Determinante

Na álgebra linear , o determinante é um número (um escalar ) que é atribuído a uma matriz quadrada e pode ser calculado a partir de suas entradas. Ele indica como o volume muda no mapeamento linear descrito pela matriz e é uma ajuda útil na resolução de sistemas de equações lineares. De maneira mais geral, pode-se atribuir um determinante a cada autmapeamento linear ( endomorfismo ). As notações comuns para o determinante de uma matriz quadrada são , ou . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ det (A)}$${\ displaystyle \ det A}$${\ displaystyle | A |}$

Por exemplo, o determinante de uma matriz ${\ displaystyle 2 \ vezes 2}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}}}$

com a fórmula

${\ displaystyle \ det A = {\ begin {vmatrix} a & c \\ b & d \ end {vmatrix}} = ad-bc}$

ser calculado.

Com a ajuda de determinantes, pode-se determinar, por exemplo, se um sistema linear de equações pode ser resolvido de maneira única, e pode-se definir explicitamente a solução com a ajuda da regra de Cramer . O sistema de equações pode ser resolvido exclusivamente se e somente se o determinante da matriz de coeficiente não for igual a zero. Correspondentemente, uma matriz quadrada com entradas de um campo pode ser invertida se e somente se seu determinante não for igual a zero.

Se escrevermos vetores como colunas de uma matriz quadrada, o determinante dessa matriz pode ser formado. Se os vetores formam a base para esta definição , o sinal do determinante pode ser usado para definir a orientação dos espaços euclidianos . O valor absoluto desse determinante também corresponde ao volume do n- Paralelotopo (também chamado de Spat), que é medido por esses vetores. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

Se o mapeamento linear for representado pela matriz e for qualquer subconjunto mensurável , segue-se que o volume de é dado por . ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f (S)}$${\ displaystyle \ left | \ det A \ right | \ cdot \ operatorname {volume} (S)}$

Se o mapeamento linear for representado pela matriz e for qualquer subconjunto mensurável, geralmente considera-se que o volume dimensional de é dado por . ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle m \ times n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f (S)}$${\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {\ det (A ^ {T} A)}} \ cdot \ operatorname {volume} (S)}$

O conceito de determinante é de interesse para matrizes com . Pois ele degenera em trivialidade : um sistema linear de equações para o caso consiste em uma equação . O critério de solvabilidade e a estratégia para esta equação são conhecidos: If , set . ${\ displaystyle (n \ vezes n)}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle \ det a = a}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle ax = b}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle x: = a ^ {- 1} b}$

definição

Existem várias maneiras de definir o determinante (veja abaixo). O mais comum é a seguinte definição recursiva.

Desenvolvimento do determinante de acordo com uma coluna ou linha:

Para n = 2:

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {vmatrix}} = a_ {11} a_ {22} -a_ {21} a_ {12}}$

Para n = 3: desenvolvimento após a 1ª coluna

${\ displaystyle | A | = {\ begin {vmatrix} {\ color {red} a_ {11}} & a_ {12} & a_ {13} \\ {\ color {blue} a_ {21}} & a_ { 22} & a_ {23} \\ {\ color {red} a_ {31}} & a_ {32} & a_ {33} \ end {vmatrix}} = {\ color {red} a_ {11}} \, {\ begin {vmatrix} \ Box & \ Box & \ Box \\\ Box & a_ {22} & a_ {23} \\\ Box & a_ {32} & a_ {33} \ end {vmatrix}} - { \ color {blue} a_ {21}} \, {\ begin {vmatrix} \ Box & a_ {12} & a_ {13} \\\ Box & \ Box & \ Box \\\ Box & a_ {32} & a_ {33} \ end {vmatrix}} + {\ color {red} a_ {31}} \, {\ begin {vmatrix} \ Box & a_ {12} & a_ {13} \\\ Box & a_ {22 } & a_ {23} \\\ Box & \ Box & \ Box \ end {vmatrix}}}$

${\ displaystyle = {\ color {red} a_ {11}} \, {\ begin {vmatrix} a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {32} & a_ {33} \ end {vmatrix}} - {\ color {blue} a_ {21}} \, {\ begin {vmatrix} a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {32} & a_ {33} \ end {vmatrix}} + {\ color { red} a_ {31}} \, {\ begin {vmatrix} a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {22} & a_ {23} \ end {vmatrix}}}$

Correspondentemente, para n = 4, ....

