Apropiere

Aproximarea ( latina proximus , „cea mai apropiată”) este inițial un sinonim pentru o „aproximare”; În matematică, totuși, termenul este specificat ca metodă de aproximare .

Din punct de vedere matematic, există diverse motive pentru a investiga aproximările. Cele mai frecvente în zilele noastre sunt:

• Soluția aproximativă a unei ecuații . Dacă o soluție analitică exactă a ecuației nu este disponibilă, se dorește găsirea unei aproximări a soluției într-un mod simplu.
• Reprezentarea aproximativă a funcțiilor sau numerelor . Dacă un obiect matematic dat în mod explicit este dificil de manevrat, este de dorit o aproximare din structuri simple.
• Reconstrucția aproximativă a funcțiilor necunoscute din date incomplete. Dacă informațiile despre funcția necunoscută sunt disponibile numai sub formă discretă, ca valori ale funcției peste anumite puncte de sprijin, este de dorit o reprezentare închisă care definește valorile funcției pe un continuum.

În multe cazuri, o metodă numerică se bazează pe ideea aproximării unei funcții complicate (și deseori numai implicit cunoscute) prin intermediul unei funcții ușor de utilizat. Teoria aproximării este astfel o parte integrantă a matematicii moderne aplicate. Oferă o bază teoretică pentru multe metode noi și stabilite de soluții asistate de computer.

Tipuri de aproximare

Socoteală

Una dintre cele mai comune forme de aproximare este reprezentarea unui număr irațional ca număr cu un număr finit de zecimale și rotunjirea unui număr la un număr cu mai puține zecimale, adică calculul unei valori aproximative . De exemplu:

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 {,} 41421356 \ approx 1 {,} 41}$

Marea majoritate a programelor de calculator funcționează cu numere în virgulă mobilă conform standardului IEEE 754 , în care numerele sunt reprezentate cu un număr finit de cifre, care în orice caz necesită rotunjire în cazul numerelor iraționale și al fracțiilor periodice. Acuratețea reprezentării în computer este determinată de tipul de date selectat .

Teoria aproximării diofantine tratează aproximarea numerelor iraționale de către cele raționale .

Obiecte geometrice

Apropierea unui cerc prin pentagone, hexagoane și octogonuri

În geometrie , obiectele complicate pot fi adesea aproximate folosind poligoane . Astfel calculată ca Arhimede o aproximare la figura cercului printr-un cerc cu poligoane regulate abordate cu tot mai multe colțuri. ${\ displaystyle \ pi}$

Funcții

Aproximarea funcțiilor prezintă un interes deosebit, de exemplu ecuațiile diferențiale care nu pot fi rezolvate exact pentru soluțiile aproximative . Cea mai comună formă este aproximarea cu polinoame , deoarece acestea pot fi ușor derivate , integrate și calculate. Cea mai comună metodă aici se bazează pe extinderea seriei Taylor . Analiza Fourier are, de asemenea, o mare importanță practică , în care funcțiile periodice sunt dezvoltate în serii infinite de funcții sinus și cosinus .

Multe dintre aceste metode de aproximare își au fundamentul teoretic în teorema Stone-Weierstraß (denumită după Marshall Harvey Stone și Karl Weierstraß ) , din care rezultă, nu în ultimul rând, că orice funcție continuă pe un interval real compact poate fi aproximată în mod egal și arbitrar precizie folosind polinoame în același mod fiecare funcție continuă care este periodică în câmpul numerelor reale poate fi aproximată cu precizie egală și arbitrară prin funcții trigonometrice .

Termenul normă are o importanță centrală pentru aproximări . Acesta este utilizat pentru a compara cantitativ diferite aproximări. În general, soluția aproximativă pentru diferite standarde este diferită. Este important să puteți estima eroarea care apare din aproximare pentru a evalua calitatea acesteia. Acest lucru nu este întotdeauna ușor și este o sarcină importantă a teoriei aproximării.

Exemple clasice aici sunt, pe de o parte, aproximarea Chebyshev , în care funcțiile continue sau complexe sunt aproximate în raport cu norma supremă și aproximarea, în care funcțiile L ^p sunt aproximate în raport cu norma. ${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle L ^ {p}}$

Un exemplu de aproximare a funcțiilor este aproximarea cu unghi mic , în care funcția sinusoidală este înlocuită de unghiul său, iar funcția cosinusului este înlocuită de constanta 1. Este valabil pentru unghiuri mici și este folosit, de exemplu, pentru rezolvarea pendulului matematic .

Ordinea de aproximare

O măsură a calității aproximării unei funcții este ordinea. Aproximarea de ordinul al treilea este una în care eroarea este de ordinul mărimii . O aproximare de ordinul întâi se numește aproximare liniară , iar o aproximare de ordinul doi se numește aproximare pătratică . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (x ^ {n + 1})}$

În fizică, aproximarea liniară este adesea suficientă, deoarece de obicei are cea mai mare influență. Termenii de ordine superioară sunt importanți atunci când efectele liniare sunt suprimate, cum ar fi în optica neliniară .

Teoreme de aproximare importante

Teoria aproximării și analiza funcțională

• Teorema de aproximare pentru operatorii compacti
• Teorema de aproximare pentru spații uniform convexe
• Teorema de aproximare pentru spații unitare reale
• Teorema de aproximare a lui Korowkin
• Teorema de aproximare a lui Müntz
• Teorema de aproximare a lui Runge
• Teorema lui Mergelyan
• Teorema Stone-Weierstrass

Teoria numerelor

• Teorema de aproximare a lui Kronecker
• Teorema de aproximare a lui Liouville
• Teorema de aproximare a Dirichletscher
• Teorema de aproximare pentru numerele p-adic
• Teorema lui Hurwitz
• Teorema Thue-Siegel-Roth

Informatică teoretică

Aproximările joacă, de asemenea, un rol în informatica teoretică. Există probleme de optimizare NP complete pentru care nu este posibil să se calculeze eficient o soluție exactă. Algoritmii de aproximare pot fi folosiți aici pentru a calcula o aproximare. Un exemplu este problema rucsacului , în care, de la o anumită dimensiune a problemei încoace, este necesar un mare efort de calcul pentru a calcula o soluție optimă, dar acolo unde există algoritmi de aproximare buni care pot fi utilizați pentru a calcula eficient soluțiile aproximative.

literatură

• Lothar Collatz , Werner Krabs : Teoria aproximării. Aproximarea Chebyshev cu aplicațiile. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6 .
• Armin Iske: Aproximare (Masterclass). Springer Spectrum, 2018, ISBN 978-3662554647 .
• Günter Meinardus : Aproximarea funcțiilor și tratamentul lor numeric (=  Springer Tracts in Natural Philosophy . Volume 4 ). Springer Verlag , Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 ( MR0176272 ). 
• Manfred W. Müller : Teoria aproximării. Akademische Verlags-Gesellschaft, Wiesbaden 1978, ISBN 3-400-00375-1 .
• MJD Powell : Teorie și metode de aproximare. Cambridge University Press, Cambridge și colab. 1981, ISBN 0-521-22472-1 .
• R. Schaback : Aproximare numerică. (PDF; 7,3 MB) În: Raportul anual al Asociației germane a matematicienilor. 88, nr. 2, 1986, ISSN  0012-0456 , pp. 51-81. => MR0838860
• Holger Wendland : Aproximarea datelor împrăștiate. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521131018 .
• Eberhard Zeidler : Analiza funcțională neliniară și aplicațiile sale I: teoreme cu punct fix . Traducere de Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1986, ISBN 0-387-90914-1 ( MR0816732 ).