Teorema de inserción de corte - Cut-insertion theorem

El teorema de inserción de corte , también conocido como teorema de Pellegrini , es un teorema de red lineal que permite la transformación de una red genérica N en otra red N 'que simplifica el análisis y cuyas propiedades principales son más evidentes.

Declaración

Red lineal genérica N.

Red lineal equivalente N '.

Implementación del circuito de tres terminales mediante una fuente independiente W _r y una inmitancia X _p .

Sean e , h , u , w , q = q ' y t = t' seis nodos arbitrarios de la red N y una fuente de voltaje o corriente independiente conectada entre e y h , mientras que es la cantidad de salida, ya sea un voltaje o la corriente, en relación con la rama con inmitancia , conectado entre u y w . Veamos ahora cortamos la 'qq conexión e insertar un circuito de tres terminales ( 'TTC') entre los dos nodos q y q' y el nodo de t = t' , como en la Figura b ( y son homogéneos cantidades, tensiones o corrientes, en relación con los puertos qt y q'q't ' del TTC). ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X_ {u}}$ ${\ Displaystyle W_ {r}}$ ${\ Displaystyle W_ {p}}$

Para que las dos redes N y N 'sean equivalentes para cualquiera , deben satisfacerse las dos restricciones y , donde la línea superior indica la cantidad dual. ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle W_ {r} = W_ {p}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {r}}} = {\ bar {W_ {p}}}}$

El circuito de tres terminales mencionado anteriormente se puede implementar, por ejemplo, conectando una fuente de corriente o voltaje independiente ideal entre q ' y t' , y una inmitancia entre q y t . ${\ Displaystyle W_ {p}}$ ${\ Displaystyle X_ {p}}$

Funciones de red

Con referencia a la red N ', se pueden definir las siguientes funciones de red :

${\ Displaystyle A \ equiv {\ frac {U} {W_ {p}}} | _ {S = 0} \! \,}$ ; ; ${\ Displaystyle \ beta \ equiv {\ frac {W_ {r}} {U}} | _ {S = 0} \! \,}$ ${\ Displaystyle X_ {i} \ equiv {\ frac {W_ {p}} {\ bar {W_ {p}}}} | _ {S = 0} \! \,}$

${\ Displaystyle \ gamma \ equiv {\ frac {U} {S}} | _ {W_ {p} = 0} \! \,}$ ; ; ${\ Displaystyle \ alpha \ equiv {\ frac {W_ {r}} {S}} | _ {W_ {p} = 0} \! \,}$ ${\ Displaystyle \ rho \ equiv {\ frac {\ bar {W_ {p}}} {S}} | _ {W_ {p} = 0} \! \,}$

de lo cual, aprovechando el teorema de superposición , obtenemos:

${\ Displaystyle W_ {r} = \ alpha S + \ beta AW_ {p}}$

${\ Displaystyle {\ bar {W_ {p}}} = \ rho S + {\ frac {W_ {p}} {X_ {i}}}}$ .

Por tanto, la primera restricción para la equivalencia de las redes se satisface si . ${\ Displaystyle W_ {p} = {\ frac {\ alpha} {1- \ beta A}} S}$

Además,

${\ Displaystyle {\ bar {W_ {r}}} = {\ frac {W_ {r}} {X_ {p}}}}$

${\ Displaystyle {\ bar {W_ {p}}} = \ left ({\ frac {1} {X_ {i}}} + {\ frac {\ rho} {\ alpha}} (1- \ beta A) \ right) W_ {r}}$

por lo tanto, la segunda restricción para la equivalencia de las redes se cumple si ${\ Displaystyle {\ frac {1} {X_ {p}}} = {\ frac {1} {X_ {i}}} + {\ frac {\ rho} {\ alpha}} (1- \ beta A) }$

Función de transferencia

Si consideramos las expresiones para las funciones de red y , la primera restricción para la equivalencia de las redes, y también consideramos que, como resultado del principio de superposición , la función de transferencia está dada por ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle U = \ gamma S + AW_ {p}}$ ${\ Displaystyle A_ {f} \ equiv {\ frac {U} {S}}}$

${\ Displaystyle A_ {f} = {\ frac {\ alpha A} {1- \ beta A}} + \ gamma}$ .

Para el caso particular de un amplificador realimentado , las funciones de la red , y tener en cuenta las no idealidades de tal amplificador. En particular: ${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ alpha}$ tiene en cuenta la no idealidad de la red de comparación en la entrada
${\ Displaystyle \ gamma}$ tiene en cuenta la no unidireccionalidad de la cadena de retroalimentación
${\ Displaystyle \ rho}$ tiene en cuenta la no unidireccionalidad de la cadena de amplificación.

Si el amplificador puede considerarse ideal, es decir, si , y , la función de transferencia se reduce a la expresión conocida derivada de la teoría de retroalimentación clásica: ${\ Displaystyle \ alpha = 1}$ ${\ Displaystyle \ rho = 0}$ ${\ Displaystyle \ gamma = 0}$

${\ Displaystyle A_ {f} = {\ frac {A} {1- \ beta A}}}$ .

Evaluación de la impedancia y de la admitancia entre dos nodos

La evaluación de la impedancia (o de la admitancia ) entre dos nodos se simplifica un poco con el teorema de inserción de corte.

Impedancia

Cut para la evaluación de la impedancia entre los nodos k = h y j = e = q .

