Entero profinito - Profinite integer

En matemáticas , un número entero profinito es un elemento del anillo (a veces se pronuncia como zee-hat o zed-hat)

${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = \ varprojlim \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} = \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p}}$

dónde

${\ Displaystyle \ varprojlim \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

indica la finalización profinita de , el índice se extiende sobre todos los números primos y es el anillo de p -enteros ádicos . Este grupo es importante por su relación con la teoría de Galois , la teoría de la homotopía de Étale y el anillo de Adeles . Además, proporciona un ejemplo básico manejable de un grupo lucrativo. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

Construcción y relaciones

Concretamente los enteros profinitos serán el conjunto de secuencias tales que y . La suma y la multiplicación puntuales lo convierten en un anillo conmutativo. Si una secuencia de enteros converge módulo para cada, entonces el límite existirá como un entero profinito. Hay una incrustación de los enteros en el anillo de los enteros profinitos ya que existe la inyección canónica ${\ Displaystyle \ upsilon}$ ${\ Displaystyle \ upsilon (n) \ in \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle m \ | \ n \ implica \ upsilon (m) \ equiv \ upsilon (n) {\ bmod {m}}}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle m}$

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ hookrightarrow {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}

dónde

{\ Displaystyle n \ mapsto (n {\ bmod {1}}, n {\ bmod {2}}, \ dots).}

Usando el teorema del resto chino

Otra forma de entender la construcción de los enteros profinitos es utilizando el teorema chino del resto . Recuerde que para un número entero con factorización prima ${\ Displaystyle n}$

{\ Displaystyle n =: p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}

de primos no repetidos, hay un isomorfismo de anillo

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ quad \ cong \ quad \ mathbb {Z} / p_ {1} ^ {a_ {1}} \ times \ cdots \ times \ mathbb {Z} / p_ {k} ^ {Alaska}}}

del teorema. Además, cualquier sospecha

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ to \ mathbb {Z} / m}

será solo un mapa de las descomposiciones subyacentes donde hay sobreyecciones inducidas

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p_ {i} ^ {a_ {i}} \ to \ mathbb {Z} / p_ {i} ^ {b_ {i}}}

ya que debemos tener . Debería ser mucho más claro que bajo la definición de límite inverso de los enteros profinitos, tenemos el isomorfismo ${\ Displaystyle a_ {i} \ geq b_ {i}}$

{\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ cong \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p}}

con el producto directo de enteros p-ádicos.

Propiedades topologicas

El conjunto de enteros profinitos tiene una topología inducida en la que es un espacio compacto de Hausdorff , proveniente del hecho de que puede verse como un subconjunto cerrado del producto directo infinito

${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ subconjunto \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

que es compacta con su topología de producto por el teorema de Tychonoff . Tenga en cuenta que la topología de cada grupo finito se da como topología discreta . Dado que la suma de enteros profinitos es continua, es un grupo abeliano de Hausdorff compacto y, por lo tanto, su dual Pontryagin debe ser un grupo abeliano discreto. De hecho, el dual de Pontryagin es el grupo abeliano discreto . Este hecho es exhibido por el emparejamiento ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} \ times {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ to U (1), \, (q, a) \ mapsto \ chi (qa)}$

donde es el carácter de inducido por . ${\ Displaystyle \ chi}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}, f}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} \ to U (1), \, \ alpha \ mapsto e ^ {2 \ pi i \ alpha}}$

Relación con Adeles

El producto tensorial es el anillo de adeles finitos ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}, f} = {\ prod _ {p}} '\ mathbb {Q} _ {p}}$

de donde el símbolo medios restringidos producto . Hay un isomorfismo ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle '}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}} \ cong \ mathbb {R} \ times ({\ hat {\ mathbb {Z}}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb { Q})}$

Aplicaciones en la teoría de Galois y la teoría de la homotopía de Etale

Para el cierre algebraico de un campo finito de orden q, el grupo de Galois se puede calcular explícitamente. A partir del hecho de que los automorfismos están dados por el endomorfismo de Frobenius , el grupo de Galois del cierre algebraico de está dado por el límite inverso de los grupos , por lo que su grupo de Galois es isomorfo al grupo de enteros profinitos. ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {F}}} _ {q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {q}}$ ${\ Displaystyle {\ text {Gal}} (\ mathbf {F} _ {q ^ {n}} / \ mathbf {F} _ {q}) \ cong \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbf {F}}} _ {q} / \ mathbf {F} _ {q}) \ cong {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

lo que da un cálculo del grupo de Galois absoluto de un campo finito.

Relación con Etale grupos fundamentales de toros algebraicos

Esta construcción se puede reinterpretar de muchas formas. Uno de ellos es de la teoría de la homotopía de Etale que define el grupo fundamental de Etale como la compleción profinita de automorfismos. ${\ Displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X) = \ lim _ {i \ in I} {\ text {Aut}} (X_ {i} / X)}$

donde hay una portada de Etale . Entonces, los enteros profinitos son isomorfos al grupo ${\ Displaystyle X_ {i} \ to X}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} ({\ text {Spec}} (\ mathbf {F} _ {q})) \ cong {\ hat {\ mathbb {Z}}}}$

a partir del cálculo anterior del profinito grupo de Galois. Además, hay una incrustación de los enteros profinitos dentro del grupo fundamental Etale del toro algebraico

${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ hookrightarrow \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _ {m})}$

ya que los mapas de cobertura provienen de los mapas polinomiales

${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {n}: \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m}}$

del mapa de anillos conmutativos

${\ Displaystyle f: \ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}] \ to \ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}]}$ enviando ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}$

puesto . Si el toro algebraico se considera sobre un campo , entonces el grupo fundamental de Etale también contiene una acción de la secuencia fundamental exacta en la teoría de homotopía de etale. ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {m} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}])}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _ {m} / {\ text {Spec (k)}})}$ ${\ Displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {k}} / k)}$

Teoría del campo de clases y los enteros profinitos

La teoría de campos de clase es una rama de la teoría de números algebraica que estudia las extensiones de campo abeliano de un campo. Dado el campo global , la abelianización de su grupo Galois absoluto ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q}) ^ {ab}}$

está íntimamente relacionado con el anillo asociado de adeles y el grupo de enteros profinitos. En particular, hay un mapa, llamado mapa Artin ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}}}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ mathbb {Q}}: \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ times} / \ mathbb {Q} ^ {\ times} \ to {\ text {Gal }} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q}) ^ {ab}}$

que es un isomorfismo. Este cociente se puede determinar explícitamente como

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ times} / \ mathbb {Q} ^ {\ times} & \ cong (\ mathbb {R} \ times { \ hat {\ mathbb {Z}}}) / \ mathbb {Z} \\ & = {\ underset {\ leftarrow} {\ lim}} \ mathbb {(} {\ mathbb {R}} / m \ mathbb { Z}) \\ & = {\ underset {x \ mapsto x ^ {m}} {\ lim}} S ^ {1} \\ & = {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ end {alineado} }}$

dando la relación deseada. Existe una afirmación análoga para la teoría de campos de clases locales, ya que cada extensión abeliana finita de se induce a partir de una extensión de campo finito . ${\ Displaystyle K / \ mathbb {Q} _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}} / \ mathbb {F} _ {p}}$

Ver también

Notas

Referencias

Connes, Alain; Consani, Caterina (2015). "Geometría del sitio aritmético". arXiv : 1502.05580 .
Milne, JS (23 de marzo de 2013). "Teoría del campo de clases" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de junio de 2013 . Consultado el 7 de junio de 2020 .

enlaces externos

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