Separoid - Separoid

En matemáticas , un separoide es una relación binaria entre conjuntos disjuntos que es estable como un ideal en el orden canónico inducido por la inclusión . Muchos objetos matemáticos que parecen ser bastante diferentes, encuentran una generalización común en el marco de los separoides; por ejemplo, gráficos , configuraciones de conjuntos convexos , matroides orientados y politopos . Cualquier categoría contable es una subcategoría inducida de separoides cuando están dotados de homomorfismos (es decir, mapeos que preservan las llamadas particiones mínimas de radón ).

En este marco general, algunos resultados e invariantes de diferentes categorías resultan ser casos especiales del mismo aspecto; por ejemplo, el número pseudoacromático de la teoría de grafos y el teorema de Tverberg de la convexidad combinatoria son simplemente dos caras del mismo aspecto, es decir, la coloración completa de los separoides.

Los axiomas

Un separoide es un conjunto dotado de una relación binaria en su conjunto de potencias , que satisface las siguientes propiedades simples para : ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mid \ \ subseteq 2 ^ {S} \ times 2 ^ {S}}$${\ Displaystyle A, B \ subseteq S}$

${\ Displaystyle A \ mid B \ Leftrightarrow B \ mid A,}$

${\ Displaystyle A \ mid B \ Rightarrow A \ cap B = \ varnothing,}$

${\ Displaystyle A \ mid B {\ hbox {y}} A '\ subset A \ Rightarrow A' \ mid B.}$

Un par relacionado se denomina separación y que a menudo dicen que A es separado de B . Basta conocer las separaciones máximas para reconstruir el separoide. ${\ Displaystyle A \ mid B}$

Un mapeo es un morfismo de separoides si las imágenes previas de las separaciones son separaciones; es decir, para${\ Displaystyle \ varphi \ colon S \ to T}$${\ Displaystyle A, B \ subseteq T}$

${\ Displaystyle A \ mid B \ Rightarrow \ varphi ^ {- 1} (A) \ mid \ varphi ^ {- 1} (B).}$

Ejemplos de

Se pueden encontrar ejemplos de separoides en casi todas las ramas de las matemáticas . Aquí enumeramos solo algunos.

1. Dado un gráfico G = (V, E), podemos definir un separoide en sus vértices diciendo que dos subconjuntos (disjuntos) de V, digamos A y B, están separados si no hay bordes que vayan de uno a otro. ; es decir,

${\ Displaystyle A \ mid B \ Leftrightarrow \ forall a \ in A {\ hbox {y}} b \ in B \ colon ab \ not \ in E.}$

2. Dado un matroide orientado M = ( E , T ), dado en términos de sus topes T , podemos definir un separoide en E diciendo que dos subconjuntos están separados si están contenidos en signos opuestos de un tope. En otras palabras, los topes de un matroide orientado son las separaciones máximas de un separoide. Este ejemplo incluye, por supuesto, todos los gráficos dirigidos .

3. Dada una familia de objetos en un espacio euclidiano , podemos definir un separoide en él diciendo que dos subconjuntos están separados si existe un hiperplano que los separa ; es decir, dejándolos en los dos lados opuestos del mismo.

4. Dado un espacio topológico , podemos definir un separoide diciendo que dos subconjuntos están separados si existen dos conjuntos abiertos disjuntos que los contienen (uno para cada uno de ellos).

El lema básico

Cada separoide puede representarse con una familia de conjuntos convexos en algún espacio euclidiano y sus separaciones por hiperplanos.

Referencias

Otras lecturas

• Strausz, Ricardo (1998). "Separoides". Situs, serie B, no 5 . Universidad Nacional Autónoma de México.
• Montellano-Ballesteros, Juan José; Por, Atila; Strausz, Ricardo (2006). "Teoremas de tipo Tverberg para separoides" . Geometría discreta y computacional . 35 (3): 513–523. doi : 10.1007 / s00454-005-1229-4 .
• Bracho, Javier; Strausz, Ricardo (2006). "Dos representaciones geométricas de separoides" . Periodica Mathematica Hungarica . 53 (1–2): 115–120. doi : 10.1007 / s10998-006-0025-0 .
• Strausz, Ricardo (2008). "Teoremas del tipo 'final feliz' de Erdös-Szekeres para los separoides" . Revista europea de combinatoria . 29 (4): 1076–1085. doi : 10.1016 / j.ejc.2007.11.011 .