käyttämällä Łoś lause näemme, että φ pätee että ultratulo . Joten tämä ultratuote täyttää kaikki Σ: n kaavat. ${\ displaystyle \ prod _ {i \ subseteq \ Sigma} {\ mathcal {M}} _ {i} / U}$

Katso myös

• Palkkiona kompakti lause
• Herbrandin lause
• Luettelo Boolen algebran aiheista  - Wikimedia-luettelo-artikkeli
• Löwenheim – Skolem-lause  - matemaattinen lause

Huomautuksia

Viitteet

• Boolos, George; Jeffrey, Richard; Burgess, John (2004). Laskettavuus ja logiikka (neljäs painos). Cambridge University Press.
• Chang, CC; Keisler, H.Jerome (1989). Malliteoria (kolmas painos). Elsevier. ISBN   0-7204-0692-7 .
• Dawson, John W. junior (1993). "Ensiluokkaisen logiikan kompaktuus: Gödelistä Lindströmiin". Historia ja logiikan filosofia . 14 : 15–37. doi : 10.1080 / 01445349308837208 .
• Hodges, Wilfrid (1993). Malliteoria . Cambridge University Press. ISBN   0-521-30442-3 .
• Marker, David (2002). Malliteoria: Johdanto . Matematiikan valmistuneet tekstit 217. Springer. ISBN   0-387-98760-6 .
• Truss, John K. (1997). Matemaattisen analyysin perusteet . Oxford University Press. ISBN   0-19-853375-6 .