Grupo abeliano libre - Free abelian group

En matemáticas , un grupo abeliano libre es un grupo abeliano con una base . Ser un grupo abeliano significa que es un conjunto con una operación de suma asociativa , conmutativa e invertible. Una base, también llamada base integral , es un subconjunto tal que cada elemento del grupo puede expresarse de forma única como una combinación entera de un número finito de elementos base. Por ejemplo, el enrejado de enteros bidimensionales forma un grupo abeliano libre, con la adición de coordenadas como su operación, y con los dos puntos (1,0) y (0,1) como base. Los grupos abelianos libres tienen propiedades que los hacen similares a los espacios vectoriales y, de manera equivalente, pueden denominarse módulos libres , los módulos libres sobre los enteros. La teoría de celosía estudia subgrupos abelianos libres de espacios vectoriales reales. En topología algebraica , los grupos abelianos libres se utilizan para definir grupos de cadenas , y en geometría algebraica se utilizan para definir divisores . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Los elementos de un grupo abeliano libre con base pueden describirse de varias formas equivalentes. Estos incluyen sumas formales sobre , que son expresiones de la forma en la que cada uno es un número entero distinto de cero, cada uno es un elemento base distinto y la suma tiene un número finito de términos. Alternativamente, los elementos de un grupo abeliano libre pueden ser considerados como firmados conjuntos múltiples que contiene un número finito de elementos de , con la multiplicidad de un elemento en el conjunto múltiple igual a su coeficiente en la suma formal. Otra forma de representar un elemento de un grupo abeliano libre es en función de los enteros con un número finito de valores distintos de cero; para esta representación funcional, la operación de grupo es la suma puntual de funciones. ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ textstyle \ sum a_ {i} b_ {i}}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle b_ {i}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$

Cada conjunto tiene un grupo abeliano libre como base. Este grupo es único en el sentido de que cada dos grupos abelianos libres con la misma base son isomorfos . En lugar de construirlo describiendo sus elementos individuales, un grupo libre con base puede construirse como una suma directa de copias del grupo aditivo de los enteros, con una copia por miembro de . Alternativamente, el grupo abeliano libre con base puede describirse mediante una presentación con los elementos de como sus generadores y con los conmutadores de pares de miembros como sus relatores. El rango de un grupo abeliano libre es la cardinalidad de una base; cada dos bases para el mismo grupo dan el mismo rango, y cada dos grupos abelianos libres con el mismo rango son isomorfos. Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo abeliano libre; este hecho permite entender un grupo abeliano general como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones", o como un cokernel de un homomorfismo inyectivo entre grupos abelianos libres. Los únicos grupos abelianos libres que son grupos libres son el grupo trivial y el grupo cíclico infinito . ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$

Ejemplos de

Los enteros , bajo la operación de adición, forman un grupo abeliano libre con la base . Cada entero es una combinación lineal de elementos básicos con coeficientes enteros: es decir , con el coeficiente  . De manera similar, los números racionales positivos , bajo multiplicación, forman un grupo abeliano libre con los números primos como base. Según el teorema fundamental de la aritmética , cada racional positivo puede factorizarse de forma única en el producto de un número finito de primos o sus inversos. En este ejemplo, los coeficientes enteros son los exponentes de cada primo en la factorización, y son positivos para los divisores primos del numerador del número racional dado y negativos para los divisores del denominador. ${\ Displaystyle \ {1 \}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n = n \ times 1}$${\ Displaystyle n}$

Los polinomios de una sola variable , con coeficientes enteros, forman un grupo abeliano libre bajo la suma, con las potencias de como sus generadores. De hecho, este es un grupo isomorfo al grupo multiplicativo de números racionales positivos, con el exponente del número primo en el grupo multiplicativo de los racionales correspondiente al coeficiente de en el polinomio correspondiente. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle x ^ {i-1}}$

