Luokat - Characteristic class

On matematiikka , joka on ominainen luokka on tapa assosioida kunkin pääasiallisen nippu ja X Kohomologia luokan X . Kohomologialuokka mittaa, kuinka paljon nippu on "kiertynyt" ja onko sillä osia . Ominaisluokat ovat globaaleja invarianteja, jotka mittaavat paikallisen tuoterakenteen poikkeamaa globaalista tuoterakenteesta. Ne ovat yksi algebrallisen topologian , differentiaaligeometrian ja algebrallisen geometrian yhdistävistä geometrisista käsitteistä .

Luonteenomaisen luokan käsite syntyi vuonna 1935 Eduard Stiefelin ja Hassler Whitneyn teoksessa jakokanavien vektorikentistä.

Määritelmä

Olkoon G on topologinen ryhmä , ja topologinen avaruus , kirjoittaa joukkoa varten isomorphism luokkia on pääasiallinen G -bundles yli . Tämä on contravariant functor päässä Top (jäljempänä luokka topologinen tiloja ja jatkuvia toimintoja ) ja Set (luokka sarjaa ja toiminnot ), lähettää kartan sen vetäytyminen toimintaan . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle b_ {G} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle b_ {G}}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste X \ - Y}$${\ displaystyle f ^ {*} \ kaksoispiste b_ {G} (Y) \ - b_ {G} (X)}$

Ominaisuus luokan c pääasiallisen G -bundles on tällöin luonnollinen muutos välillä on Kohomologia functor , pitää myös niin functor että Set . ${\ displaystyle b_ {G}}$${\ displaystyle H ^ {*}}$

Toisin sanoen, joka on ominainen luokka Associates kunkin pääasiallisen G -bundle sisään elementin c ( P ) on H * ( X ) niin, että, jos f  : Y → X on jatkuva kartta, niin c ( f * P ) = f * c ( P ). Vasemmalla on luokan pullback on P ja Y ; oikealla on P- luokan kuva indusoidun kartan alla kohomologiassa. ${\ displaystyle P \ X}$${\ displaystyle b_ {G} (X)}$

Luonteenomaiset numerot

Luoneluokat ovat kohomologisten ryhmien elementtejä; voidaan saada kokonaislukuja ominaisuusluokista, joita kutsutaan ominaisuusluvuiksi . Joitakin tärkeitä esimerkkejä tunnusnumeroista ovat Stiefel – Whitney-numerot , Chern-numerot , Pontryagin-numerot ja Euler-ominaisuus .

Kun otetaan huomioon suuntautunut jakoputki M , jonka ulottuvuus on n ja perusluokka , ja G- nippu, jolla on ominaisuusluokkia , voidaan yhdistää n- asteen ominaisluokkien tulo perusluokkaan. Monissa tapauksissa erillisten ominaisuuden numeroita on useita monomials aste n on ominaisuus luokkiin, tai vastaavasti väliseinät n osaksi . ${\ displaystyle [M] \ muodossa H_ {n} (M)}$${\ displaystyle c_ {1}, \ pisteet, c_ {k}}$${\ displaystyle {\ mbox {deg}} \, c_ {i}}$

Muodollisesti, kun otetaan huomioon , että vastaava ominaisluku on: ${\ displaystyle i_ {1}, \ pisteet, i_ {l}}$${\ displaystyle \ summa {\ mbox {deg}} \, c_ {i_ {j}} = n}$

${\ displaystyle c_ {i_ {1}} \ smile c_ {i_ {2}} \ smile \ dots \ smile c_ {i_ {l}} ([M])}$

jossa tarkoittaa kuppi tuote on Kohomologia luokkiin. Nämä ovat notated eri joko tuotteen ominaisuuden luokkiin, kuten tai joitakin vaihtoehtoisia notaatio, kuten että Pontryagin numero , joka vastaa , tai että Euler ominaisuus. ${\ displaystyle \ hymy}$${\ displaystyle c_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle P_ {1,1}}$${\ displaystyle p_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle \ chi}$

De Rham -kohomologian näkökulmasta voidaan ottaa differentiaalimuodot, jotka edustavat tunnusomaisia ​​luokkia, ottaa kiilatuote siten, että saadaan huippuluokan muoto ja integroituu sitten jakotukin yli; tämä on analogista tuotteen ottamisen kanssa kohomologiaan ja pariksi muodostamisen perustason kanssa.

Tämä toimii myös ei-suunnattavissa olevissa jakotukissa, joissa on -suunta, jolloin saadaan arvoarvoiset tunnusnumerot, kuten Stiefel-Whitney-numerot. ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

Luonteenomaiset numerot ratkaisevat suunnatut ja suuntaamattomat bordismikysymykset : kaksi jakoputkistoa ovat (vastaavasti suuntautuneita tai suuntaamattomia) tällöin vain ja vain, jos niiden tunnusnumerot ovat samat.

Motivaatio

Ominainen luokat ovat ilmiöitä Kohomologia teorian olennaisella tavalla - ne ovat contravariant rakenteita, sillä tavalla, että osio on eräänlainen toiminnon päälle välilyönti ja johtaa ristiriitaan siitä olemassaolosta osio tarvitsemme että varianssi. Itse Kohomologia Teoriassa varttui jälkeen homologia ja Homotopia teoria , jotka ovat molemmat covariant teorioita kartoitus osaksi tilaa; ja tyypillinen luokan teoria lapsenkengissään 1930-luvulla (osana obstruktioteoriaa ) oli yksi tärkeimmistä syistä, miksi haettiin "kaksois" teoriaa homologiaan. Luonteenomainen luonteenomainen lähestymistapa kaarevuusvariantteihin oli erityinen syy tehdä teoria, todistaa yleinen Gauss – Bonnet-lause .

