Intersección (teoría de conjuntos) - Intersection (set theory)

En matemáticas , la intersección de dos conjuntos y denotado por es el conjunto que contiene todos los elementos de que también pertenecen o de manera equivalente, todos los elementos de que también pertenecen a${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B,}$${\ Displaystyle A \ cap B,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A.}$

Notación y terminología

La intersección se escribe usando el símbolo " " entre los términos; es decir, en notación infija . Por ejemplo: ${\ Displaystyle \ cap}$

La intersección de más de dos conjuntos (intersección generalizada) se puede escribir como: que es similar a la notación capital-sigma .

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

Definición

La intersección de dos conjuntos y denotada por es el conjunto de todos los objetos que son miembros tanto de los conjuntos como de los símbolos In: ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B,}$${\ Displaystyle A \ cap B,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B.}$

Es decir, es un elemento de la intersección si y solo si es tanto un elemento de como un elemento de${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle A \ cap B}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B.}$

Por ejemplo:

• La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.
• El número 9 no está en la intersección del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, porque 9 no es primo.

Conjuntos intersectantes y disjuntos

Nosotros decimos eso ${\ Displaystyle A}$se interseca (se encuentra)${\ Displaystyle B}$ si existe algunoque sea un elemento de ambosyen cuyo caso también decimos que seinterseca (se encuentra) en . De manera equivalente, secruzasi su intersecciónes un conjunto habitado , lo que significa que existe algotal que${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ cap B}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x \ in A \ cap B.}$

Decimos que y son disjuntos si no se cruzan En lenguaje sencillo, no tienen elementos en común. y son disjuntos si su intersección está vacía , denotado${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ cap B = \ varnothing.}$

Por ejemplo, los conjuntos y son disjuntos, mientras que el conjunto de números pares interseca el conjunto de múltiplos de 3 en los múltiplos de 6. ${\ Displaystyle \ {1,2 \}}$${\ Displaystyle \ {3,4 \}}$

Propiedades algebraicas

La intersección binaria es una operación asociativa ; es decir, para cualquier conjunto y uno tiene ${\ Displaystyle A, B,}$${\ Displaystyle C,}$

Por lo tanto, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores se puede escribir como . La intersección también es conmutativa . Es decir, para cualquiera y uno tiene${\ Displaystyle A \ cap B \ cap C}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B,}$

$${\ Displaystyle A \ cap B = B \ cap A.}$$

La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío; es decir, que para cualquier conjunto , ${\ Displaystyle A}$

$${\ Displaystyle A \ cap \ emptyset = \ emptyset}$$

Además, la operación de intersección es idempotente ; es decir, cualquier conjunto satisface eso . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la conjunción lógica . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A \ cap A = A}$

La intersección se distribuye sobre la unión y la unión se distribuye sobre la intersección. Es decir, para cualquier conjunto y uno tiene ${\ Displaystyle A, B,}$${\ Displaystyle C,}$

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} A \ cap (B \ cup C) = (A \ cap B) \ cup (A \ cap C) \\ A \ cup (B \ cap C) = (A \ cup B ) \ cap (A \ cup C) \ end {alineado}}}$$

Dentro de un universo se puede definir el complemento de como el conjunto de todos los elementos de no en Además, la intersección de y puede escribirse como el complemento de la unión de sus complementos, derivado fácilmente de las leyes de De Morgan :${\ Displaystyle U,}$ ${\ Displaystyle A ^ {c}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle A.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

$${\ Displaystyle A \ cap B = \ left (A ^ {c} \ cup B ^ {c} \ right) ^ {c}}$$

Intersecciones arbitrarias

La noción más general es la intersección de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos . Si es un conjunto

no vacío cuyos elementos son en sí mismos conjuntos, entonces es un elemento de la intersección de si y solo si para cada elemento de es un elemento de símbolos In: ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M,}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle A.}$

$${\ Displaystyle \ left (x \ in \ bigcap _ {A \ in M} A \ right) \ Leftrightarrow \ left (\ forall A \ in M, \ x \ in A \ right).}$$

La notación de este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escribirán " ", mientras que otros escribirán " ". La última notación se puede generalizar a " ", que se refiere a la intersección de la colección. Aquí hay un conjunto no vacío, y es un conjunto para cada${\ Displaystyle \ cap M}$${\ Displaystyle \ cap _ {A \ in M} A}$${\ Displaystyle \ cap _ {i \ in I} A_ {i}}$${\ Displaystyle \ left \ {A_ {i}: i \ in I \ right \}.}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle i \ in I.}$

En el caso de que el conjunto índice sea ​​el conjunto de

números naturales , se puede ver una notación análoga a la de un producto infinito : ${\ Displaystyle I}$

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}.}$$

Cuando el formateo es difícil, esto también se puede escribir " ". Este último ejemplo, una intersección de innumerables conjuntos, es en realidad muy común; para ver un ejemplo, consulte el artículo sobre

σ-álgebras . ${\ Displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap A_ {3} \ cap \ cdots}$

Intersección nulary

Conjunciones de los argumentos entre paréntesis

La conjunción de ningún argumento es la tautología (compárese: producto vacío ); en consecuencia, la intersección de ningún conjunto es el universo .

Tenga en cuenta que en la sección anterior, excluimos el caso donde estaba el

conjunto vacío ( ). La razón es la siguiente: la intersección de la colección se define como el conjunto (ver la notación del constructor de conjuntos ) ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ varnothing}$${\ Displaystyle M}$

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {A \ in M} A = \ {x: {\ text {para todos}} A \ in M, x \ in A \}.}$$

Si está vacío, no hay conjuntos, por lo que la pregunta es "¿cuál satisface la condición establecida?" La respuesta parece ser toda posible . Cuando está vacío, la condición dada arriba es un ejemplo de una verdad vacía . Entonces, la intersección de la familia vacía debería ser el conjunto universal (el elemento de identidad para la operación de intersección), pero en la teoría de conjuntos estándar ( ZF ), el conjunto universal no existe. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M,}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle M}$

En teoría tipo sin embargo, es de un tipo prescrito por lo que la intersección se entiende que es de tipo (el tipo de conjuntos cuyos elementos son en ), y podemos definir como el conjunto universal de (el conjunto cuyos elementos son exactamente todos los términos de tipo ). ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ tau,}$${\ Displaystyle \ mathrm {set} \ \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ bigcap _ {A \ in \ emptyset} A}$${\ Displaystyle \ mathrm {set} \ \ tau}$${\ Displaystyle \ tau}$

Ver también

• Álgebra de conjuntos  : identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Cardinalidad  : medida del número de elementos de un conjunto
• Complemento  : subconjunto de los elementos que no están en un subconjunto dado.
• Intersección (geometría euclidiana)  : objetos geométricos que son comunes a otros objetos geométricos
• Gráfico de intersección
• Teoría de la intersección  - Rama de la geometría algebraica
• Operación binaria iterada
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  : igualdad y relaciones que involucran conjuntos y funciones
• Conjunción lógica  - Y conectivo lógico
• MinHash
• Teoría de conjuntos ingenua  - Teorías de conjuntos informales
• Diferencia simétrica  : subconjunto de los elementos que pertenecen exactamente a uno entre dos conjuntos
• Unión  : operación matemática donde los conjuntos se combinan o se relacionan

Referencias

Otras lecturas

• Devlin, KJ (1993). La alegría de los conjuntos: fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea (segunda ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). "Teoría y lógica de conjuntos". Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). "Estructuras básicas: conjuntos, funciones, secuencias y sumas". Matemáticas discretas y sus aplicaciones (Sexta ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Intersección" . MathWorld .