La celosía de enteros bidimensionales , que consta de los puntos en el plano con coordenadas cartesianas enteras , forma un grupo abeliano libre bajo la suma de vectores con la base . Por ejemplo, al dejar que estos vectores base se denoten y , el elemento se puede escribir ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ {(1,0), (0,1) \}}$${\ Displaystyle \ e_ {1} = (1,0)}$${\ Displaystyle \ e_ {2} = (0,1)}$${\ Displaystyle (4,3)}$

donde se define 'multiplicación' de modo que En esta base, no hay otra forma de escribir . Sin embargo, con una base diferente como , dónde y , se puede escribir como ${\ Displaystyle \ 4e_ {1}: = e_ {1} + e_ {1} + e_ {1} + e_ {1}.}$${\ Displaystyle (4,3)}$${\ Displaystyle \ {(1,0), (1,1) \}}$${\ Displaystyle \ f_ {1} = (1,0)}$${\ Displaystyle \ f_ {2} = (1,1)}$

De manera más general, cada celosía forma un grupo abeliano libre finitamente generado . La retícula de enteros -dimensional tiene una base natural que consiste en los vectores unitarios enteros positivos , pero también tiene muchas otras bases: si es una matriz entera con determinante , entonces las filas de forman una base y, a la inversa, todas las bases de la retícula de enteros tiene esta forma. Para obtener más información sobre el caso bidimensional, consulte el par fundamental de períodos . ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle d \ times d}$ ${\ Displaystyle \ pm 1}$${\ Displaystyle M}$

Construcciones

El grupo abeliano libre para un conjunto base dado se puede construir de varias formas diferentes pero equivalentes: como una suma directa de copias de los números enteros, como una familia de funciones con valores enteros, como un conjunto múltiple con signo o mediante la presentación de un grupo .

Productos y sumas

El producto directo de grupos consta de tuplas de un elemento de cada grupo en el producto, con adición puntual. El producto directo de dos grupos abelianos libres es en sí mismo abeliano libre, con base en la unión disociada de las bases de los dos grupos. Más generalmente, el producto directo de cualquier número finito de grupos abelianos libres es abeliano libre. La red de enteros -dimensional, por ejemplo, es isomorfa al producto directo de copias del grupo de enteros . El grupo trivial también se considera abeliano libre, con base en el conjunto vacío . Puede interpretarse como un producto directo de cero copias de  . ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ {0 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Para familias infinitas de grupos abelianos libres, el producto directo no es necesariamente abelianos libres. Por ejemplo, el grupo Baer-Specker , un grupo incontable formado como el producto directo de numerable muchas copias de , se demostró en 1937 por Reinhold Baer a no ser abeliano libre, aunque Ernst Specker demostró en 1950 que todos sus subgrupos contables son abeliano libre . En cambio, para obtener un grupo abeliano libre de una familia infinita de grupos, se debe usar la suma directa en lugar del producto directo. La suma directa y el producto directo son iguales cuando se aplican a un número finito de grupos, pero difieren en familias infinitas de grupos. En la suma directa, los elementos son nuevamente tuplas de elementos de cada grupo, pero con la restricción de que todos, excepto un número finito de estos elementos, son la identidad de su grupo. La suma directa de un número infinito de grupos abelianos libres sigue siendo abeliano libre. Tiene una base que consta de tuplas en las que todos los elementos menos uno son la identidad, y el elemento restante forma parte de la base de su grupo. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Cada grupo abeliano libre puede describirse como una suma directa de copias de , con una copia para cada miembro de su base. Esta construcción permite que cualquier conjunto se convierta en la base de un grupo abeliano libre. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle B}$

Funciones enteras y sumas formales

Dado un conjunto , se puede definir un grupo cuyos elementos son funciones desde los números enteros, donde el paréntesis en el superíndice indica que solo se incluyen las funciones con un número finito de valores distintos de cero. Si y son dos de estas funciones, a continuación, es la función cuyos valores son sumas de los valores de y : que es, . Esta operación de adición puntual da la estructura de un grupo abeliano. ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle g (x)}$${\ Displaystyle f + g}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$