Kun teoria asetettiin järjestäytyneenä noin vuoden 1950 paikkeilla (määritelmien ollessa pelkät homotooppateoriat), kävi selväksi, että tuolloin tunnetuimmat ominaispiirteet ( Stiefel – Whitney , Chern ja Pontryagin ) klassisten lineaaristen ryhmien heijastukset ja niiden maksimaalinen torusrakenne . Mikä on enemmän, Chern luokka sinänsä ei ollut uusia, jotka on otettu huomioon Schubert hammaskiven päälle Grassmannians , ja työn italialaisen koulun algebrallinen geometria . Toisaalta oli olemassa kehys, joka tuotti luokkaperheitä aina, kun mukana oli vektoripaketti .

Prime mekanismi vaikutti silloin tämä: Koska tilaa X kantaa vektoria, nippu, että vihjataan Homotopia luokkaan kartoitukseen X on luokitustilan BG , kyseisen lineaarisen ryhmän G . Varten Homotopia teoria tarvittavat tiedot kuljetetaan kompakti alaryhmiin, kuten ortogonaalinen ryhmät ja yhtenäinen ryhmiä ja G . Kun kohomologia on laskettu, lopullisesti kohomologian ristiriitaisuusominaisuus tarkoitti, että nipun ominaisluokat määriteltiin samoissa mitoissa. Esimerkiksi Chern-luokka on oikeastaan ​​yksi luokka, jossa kussakin tasaisessa ulottuvuudessa on luokiteltuja komponentteja. ${\ displaystyle H ^ {*} (BG)}$${\ displaystyle H ^ {*} (X)}$

Tämä on edelleen klassinen selitys, vaikka tietyssä geometrisessa teoriassa on kannattavaa ottaa huomioon ylimääräinen rakenne. Kun kohomologia tuli '' poikkeukselliseksi '' K-teorian ja kobordismiteorian tullessa vuodesta 1955 eteenpäin, oli oikeastaan ​​tarpeen muuttaa kirjainta H kaikkialla sanomaan, mitkä luokat olivat.

Ominainen luokat myöhemmin löytynyt foliations of manifolds ; heillä on (modifioidussa mielessä joidenkin sallittujen singulariteettien folioinnille) luokitteleva avaruuden teoria homotooppateoriassa .

Myöhemmissä työssä jälkeen lähentymistä matematiikan ja fysiikan , uusi ominaisuus luokat löytyivät Simon Donaldson ja Dieter Kotschick että InstantOn teoriassa. Chernin työ ja näkökulma ovat myös osoittautuneet tärkeiksi: katso Chern – Simons-teoria .

Vakaus

Kielellä vakaa Homotopia teorian , The Chern luokka , Stiefel-Whitney luokan ja Pontryagin luokka ovat stabiileja , kun taas Euler luokka on epävakaa .

Konkreettisesti vakaa luokka on sellainen, joka ei muutu, kun siihen lisätään triviaali nippu: . Abstraktimmassa, se tarkoittaa, että Kohomologia luokalla luokituselimen varten vetää takaisin siitä Kohomologia luokan mukaan sisällyttäminen (joka vastaa osallisuutta ja niiden kaltaiset). Vastaavasti kaikki äärelliset ominaisluokat vetäytyvät vakaasta luokasta . ${\ displaystyle c (V \ oplus 1) = c (V)}$${\ displaystyle BG (n)}$${\ displaystyle BG (n + 1)}$${\ displaystyle BG (n) \ to BG (n + 1)}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n} \ - \ mathbf {R} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle BG}$

Tämä ei koske Euler-luokkaa, kuten siellä yksityiskohtaisesti, etenkin siksi, että k- ulotteisen nipun Euler-luokka asuu (vetäytyy sitten , joten se ei voi vetäytyä luokasta sisään , koska mitat eroavat toisistaan) . ${\ displaystyle H ^ {k} (X)}$${\ displaystyle H ^ {k} (BO (k))}$${\ displaystyle H ^ {k + 1}}$

Katso myös

• Segre-luokka
• Eulerin ominaisuus
• Chern-luokka

Huomautuksia

Viitteet

• Chern, Shiing-Shen (1995). Monimutkaiset jakotukit ilman potentiaaliteoriaa . Springer-Verlag Press. ISBN   0-387-90422-0 . CS1 maint: ei suositeltu parametri ( linkki ) ISBN   3-540-90422-0 .

  Tämän kirjan liite: "Ominaisluokkien geometria" on erittäin siisti ja syvällinen johdatus ominaispiirteiden ideoiden kehittämiseen.

• Hatcher, Allen , Vector-niput ja K-teoria CS1 maint: ei suositeltu parametri ( linkki )
• Husemoller, Dale (1966). Kuitupaketit (3. painos, Springer 1993 toim.). McGraw Hill. ISBN   0387940871 . CS1 maint: ei suositeltu parametri ( linkki )
• Milnor, John W .; Stasheff, Jim (1974). Luonteenomaiset luokat . Matematiikan opintojen vuosikirjat. 76 . Princeton University Press , Princeton, NJ; Tokyo University Press , Tokio. ISBN   0-691-08122-0 . CS1 maint: ei suositeltu parametri ( linkki )