Centralizador y normalizador - Centralizer and normalizer

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el centralizador (también llamado conmutador ) de un subconjunto S en un grupo G es el conjunto de elementos de G tal que cada miembro conmuta con cada elemento de S , o de manera equivalente, de manera que la conjugación por deja cada elemento de S fijo. El normalizador de S en G es el conjunto de elementos de G que satisfacen la condición más débil de dejar el conjunto fijo bajo conjugación. El centralizador y normalizador de S son subgrupos de G . Muchas técnicas de la teoría de grupos se basan en el estudio de los centralizadores y normalizadores de los subconjuntos S adecuados . ${\ Displaystyle C_ {G} (S)}$ ${\ Displaystyle g \ en C_ {G} (S)}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle N_ {G} (S)}$ ${\ Displaystyle S \ subseteq G}$

Adecuadamente formuladas, las definiciones también se aplican a monoides y semigrupos .

En la teoría de anillos , el centralizador de un subconjunto de un anillo se define con respecto a la operación de semigrupo (multiplicación) del anillo. El centralizador de un subconjunto de un anillo R es un subanillo de R . Este artículo también trata sobre centralizadores y normalizadores en un álgebra de Lie .

El idealizador en un semigrupo o anillo es otra construcción que está en la misma línea que el centralizador y el normalizador.

Definiciones

Grupo y semigrupo

El centralizador de un subconjunto S del grupo (o semigrupo) G se define como

{\ Displaystyle \ mathrm {C} _ {G} (S) = \ left \ {g \ in G \ mid gs = sg {\ text {para todos}} s \ in S \ right \} = \ left \ { g \ in G \ mid gsg ^ {- 1} = s {\ text {para todos}} s \ in S \ right \}.}

donde solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si no hay ambigüedad sobre el grupo en cuestión, la G se puede suprimir de la notación. Cuando S = { a } es un conjunto singleton , escribimos C _G ( a ) en lugar de C _G ({ a }). Otra notación menos común para el centralizador es Z ( a ), que es paralela a la notación del centro . Con esta última notación, se debe tener cuidado de evitar la confusión entre el centro de un grupo G , Z ( G ) y el centralizador de un elemento g en G , Z ( g ).

El normalizador de S en el grupo (o semigrupo) G se define como

{\ Displaystyle \ mathrm {N} _ {G} (S) = \ left \ {g \ in G \ mid gS = Sg \ right \} = \ left \ {g \ in G \ mid gSg ^ {- 1} = S \ right \}.}

donde nuevamente solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Las definiciones son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de S y s está en S , entonces debe ser que gs = sg , pero si g está en el normalizador, entonces gs = tg para algún t en S , con t posiblemente diferente de s . Es decir, los elementos del centralizador de S deben conmutar puntualmente con S , pero los elementos del normalizador de S solo necesitan conmutar con S como conjunto . Las mismas convenciones de notación mencionadas anteriormente para los centralizadores también se aplican a los normalizadores. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal .

Claramente y ambos son subgrupos de . ${\ Displaystyle C_ {G} (S) \ subseteq N_ {G} (S)}$ ${\ Displaystyle G}$

Anillo, álgebra sobre un campo, anillo de Lie y álgebra de Lie

Si R es un anillo o un álgebra sobre un campo , y S es un subconjunto de R , a continuación, el centralizador de S es exactamente como se define para grupos, con R en el lugar de G .

Si es un álgebra de Lie (o anillo de Lie ) con el producto de Lie [ x , y ], entonces el centralizador de un subconjunto S de se define como ${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {C} _ {\ mathfrak {L}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {L}} \ mid [x, s] = 0 {\ text {para todos}} s \En s\}.}

La definición de centralizadores para anillos de Lie está vinculada a la definición de anillos de la siguiente manera. Si R es un anillo asociativo, entonces a R se le puede dar el producto de paréntesis [ x , y ] = xy - yx . Por supuesto, entonces xy = yx si y solo si [ x , y ] = 0 . Si denotamos el conjunto R con el producto soporte como L _R , entonces claramente la centralizador anillo de S en R es igual a la centralizador anillo Lie de S en L _R .

El normalizador de un subconjunto S de un álgebra de Lie (o anillo de Lie) está dado por ${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {N} _ {\ mathfrak {L}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {L}} \ mid [x, s] \ in S {\ text {para todos}} s \ in S \}.}

Si bien este es el uso estándar del término "normalizador" en el álgebra de Lie, esta construcción es en realidad el idealizador del conjunto S en . Si S es un subgrupo aditivo de , entonces es el subanillo de Lie más grande (o subálgebra de Lie, según sea el caso) en el que S es un ideal de Lie . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {N} _ {\ mathfrak {L}} (S)}$

Propiedades

Semigrupos

Dejado denotar el centralizador de en el semigrupo , es decir Entonces forma un subsemigroup y , es decir, un commutant es su propia bicommutant . ${\ Displaystyle S '}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle S '= \ {x \ in A \ mid sx = xs {\ text {para cada}} s \ in S \}.}$ ${\ Displaystyle S '}$ ${\ Displaystyle S '= S' '' = S '' '' '}$

Grupos

Fuente:

El centralizador y normalizador de S son ambos subgrupos de G .
Claramente, . De hecho, es siempre un subgrupo normal de , siendo el núcleo del homomorfismo y el grupo actúa por conjugación como un grupo de biyecciones sobre . Por ejemplo, el grupo de Weyl de un grupo de Lie compacto con un toro se define como , y especialmente si el toro es máximo (es decir ) es una herramienta central en la teoría de los grupos de Lie. ${\ Displaystyle C_ {G} (S) \ subseteq N_ {G} (S)}$ ${\ Displaystyle C_ {G} (S)}$ ${\ Displaystyle N_ {G} (S)}$ ${\ Displaystyle N_ {G} (S) \ to \ mathrm {Bij} (S)}$ ${\ Displaystyle N_ {G} (S) / C_ {G} (S)}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle W (G, H) = N_ {G} (T) / C_ {G} (T)}$ ${\ Displaystyle C_ {G} (T) = T}$
C _G ( C _G ( S )) contiene S , pero C _G ( S ) necesidad no contiene S . La contención ocurre exactamente cuando S es abeliano.
Si H es un subgrupo de G , entonces N _G ( H ) contiene H .
Si H es un subgrupo de G , entonces el subgrupo más grande de G en el que H es normal es el subgrupo N _G (H).
Si S es un subconjunto de G tal que todos los elementos de S se conmutan entre sí, entonces el subgrupo más grande de G cuyo centro contiene S es el subgrupo C _G (S).
Un subgrupo H de un grupo G se denomina subgrupo auto-normalización deGsiN_G (H) =H.
El centro de G es exactamente C _G (G) y G es un grupo abeliano si y sólo si C _G (G) = Z ( G ) = G .
Para conjuntos singleton, C _G ( a ) = N _G ( a ).
Por simetría, si S y T son dos subconjuntos de G , T ⊆ C _G ( S ) si y solo si S ⊆ C _G ( T ).
Para un subgrupo H de grupo G , el N / C teorema afirma que el grupo de factor de N _G ( H ) / C _G ( H ) es isomorfo a un subgrupo de Aut ( H ), el grupo de automorfismos de H . Dado que N _G ( G ) = G y C _G ( G ) = Z ( G ), el teorema de N / C también implica que G / Z ( G ) es isomorfo a Inn ( G ), el subgrupo de Aut ( G ) que consiste de todos los automorfismos interiores de G .
Si definimos un homomorfismo de grupo T : G → Inn ( G ) por T ( x ) ( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ , entonces podemos describir N _G ( S ) y C _G ( S ) en términos de la acción de grupo de Inn ( G ) sobre G : el estabilizador de S en Inn ( G ) es T ( N _G ( S )), y el subgrupo de Inn ( G ) que fija S puntualmente es T ( C _G ( S ) ).
Un subgrupo H de un grupo G se dice que es C-cerrado o auto-bicommutant si H = C _G ( S ) para algún subconjunto S ⊆ G . Si es así, entonces, de hecho, H = C _G ( C _G ( H )).

Anillos y álgebras sobre un campo

Fuente:

Los centralizadores en anillos y en álgebras sobre un campo son subanillos y subálgebras sobre un campo, respectivamente; los centralizadores en los anillos de Lie y en las álgebras de Lie son subanillos de Lie y subálgebras de Lie, respectivamente.
El normalizador de S en un anillo Lie contiene el centralizador de S .
C _R ( C _R ( S )) contiene S pero no es necesariamente igual. El teorema del doble centralizador se ocupa de situaciones en las que se produce la igualdad.
Si S es un subgrupo aditivo de un anillo de Lie A , entonces N _A ( S ) es el subanillo de Lie más grande de A en el que S es un ideal de Lie.
Si S es un subanillo de Lie de un anillo de Lie A , entonces S ⊆ N _A ( S ).

Ver también

Notas

^ Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Temas avanzados en álgebra lineal: tejiendo problemas de matrices a través de la forma de Weyr . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
^ Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). La Teoría de Lie de los Grupos Pro-Lie Conectados: Una Teoría de la Estructura para Álgebras Pro-Lie, Grupos Pro-Lie y Grupos Compactos Localmente Conectados . Sociedad Matemática Europea . pag. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
^ Jacobson (2009), p. 41
↑ ^a ^b ^c Jacobson , 1979 , p.28.
^ Jacobson 1979 , p.57.
^ Isaacs 2009 , Capítulos 1-3.

Referencias

Isaacs, I. Martin (2009), Álgebra: un curso de posgrado , Estudios de posgrado en matemáticas , 100 (reimpresión de la edición original de 1994), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / gsm / 100 , ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , 1 (2 ed.), Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-47189-1
Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (reedición de la edición original de 1962), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927

[O'MearaClark2011-1] Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Temas avanzados en álgebra lineal: tejiendo problemas de matrices a través de la forma de Weyr . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.

[HofmannMorris2007-2] Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). La Teoría de Lie de los Grupos Pro-Lie Conectados: Una Teoría de la Estructura para Álgebras Pro-Lie, Grupos Pro-Lie y Grupos Compactos Localmente Conectados . Sociedad Matemática Europea . pag. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.

[3] Jacobson (2009), p. 41

[FOOTNOTEJacobson1979p.28-4] Jacobson , 1979 , p.28.

[FOOTNOTEJacobson1979p.57-5] Jacobson 1979 , p.57.

[FOOTNOTEIsaacs2009Chapters_1−3-6] Isaacs 2009 , Capítulos 1-3.

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