Cada elemento del conjunto dado corresponde a un miembro de , la función para cuál y para cuál para todos . Cada función en es únicamente una combinación lineal de un número finito de elementos básicos: ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$${\ Displaystyle e_ {x}}$${\ Displaystyle e_ {x} (x) = 1}$${\ Displaystyle e_ {x} (y) = 0}$${\ Displaystyle y \ neq x}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$

Por lo tanto, estos elementos forman la base y constituyen un grupo abeliano libre. De esta manera, cada conjunto puede convertirse en la base de un grupo abeliano libre. ${\ Displaystyle e_ {x}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$${\ Displaystyle B}$

Los elementos de también pueden escribirse como sumas formales , expresiones en forma de suma de un número finito de términos, donde cada término se escribe como el producto de un número entero distinto de cero con un miembro distinto de . Estas expresiones se consideran equivalentes cuando tienen los mismos términos, independientemente del orden de los términos, y se pueden sumar formando la unión de los términos, sumando los coeficientes enteros para combinar términos con el mismo elemento base y eliminando términos para los cuales esta combinación produce un coeficiente cero. También pueden ser interpretados como los firmados conjuntos múltiples de un número finito de elementos de . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {(B)}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$

Presentación

Una presentación de un grupo es un conjunto de elementos que generan el grupo (todos los elementos del grupo son productos de un número finito de generadores), junto con "relatores", productos de generadores que dan el elemento de identidad. El grupo abeliano libre con base tiene una presentación en la que los generadores son los elementos de , y los relatores son los conmutadores de pares de elementos de . Aquí, el conmutador de dos elementos y es el producto ; la configuración de este producto a la identidad provoca que sea igual , de modo que y conmutar. De manera más general, si todos los pares de generadores se conmutan, todos los pares de productos de generadores también se conmutan. Por lo tanto, el grupo generado por esta presentación es abeliano, y los relatores de la presentación forman un conjunto mínimo de relatores necesarios para asegurar que sea abeliano. ${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy}$${\ Displaystyle xy}$${\ Displaystyle yx}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

Cuando el conjunto de generadores es finito, la presentación de un grupo abeliano libre también es finita, porque solo hay un número finito de conmutadores diferentes para incluir en la presentación. Este hecho, junto con el hecho de que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre ( abajo ) puede usarse para mostrar que cada grupo abeliano finitamente generado se presenta de manera finita. Porque, si es generado de forma finita por un conjunto , es un cociente del grupo abeliano libre sobre un subgrupo abeliano libre, el subgrupo generado por los relatores de la presentación de . Pero dado que este subgrupo es en sí mismo abeliano libre, también se genera finitamente y su base (junto con los conmutadores ) forma un conjunto finito de relatores para una presentación de . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle G}$

Como módulo

Los módulos sobre los enteros se definen de forma similar a los espacios vectoriales sobre los números reales o los números racionales : consisten en sistemas de elementos que se pueden sumar entre sí, con una operación de multiplicación escalar por enteros que es compatible con esta operación de suma. Cada grupo abeliano puede considerarse como un módulo sobre los enteros, con una operación de multiplicación escalar definida de la siguiente manera:

${\ Displaystyle 0 \, x = 0}$
${\ Displaystyle 1 \, x = x}$
${\ Displaystyle n \, x = x + (n-1) \, x, \ quad}$	si ${\ Displaystyle \ quad n> 1}$
${\ Displaystyle n \, x = - ((- n) \, x),}$	si ${\ Displaystyle \ quad n <0}$