Insertemos una fuente genérica entre los nodos j = e = q y k = h entre los que queremos evaluar la impedancia . Al realizar un corte como se muestra en la figura, notamos que la inmitancia está en serie con y, por lo tanto, la corriente a través de ella es la misma que la proporcionada por . Si elegimos una fuente de voltaje de entrada y, como consecuencia, una corriente y una impedancia , podemos escribir las siguientes relaciones: ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle Z}$ ${\ Displaystyle X_ {p}}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle V_ {s} = S}$ ${\ Displaystyle I_ {s} = {\ bar {S}}}$ ${\ Displaystyle Z_ {p} = X_ {p}}$

${\ Displaystyle Z = {\ frac {V_ {s}} {I_ {s}}} = {\ frac {V_ {s}} {I_ {r}}} = Z_ {p} {\ frac {V_ {s }} {V_ {r}}} = Z_ {p} {\ frac {V_ {s}} {V_ {p}}} = Z_ {p} {\ frac {1- \ beta A} {\ alpha}} }$ .

Teniendo en cuenta que , donde es la impedancia vista entre los nodos k = h y t si remove y cortocircuito las fuentes de tensión, se obtiene la impedancia entre los nodos j y k en la forma: ${\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {V_ {r}} {V_ {s}}} | _ {V_ {p} = 0} = {\ frac {Z_ {p}} {Z_ {p} + Z_ { segundo}}}}$ ${\ Displaystyle Z_ {b}}$ ${\ Displaystyle Z_ {p}}$ ${\ Displaystyle Z}$

${\ Displaystyle Z = \ left (Z_ {p} + Z_ {b} \ right) \ left (1- \ beta A \ right)}$

Entrada

Corte para la evaluación de la impedancia entre los nodos k = h = t y j = e = q .

Procedemos de forma análoga al caso de impedancia, pero esta vez el corte será como se muestra en la figura de la derecha, notando que ahora está en paralelo a . Si consideramos una fuente de corriente de entrada (como resultado tenemos un voltaje ) y una admitancia , la admitancia entre los nodos j y k se puede calcular de la siguiente manera: ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle X_ {p}}$ ${\ Displaystyle I_ {s} = S}$ ${\ Displaystyle V_ {s} = {\ bar {S}}}$ ${\ Displaystyle Y_ {p} = X_ {p}}$ ${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle Y = {\ frac {I_ {s}} {V_ {s}}} = {\ frac {I_ {s}} {V_ {r}}} = Y_ {p} {\ frac {I_ {s }} {I_ {r}}} = Y_ {p} {\ frac {I_ {s}} {I_ {p}}} = Y_ {p} {\ frac {1- \ beta A} {\ alpha}} }$ .

Teniendo en cuenta que , donde es la admitancia visto entre los nodos k = h y t si quitamos y abrir las fuentes de corriente, se obtiene la admitancia en la forma: ${\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {I_ {r}} {I_ {s}}} | _ {I_ {p} = 0} = {\ frac {Y_ {p}} {Y_ {p} + Y_ { segundo}}}}$ ${\ Displaystyle Y_ {b}}$ ${\ Displaystyle Y_ {p}}$ ${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle Y = \ left (Y_ {p} + Y_ {b} \ right) \ left (1- \ beta A \ right)}$

Comentarios

Implementación del circuito de tres terminales mediante fuente independiente y fuente dependiente .

{\ Displaystyle W_ {p}}

{\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}}}

La implementación del TTC con una fuente independiente y una inmitancia es útil e intuitiva para el cálculo de la impedancia entre dos nodos, pero implica, como en el caso de las otras funciones de red, la dificultad de cálculo de la ecuación de equivalencia. Esta dificultad puede evitarse utilizando una fuente dependiente en lugar de y utilizando la fórmula de Blackman para la evaluación de . Tal implementación del TTC permite encontrar una topología de retroalimentación incluso en una red que consta de una fuente de voltaje y dos impedancias en serie. ${\ Displaystyle W_ {p}}$ ${\ Displaystyle X_ {p}}$ ${\ Displaystyle X_ {p}}$ ${\ displaystyle {\ bar {W_ {p}}}}$ ${\ Displaystyle X_ {p}}$ ${\ Displaystyle X}$

Notas

^ Bruno Pellegrini ha sido el primer graduado de Ingeniería Electrónica en la Universidad de Pisa, donde actualmente es Profesor Emérito. También es autor del teorema de electrocinemática , que conecta la velocidad y la carga de los portadores que se mueven dentro de un volumen arbitrario con las corrientes, voltajes y potencia en su superficie a través de un vector irrotacional arbitrario.
^ Nótese que para la evaluación de X_p necesitamos funciones de red que dependen, a su vez, de X_p . Por lo tanto, para proceder con los cálculos, es apropiado realizar un corte para el cual ρ = 0, de modo que X_p = X_i .
^ RB Blackman, Efecto de la retroalimentación sobre la impedancia , Bell System Tech. J. 22, 269 (1943).

Referencias

B. Pellegrini, Consideraciones sobre la teoría de la retroalimentación , Alta Frequenza 41, 825 (1972).
B. Pellegrini, Teoría de retroalimentación mejorada , IEEE Transactions on Circuits and Systems 56, 1949 (2009).

Ver también

[1] Bruno Pellegrini ha sido el primer graduado de Ingeniería Electrónica en la Universidad de Pisa, donde actualmente es Profesor Emérito. También es autor del teorema de electrocinemática , que conecta la velocidad y la carga de los portadores que se mueven dentro de un volumen arbitrario con las corrientes, voltajes y potencia en su superficie a través de un vector irrotacional arbitrario.

[2] Nótese que para la evaluación de X_p necesitamos funciones de red que dependen, a su vez, de X_p . Por lo tanto, para proceder con los cálculos, es apropiado realizar un corte para el cual ρ = 0, de modo que X_p = X_i .

[3] RB Blackman, Efecto de la retroalimentación sobre la impedancia , Bell System Tech. J. 22, 269 (1943).

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