Desviación absoluta promedio - Average absolute deviation

La desviación absoluta promedio ( AAD ) de un conjunto de datos es el promedio de las desviaciones absolutas desde un punto central . Es una estadística resumida de dispersión o variabilidad estadística . En la forma general, el punto central puede ser una media , mediana , moda o el resultado de cualquier otra medida de tendencia central o cualquier valor de referencia relacionado con el conjunto de datos dado. La AAD incluye la desviación absoluta media y la desviación absoluta media (ambas abreviadas como MAD ).

Medidas de dispersión

Varias medidas de dispersión estadística se definen en términos de la desviación absoluta. El término "desviación absoluta promedio" no identifica de manera única una medida de dispersión estadística , ya que hay varias medidas que se pueden usar para medir desviaciones absolutas, y hay varias medidas de tendencia central que también se pueden usar. Por tanto, para identificar unívocamente la desviación absoluta es necesario especificar tanto la medida de la desviación como la medida de la tendencia central. Desafortunadamente, la literatura estadística aún no ha adoptado una notación estándar, ya que tanto la desviación absoluta media alrededor de la media como la desviación absoluta media alrededor de la mediana han sido denotadas por sus iniciales "MAD" en la literatura, lo que puede generar confusión, ya que en general, pueden tener valores considerablemente diferentes entre sí.

Desviación absoluta media alrededor de un punto central

La desviación media absoluta de un conjunto { x ₁ , x ₂ , ..., x _n } es

{\ Displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} -m (X) |.}

La elección de la medida de tendencia central`` tiene un efecto marcado sobre el valor de la desviación media. Por ejemplo, para el conjunto de datos {2, 2, 3, 4, 14}: ${\ Displaystyle m (X)}$

Medida de tendencia central ${\ Displaystyle m (X)}$	Desviación media absoluta
Media = 5	${\ Displaystyle {\ frac {\| 2-5 \| + \| 2-5 \| + \| 3-5 \| + \| 4-5 \| + \| 14-5 \|} {5}} = 3,6}$
Mediana = 3	${\ Displaystyle {\ frac {\| 2-3 \| + \| 2-3 \| + \| 3-3 \| + \| 4-3 \| + \| 14-3 \|} {5}} = 2,8}$
Modo = 2	${\ Displaystyle {\ frac {\| 2-2 \| + \| 2-2 \| + \| 3-2 \| + \| 4-2 \| + \| 14-2 \|} {5}} = 3,0}$

La desviación absoluta media de la mediana es menor o igual que la desviación absoluta media de la media. De hecho, la desviación absoluta media de la mediana es siempre menor o igual que la desviación absoluta media de cualquier otro número fijo.

La desviación absoluta media de la media es menor o igual que la desviación estándar ; una forma de probar esto se basa en la desigualdad de Jensen .

Prueba

La desigualdad de Jensen es , donde φ es una función convexa, esto implica que:

{\ Displaystyle \ varphi \ left (\ mathbb {E} [Y] \ right) \ leq \ mathbb {E} \ left [\ varphi (Y) \ right]}

{\ Displaystyle Y = \ vert X- \ mu \ vert}

{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left (| X- \ mu \ right |) ^ {2} \ leq \ mathbb {E} \ left (| X- \ mu | ^ {2} \ right)}

{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left (| X- \ mu \ right |) ^ {2} \ leq \ operatorname {Var} (X)}

Dado que ambos lados son positivos y la raíz cuadrada es una función que aumenta monótonamente en el dominio positivo:

{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left (| X- \ mu \ right |) \ leq {\ sqrt {\ operatorname {Var} (X)}}}

Para un caso general de esta afirmación, consulte la desigualdad de Hölder .

Para la distribución normal , la relación entre la desviación absoluta media y la desviación estándar es . Por lo tanto, si X es una variable aleatoria normalmente distribuida con valor esperado 0, ver Geary (1935): ${\ Displaystyle {\ sqrt {2 / \ pi}} = 0,79788456 \ ldots}$

{\ Displaystyle w = {\ frac {E | X |} {\ sqrt {E (X ^ {2})}}} = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}}.}

En otras palabras, para una distribución normal, la desviación absoluta media es aproximadamente 0,8 veces la desviación estándar. Sin embargo, las mediciones dentro de la muestra proporcionan valores de la relación entre la desviación promedio promedio / desviación estándar para una muestra gaussiana dada n con los siguientes límites:, con un sesgo para n pequeño . ${\ Displaystyle w_ {n} \ in [0,1]}$

Desviación absoluta media alrededor de la media

La desviación absoluta media (MAD), también denominada "desviación media" o, a veces, "desviación absoluta media", es la media de las desviaciones absolutas de los datos alrededor de la media de los datos: la distancia media (absoluta) de la media. La "desviación absoluta promedio" puede referirse a este uso o a la forma general con respecto a un punto central específico (ver arriba).