Sin embargo, a diferencia de los espacios vectoriales, no todos los grupos abelianos tienen una base, de ahí el nombre especial para aquellos que la tienen. Un módulo libre es un módulo que se puede representar como una suma directa sobre su anillo base, por lo que los grupos abelianos libres y los módulos libres son conceptos equivalentes: cada grupo abeliano libre es (con la operación de multiplicación anterior) un módulo libre , y cada free -module proviene de un grupo abeliano libre de esta manera. Además de la suma directa, otra forma de combinar grupos abelianos libres es usar el producto tensorial de -modules. El producto tensorial de dos grupos abelianos libres es siempre abeliano libre, con una base que es el producto cartesiano de las bases de los dos grupos en el producto. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Muchas propiedades importantes de los grupos abelianos libres pueden generalizarse a módulos libres sobre un dominio ideal principal . Por ejemplo, los submódulos de módulos libres sobre dominios ideales principales son gratuitos, un hecho que escribe Hatcher (2002) permite la "generalización automática" de la maquinaria homológica a estos módulos. Además, el teorema de que todo módulo proyectivo es libre se generaliza de la misma manera. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Propiedades

Propiedad universal

Un grupo abeliano libre con base tiene la siguiente propiedad universal : para cada función a partir de un grupo abeliano , existe un único homomorfismo de grupos de a que se extiende . Por una propiedad general de las propiedades universales, esto muestra que "el" grupo abeliano de base es único hasta un isomorfismo. Por lo tanto, la propiedad universal se puede utilizar como una definición del grupo abeliano libre de base . La unicidad del grupo definido por esta propiedad muestra que todas las demás definiciones son equivalentes. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$

Es debido a esta propiedad universal que los grupos abelianos libres se denominan "libres": son los objetos libres en la categoría de grupos abelianos , y el mapa de una base a su grupo abeliano libre es un functor de conjuntos a grupos abelianos, adjunto al functor olvidadizo de los grupos abelianos a los conjuntos. Sin embargo, un grupo abeliano libre no es un grupo libre excepto en dos casos: un grupo abeliano libre que tiene una base vacía (rango cero, dando el grupo trivial ) o que tiene solo un elemento en la base (rango uno, dando el grupo cíclico infinito). ). Otros grupos abelianos no son grupos libres porque en los grupos libres deben ser diferentes de if y son elementos diferentes de la base, mientras que en los grupos abelianos libres los dos productos deben ser idénticos para todos los pares de elementos. En la categoría general de grupos , es una restricción adicional exigir eso , mientras que esta es una propiedad necesaria en la categoría de grupos abelianos. ${\ displaystyle ab}$${\ displaystyle ba}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle ab = ba}$

Rango

Cada dos bases del mismo grupo abeliano libre tienen la misma cardinalidad , por lo que la cardinalidad de una base forma una invariante del grupo conocido como su rango. Dos grupos abelianos libres son isomorfos si y solo si tienen el mismo rango. Un grupo abeliano libre se genera finitamente si y solo si su rango es un número finito , en cuyo caso el grupo es isomorfo a . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$

Esta noción de rango puede generalizarse, desde grupos abelianos libres hasta grupos abelianos que no son necesariamente libres. El rango de un grupo abeliano se define como el rango de un subgrupo abeliano libre de para los que el grupo cociente es un grupo de torsión . De manera equivalente, es la cardinalidad de un subconjunto máximo de lo que genera un subgrupo libre. De nuevo, este es un grupo invariante; no depende de la elección del subgrupo. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G / F}$${\ Displaystyle G}$

Subgrupos

Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo un grupo abeliano libre. Este resultado de Richard Dedekind fue un precursor del teorema análogo de Nielsen-Schreier de que todo subgrupo de un grupo libre es libre, y es una generalización del hecho de que todo subgrupo no trivial del grupo cíclico infinito es cíclico infinito . La prueba necesita el axioma de elección . Una prueba usando el Lema de Zorn (uno de los muchos supuestos equivalentes al axioma de elección) se puede encontrar en Serge Lang 's Álgebra . Solomon Lefschetz e Irving Kaplansky han afirmado que usar el principio del buen orden en lugar del lema de Zorn conduce a una demostración más intuitiva.