O teorema da expansão de Laplace (veja abaixo) diz:

• Você pode desenvolver um determinante de acordo com qualquer coluna ou linha, desde que mantenha o padrão de sinal do tabuleiro de xadrez:

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ color {red} +} & {\ color {blue} -} & {\ color {red} +} & \ cdots \\ {\ color {blue} -} & { \ color {red} +} & {\ color {blue} -} & \ cdots \\ {\ color {red} +} & {\ color {blue} -} & {\ color {red} +} & \ cdots \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \ end {vmatrix}}}$

Formalmente, pode ser escrito assim:

${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i + j} \ cdot a_ {ij} \ cdot \ det A_ {ij}}$(Desenvolvimento após a -ésima coluna)${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i + j} \ cdot a_ {ij} \ cdot \ det A_ {ij}}$(Desenvolvimento após a -ésima linha),${\ displaystyle i}$

onde o - é a sub-matriz da qual é criada excluindo a -ésima linha e a -ésima coluna. ${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle (n-1) \ vezes (n-1)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$

Exemplo:

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \ end {vmatrix}} = 0 \ cdot {\ begin {vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \ end {vmatrix}} - 3 \ cdot {\ begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \ end {vmatrix}} + 1 \ cdot {\ begin {vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \ end {vmatrix}}}$

${\ displaystyle = 0 \ cdot (2 \ cdot 0-1 \ cdot 1) -3 \ cdot (1 \ cdot 0-1 \ cdot 2) +1 \ cdot (1 \ cdot 1-2 \ cdot 2) = 0 + 6-3 = 3}$

Propriedades (resumo, veja abaixo)

1. ${\ displaystyle \ det E = 1}$para matriz de identidade ${\ displaystyle E}$
2. ${\ displaystyle \ det \ left (A ^ {\ textf {T}} \ right) = \ det (A)}$, onde está a matriz transposta de .${\ displaystyle A ^ {\ textf {T}}}$${\ displaystyle A}$
3. ${\ displaystyle \ det \ left (A ^ {- 1} \ right) = {\ frac {1} {\ det (A)}}.}$
4. Para matrizes quadradas e do mesmo tamanho, o teorema da multiplicação do determinante se aplica : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

   ${\ displaystyle \ det (AB) = \ det (A) \ det (B).}$

5. ${\ displaystyle \ det (cA) = c ^ {n} \ det (A)}$, para uma matriz e um número .${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c}$
6. Para uma matriz triangular, o seguinte se aplica${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ \ det (A) = a_ {11} a_ {22} \ cdots a_ {nn} \.}$
7. Se uma linha ou coluna consiste em zeros , o determinante é 0.
8. Se duas colunas (linhas) forem iguais , o determinante será 0.
9. Se você trocar duas colunas (linhas), um determinante muda seu sinal.
10. Se os vetores de coluna (vetores de linha) de uma matriz e um número forem: ${\ displaystyle v_ {1}, ..., v_ {n}}$${\ displaystyle c}$

    a1) ${\ displaystyle \ det (v_ {1} + {\ color {red} w}, v_ {2}, ... v_ {n}) = \ det (v_ {1}, v_ {2}, ... , v_ {n}) + \ det ({\ color {vermelho} w}, v_ {2}, ..., v_ {n})}$

    a2) , ${\ displaystyle \ det ({\ color {red} c} v_ {1}, v_ {2}, ... v_ {n}) = {\ color {red} c} \ det (v_ {1}, v_ {2}, ... v_ {n})}$

    correspondentemente para os outros vetores de coluna (vetores de linha).

    b) é o volume (orientado) ( área de superfície no caso n = 2) dos vetores abrangidos por Polytopes ( paralelogramo ).${\ displaystyle \ det (v_ {1}, ... v_ {n})}$${\ displaystyle v_ {1}, ... v_ {n}}$

11. Adicionar um múltiplo de uma coluna (linha) a outra coluna (linha) não altera um determinante. Portanto, você pode transformar um determinante com um algoritmo de Gauss enfraquecido em um determinante de triângulo e usar a propriedade 6. Observe as propriedades 9. e 10.a2).
12. A regra de Sarrus se aplica apenas aos determinantes :${\ displaystyle 3 \ vezes 3}$

Regra de Sarrus

Exemplo, aplicação das regras 11, 10, 8 :

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 6 \ end {vmatrix}} = 2 {\ begin {vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \ end {vmatrix}} = 0}$

Descrição axiomática

Um mapeamento do espaço das matrizes quadradas no corpo subjacente mapeia cada matriz para seu determinante se ela cumprir as seguintes três propriedades (axiomas de acordo com Karl Weierstraß ) , em que uma matriz quadrada é escrita como: ${\ displaystyle \ det \ dois pontos K ^ {n \ vezes n} \ a K}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A = (v_ {1}, \ dotsc, v_ {n})}$

• É multilinear, ou seja , H. linear em cada coluna:

O seguinte se aplica a todos : ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}, w \ in K ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ det (v_ {1}, \ ldots, v_ {i-1}, v_ {i} + w, v_ {i + 1}, \ ldots, v_ {n}) \\ & = \ det (v_ {1}, \ ldots, v_ {i-1}, v_ {i}, v_ {i + 1}, \ ldots, v_ {n}) + \ det (v_ {1} , \ ldots, v_ {i-1}, w, v_ {i + 1}, \ ldots, v_ {n}) \ end {alinhado}}}$

O seguinte se aplica a todos e a todos : ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \ in K ^ {n}}$${\ displaystyle r \ in K}$

${\ displaystyle \ det (v_ {1}, \ ldots, v_ {i-1}, r \ cdot v_ {i}, v_ {i + 1}, \ ldots, v_ {n}) = r \ cdot \ det (v_ {1}, \ ldots, v_ {i-1}, v_ {i}, v_ {i + 1}, \ ldots, v_ {n})}$

• É alternado, ou seja , ou seja, se o mesmo argumento estiver em duas colunas, o determinante é 0:

O seguinte se aplica a todos e a todos : ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \ in K ^ {n}}$${\ displaystyle i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}, i \ neq j}$

${\ displaystyle \ det (v_ {1}, \ ldots, v_ {i-1}, v_ {i}, v_ {i + 1}, \ ldots, v_ {j-1}, v_ {i}, v_ { j + 1} \ ldots, v_ {n}) = 0}$

Segue-se que o sinal muda se você trocar duas colunas:

O seguinte se aplica a todos e a todos : ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \ in K ^ {n}}$${\ displaystyle i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}, i \ neq j}$

${\ displaystyle \ det (v_ {1}, \ ldots, v_ {i}, \ ldots, v_ {j}, \ ldots, v_ {n}) = - \ det (v_ {1}, \ ldots, v_ { j}, \ ldots, v_ {i}, \ ldots, v_ {n})}$

Essa inferência é freqüentemente usada para definir o alternativo. Em geral, entretanto, não é equivalente ao anterior. Nomeadamente alternadamente definido na segunda maneira, não há determinantes exclusivos, formam-se quando o corpo sobre a qual o espaço vectorial é formado, um membro diferente de 0 com possui ( característica  2).${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x = -x}$

• É normalizado, ou seja , ou seja, a matriz de identidade tem o determinante 1:

${\ displaystyle \ det E_ {n} = 1}$

Pode ser provado (e Karl Weierstrass fez isso em 1864 ou mesmo antes) que há uma e apenas uma tal normalizada forma alternada multilinear na álgebra das matrizes sobre o subjacente corpo - ou seja, esta função determinante (etiqueta determinante Weierstrassian). A interpretação geométrica já mencionada (propriedade do volume e orientação) também segue daí. ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle \ det}$

Fórmula de Leibniz

O determinante de uma matriz foi definido por Gottfried Wilhelm Leibniz usando a fórmula hoje conhecida como fórmula de Leibniz para o determinante de uma matriz : ${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle A = (a_ {ij}) \ in K ^ {n \ vezes n}}$

${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ left (\ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ sigma (eu certo)}$

A soma é calculado ao longo de todas as permutações do grupo simétrico de grau n. denota o sinal da permutação (+1 se for uma permutação par e −1 se for ímpar) e é o valor da função da permutação naquele ponto . ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma (i)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle i}$

Esta fórmula contém somas e, portanto, torna-se mais difícil quanto maior for. No entanto, é adequado para provar afirmações sobre determinantes. Por exemplo, com a ajuda deles, a continuidade da função determinante pode ser vista. ${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$

Uma grafia alternativa da fórmula de Leibniz usa o símbolo Levi-Civita e a convenção de soma de Einstein :

${\ displaystyle \ det A = \ varepsilon _ {i_ {1} i_ {2} \ dots i_ {n}} a_ {1i_ {1}} a_ {2i_ {2}} \ dots a_ {ni_ {n}}}$

Determinante de um endomorfismo

Uma vez que matrizes semelhantes têm o mesmo determinante, a definição do determinante de matrizes quadradas pode ser transferida para os auto-mapeamentos lineares (endomorfismos) representados por essas matrizes:

O determinante de um mapeamento linear de um espaço vetorial em si é o determinante de uma matriz de representação de em relação a uma base de . É independente da escolha da base. ${\ displaystyle \ det f}$ ${\ displaystyle f \ dois pontos V \ a V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ det A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle V}$

Aqui pode haver qualquer espaço vetorial de dimensão finita sobre qualquer corpo . De uma forma mais geral, pode-se considerar também um anel comutativo com um único elemento e um módulo livre do posto superior . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle K}$