Se ha propuesto que se utilice MAD en lugar de la desviación estándar, ya que se corresponde mejor con la vida real. Debido a que la DMA es una medida de variabilidad más simple que la desviación estándar , puede ser útil en la enseñanza escolar.

La precisión del pronóstico de este método está muy relacionada con el método del error cuadrático medio (MSE), que es solo el error cuadrático medio de los pronósticos. Aunque estos métodos están muy relacionados, MAD se usa con más frecuencia porque es más fácil de calcular (evitando la necesidad de cuadrar) y más fácil de entender.

Desviación absoluta media alrededor de la mediana

La desviación absoluta mediana (mediana MAD) es la mediana de la desviación absoluta de la mediana . Es un estimador robusto de dispersión .

La mediana de MAD ofrece una medida directa de la escala de una variable aleatoria alrededor de su mediana.

{\ Displaystyle D _ {\ text {mediano}} = E | X - {\ text {mediano}} |}

Este es el estimador de máxima verosimilitud del parámetro de escala de la distribución de Laplace . Para la distribución normal tenemos . Dado que la mediana minimiza la distancia absoluta promedio, tenemos y . ${\ Displaystyle b}$ ${\ Displaystyle D _ {\ text {mean}} = \ sigma {\ sqrt {2 / \ pi}} \ approx 0.797884 \ sigma}$ ${\ Displaystyle D _ {\ text {mediano}} \ leq D _ {\ text {mean}}}$ ${\ Displaystyle D _ {\ text {med}} = \ operatorname {erf} ^ {- 1} (1/2) \ sigma \ approx 0.67449 \ sigma}$

Utilizando la función de dispersión general, Habib (2011) definió la DMA sobre la mediana como

{\ Displaystyle D _ {\ text {mediano}} = E | X - {\ text {mediano}} | = 2 \ operatorname {Cov} (X, I_ {O})}

donde la función del indicador es

{\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {O}: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x> {\ text {mediana}}, \\ 0 & {\ text {de otro modo}}. \ finalizar {casos}}}

Esta representación permite obtener los coeficientes de correlación de la mediana MAD.

Para el ejemplo {2, 2, 3, 4, 14}: 3 es la mediana, por lo que las desviaciones absolutas de la mediana son {1, 1, 0, 1, 11} (reordenadas como {0, 1, 1, 1 , 11}) con una mediana de 1, en este caso no se ve afectado por el valor del valor atípico 14, por lo que la desviación absoluta mediana (también llamada MAD) es 1.

Desviación absoluta máxima

La desviación absoluta máxima alrededor de un punto arbitrario es el máximo de las desviaciones absolutas de una muestra desde ese punto. Si bien no es estrictamente una medida de tendencia central, la desviación absoluta máxima se puede encontrar usando la fórmula para la desviación absoluta promedio como arriba con , donde es el máximo de la muestra . ${\ Displaystyle m (X) = \ max (X)}$ ${\ Displaystyle \ max (X)}$

Minimización

Las medidas de dispersión estadística derivadas de la desviación absoluta caracterizan varias medidas de tendencia central como minimizando la dispersión: La mediana es la medida de tendencia central más asociada con la desviación absoluta. Algunos parámetros de ubicación se pueden comparar de la siguiente manera:

Estadísticas de norma L ² : la media minimiza el error cuadrático medio
L ¹ norma Estadísticas: los minimiza la mediana promedio de desviación absoluta,
Estadísticas de norma L ^∞ : el rango medio minimiza ladesviación absoluta máxima
Estadísticas de norma L ^∞ recortadas : por ejemplo, la mitad del margen (promedio del primer y tercer cuartiles ) que minimiza la desviación absoluta media de toda la distribución, también minimiza la desviación absoluta máxima de la distribución después de que se hayan recortado el 25% superior e inferior. .

Estimacion

La desviación absoluta media de una muestra es un estimador sesgado de la desviación absoluta media de la población. Para que la desviación absoluta sea un estimador insesgado, el valor esperado (promedio) de todas las desviaciones absolutas de la muestra debe ser igual a la desviación absoluta de la población. Sin embargo, no es así. Para la población 1, 2, 3 tanto la desviación absoluta de la población con respecto a la mediana como la desviación absoluta de la población con respecto a la media son 2/3. El promedio de todas las desviaciones absolutas de la muestra con respecto a la media de tamaño 3 que se puede extraer de la población es 44/81, mientras que el promedio de todas las desviaciones absolutas de la muestra con respecto a la mediana es 4/9. Por tanto, la desviación absoluta es un estimador sesgado.

Sin embargo, este argumento se basa en la noción de imparcialidad media. Cada medida de ubicación tiene su propia forma de sesgo (consulte la entrada sobre estimador sesgado ). La forma relevante de imparcialidad aquí es la imparcialidad mediana.

Ver también

Referencias

enlaces externos

Ventajas de la desviación media absoluta

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