En el caso de grupos abelianos libres generados finitamente, la demostración es más fácil, no necesita el axioma de elección y conduce a un resultado más preciso. Si es un subgrupo de un grupo abeliano libre finitamente generado , entonces es libre y existe una base de y enteros positivos (es decir, cada uno divide al siguiente) tal que es una base de Además, la secuencia depende solo de y y no sobre la base particular que resuelve el problema. Cualquier algoritmo que calcule la forma normal de Smith de una matriz de enteros proporciona una prueba constructiva de la parte de existencia del teorema . La unicidad se deriva del hecho de que, para cualquiera , el máximo común divisor de los menores de rango de la matriz no cambia durante el cálculo de la forma normal de Smith y es el producto al final del cálculo. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle d_ {1} | d_ {2} | \ ldots | d_ {k}}$${\ Displaystyle (d_ {1} e_ {1}, \ ldots, d_ {k} e_ {k})}$${\ Displaystyle G.}$${\ Displaystyle d_ {1}, d_ {2}, \ ldots, d_ {k}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$${\ Displaystyle r \ leq k}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle d_ {1} \ cdots d_ {r}}$

Como cada grupo abeliano generado finitamente es el cociente de un grupo abeliano libre generado finitamente por un submódulo, el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente es un corolario del resultado anterior. Este teorema establece que cada grupo abeliano generado finitamente es una suma directa de grupos cíclicos .

Torsión y divisibilidad

Todos los grupos abelianos libres están libres de torsión , lo que significa que no hay ningún elemento de grupo (no identidad) y un número entero distinto de cero tal que . Por el contrario, todos los grupos abelianos libres de torsión generados finitamente son abelianos libres. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle nx = 0}$

El grupo aditivo de números racionales proporciona un ejemplo de un grupo abeliano libre de torsión (pero no generado de forma finita) que no es abeliano libre. Una razón por la que no es abeliano libre es que es divisible , lo que significa que, para cada elemento y cada entero distinto de cero , es posible expresarlo como un múltiplo escalar de otro elemento  . Por el contrario, los grupos abelianos libres distintos de cero nunca son divisibles, porque es imposible que cualquiera de sus elementos base sean múltiplos enteros no triviales de otros elementos. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle ny}$${\ Displaystyle y = x / n}$

Relación con otros grupos

Si un grupo abeliano libre es un cociente de dos grupos , entonces es la suma directa . ${\ Displaystyle A / B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B \ oplus A / B}$

Dado un grupo abeliano arbitrario , siempre existe un grupo abeliano libre y un homomorfismo de grupo sobreyectivo de a . Una forma de construir una sobreyección sobre un grupo dado es dejar que el grupo abeliano libre esté encima , representado como sumas formales. Entonces se puede definir una sobreyección mapeando sumas formales con las sumas correspondientes de miembros de . Es decir, los mapas de sobreyección ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F = \ mathbb {Z} ^ {(A)}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$

donde es el coeficiente entero del elemento base en una suma formal dada, la primera suma está adentro y la segunda suma está adentro . Esta sobreyección es el homomorfismo grupal único que extiende la función , por lo que su construcción puede verse como una instancia de la propiedad universal. ${\ Displaystyle a_ {x}}$${\ Displaystyle e_ {x}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle e_ {x} \ mapsto x}$

Cuando y son como arriba, el núcleo de la sobreyección de a también es abeliano libre, ya que es un subgrupo de (el subgrupo de elementos mapeados a la identidad). Por lo tanto, estos grupos forman una breve secuencia exacta${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle F}$

en el que y son abelianos libres y isomorfos al grupo de factores . Esta es una resolución gratuita de . Además, asumiendo el axioma de elección , los grupos abelianos libres son precisamente los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle F / G}$${\ Displaystyle A}$

Aplicaciones

Topología algebraica

Artículo principal: Cadena (topología algebraica)

En topología algebraica , una suma formal de

simplices -dimensionales se llama una -cadena, y el grupo abeliano libre que tiene una colección de -simplices como base se llama grupo de cadena. Los simplices generalmente se toman de algún espacio topológico, por ejemplo, como el conjunto de -simplices en un complejo simplicial , o el conjunto de singulares -simplices en una variedad . Cualquier simplex -dimensional tiene un límite que puede representarse como una suma formal de simplices -dimensionales, y la propiedad universal de los grupos abelianos libres permite que este operador de límite se extienda a un homomorfismo de grupo de -cadenas a -cadenas. El sistema de grupos de cadenas unidos por operadores de límites de esta manera forma un complejo de cadenas , y el estudio de los complejos de cadenas forma la base de la teoría de la homología . ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle (k-1)}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle (k-1)}$

Geometría algebraica y análisis complejo

Artículo principal: Divisor (geometría algebraica)

La función racional tiene un cero de orden cuatro en 0 (el punto negro en el centro de la gráfica) y polos simples en los cuatro números complejos y (los puntos blancos en los extremos de los cuatro pétalos). Puede ser representado (hasta un escalar ) por el divisor donde es el elemento base para un número complejo en un grupo abeliano libre sobre los números complejos.${\ Displaystyle z ^ {4} / (z ^ {4} -1)}$${\ Displaystyle \ pm 1}$${\ Displaystyle \ pm i}$${\ Displaystyle 4e_ {0} -e_ {1} -e _ {- 1} -e_ {i} -e _ {- i}}$${\ Displaystyle e_ {z}}$${\ Displaystyle z}$

Cada función racional sobre los números complejos se puede asociar con un conjunto múltiple con signo de números complejos , los

ceros y los polos de la función (puntos donde su valor es cero o infinito). La multiplicidad de un punto en este multiconjunto es su orden como cero de la función, o la negación de su orden como polo. Luego, la función en sí se puede recuperar a partir de estos datos, hasta un factor escalar , como ${\ Displaystyle c_ {i}}$${\ Displaystyle m_ {i}}$

$${\ Displaystyle f (q) = \ prod (q-c_ {i}) ^ {m_ {i}}.}$$

Si estos conjuntos múltiples se interpretan como miembros de un grupo abeliano libre sobre los números complejos, entonces el producto o cociente de dos funciones racionales corresponde a la suma o diferencia de dos miembros del grupo. Por lo tanto, el grupo multiplicativo de funciones racionales se puede factorizar en el grupo multiplicativo de números complejos (los factores escalares asociados para cada función) y el grupo abeliano libre sobre los números complejos. Las funciones racionales que tienen un valor límite distinto de cero en el infinito (las funciones meromórficas en la esfera de Riemann ) forman un subgrupo de este grupo en el que la suma de las multiplicidades es cero.

Esta construcción se ha generalizado, en geometría algebraica , a la noción de divisor . Existen diferentes definiciones de divisores, pero en general forman una abstracción de una subvariedad de codimensión uno de una variedad algebraica , el conjunto de puntos de solución de un sistema de ecuaciones polinómicas. En el caso donde el sistema de ecuaciones tiene un grado de libertad (sus soluciones forman una curva algebraica o superficie de Riemann ), una subvariedad tiene codimensión uno cuando consta de puntos aislados, y en este caso un divisor es nuevamente un multiset de puntos con signo. de la variedad. Las funciones meromórficas en una superficie compacta de Riemann tienen un número finito de ceros y polos, y sus divisores pueden representarse nuevamente como elementos de un grupo abeliano libre, con la multiplicación o división de funciones correspondientes a la suma o resta de elementos del grupo. Sin embargo, en este caso existen restricciones adicionales en el divisor más allá de tener una suma cero de multiplicidades.

Anillos de grupo

El anillo de grupo , para cualquier grupo , es un anillo cuyo grupo aditivo está sobre el grupo abeliano libre . Cuando es finito y abeliano, el grupo multiplicativo de

unidades en tiene la estructura de un producto directo de un grupo finito y un grupo abeliano libre finitamente generado. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

Referencias