A definição pode ser formulada da seguinte forma, sem o uso de matrizes: Seja uma função determinante . Em seguida, ele é determinado por , pelo que o transporte de retorno de função n-linear é através . Que seja uma base de . Então, o seguinte se aplica: ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ det f}$${\ displaystyle f ^ {*} \ omega = \ left (\ det f \ right) \ omega}$${\ displaystyle f ^ {*}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ left (v_ {1}, \ dotsc, v_ {n} \ right)}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ det f: = {\ frac {\ omega \ left (f \ left (v_ {1} \ right), \ dotsc, f \ left (v_ {n} \ right) \ right)} {\ omega \ left (v_ {1}, \ dotsc, v_ {n} \ right)}}}$

É independente da escolha e da base. Interpretação geométrica dá o volume de de estendidos Spates pelo volume de de Spates gerado por um factor multiplicada. ${\ displaystyle \ det f}$${\ displaystyle \ omega \ neq 0}$${\ displaystyle \ left (f \ left (v_ {1} \ right), \ dotsc, f \ left (v_ {n} \ right) \ right)}$${\ displaystyle \ left (v_ {1}, \ dotsc, v_ {n} \ right)}$${\ displaystyle \ det f}$

Uma definição alternativa é a seguinte: Seja a dimensão de e a -ésima potência externa de . Então, há um mapa linear determinado exclusivamente que é passado por ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {n} V}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {n} f \ dois pontos \ Lambda ^ {n} V \ para \ Lambda ^ {n} V}$

${\ displaystyle v_ {1} \ wedge \ dotsb \ wedge v_ {n} \ mapsto f \ left (v_ {1} \ right) \ wedge \ dotsb \ wedge f \ left (v_ {n} \ right)}$

está consertado. (Este valor resulta da construção universal como uma continuação da para o álgebra exterior , restrito ao componente de grau .) ${\ displaystyle \ Lambda ^ {n} f}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ Lambda V}$${\ displaystyle n}$

Como o espaço vetorial é unidimensional, é apenas a multiplicação por um elemento do corpo. Esta parte do corpo é . Então se aplica ${\ displaystyle \ Lambda ^ {n} V}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {n} f}$${\ displaystyle \ det f}$

${\ displaystyle (\ Lambda ^ {n} f) (v_ {1} \ wedge \ dotsb \ wedge v_ {n}) = (\ det f) \, v_ {1} \ wedge \ dotsb \ wedge v_ {n} }$.

Outras formas de calcular

Produto atrasado

Se houver uma matriz, seu determinante também pode ser calculado usando o produto tardio . ${\ displaystyle 3 \ vezes 3}$

Método de eliminação gaussiana para cálculo de determinantes

Em geral, os determinantes podem ser calculados com o método de eliminação Gaussiana usando as seguintes regras:

• Se for uma matriz triangular , o produto dos principais elementos diagonais é o determinante de .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$
• Se resultar da troca de duas linhas ou colunas, então é .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ det B = - \ det A}$
• Se resultar da adição de um múltiplo de uma linha ou coluna a outra linha ou coluna, então é .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ det B = \ det A}$
• Se resultar de tomar o fator de uma linha ou coluna, então é .${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ det B = c \ cdot \ det A}$

Começando com qualquer matriz quadrada, usa-se as três últimas dessas quatro regras para converter a matriz em uma matriz triangular superior e, a seguir, calcula o determinante como o produto dos elementos diagonais.

O cálculo dos determinantes usando a decomposição LR é baseado neste princípio . Uma vez que e são matrizes triangulares, seus determinantes resultam do produto dos elementos diagonais, todos os quais são normalizados para 1. De acordo com o teorema do produto determinante , o determinante resulta do contexto ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle \ det A = \ det \ left (L \ cdot R \ right) = \ det L \ cdot \ det R = \ det R = r_ {1,1} \ cdot r_ {2,2} \ dotsb r_ {n, n}.}$

Teorema da expansão de Laplace

Com o teorema da expansão de Laplace, pode-se desenvolver o determinante de uma matriz "de acordo com uma linha ou coluna". As duas fórmulas são ${\ displaystyle n \ times n}$

${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i + j} \ cdot a_ {ij} \ cdot \ det A_ {ij}}$(Desenvolvimento após a -ésima coluna)${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i + j} \ cdot a_ {ij} \ cdot \ det A_ {ij}}$(Desenvolvimento após a -ésima linha),${\ displaystyle i}$

onde o - é a submatriz da qual é criada excluindo a -ésima linha e a -ésima coluna. O produto é denominado cofator . ${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle (n-1) \ vezes (n-1)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle (-1) ^ {i + j} \ det A_ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {a}} _ {ij}}$

A rigor, o teorema da expansão fornece apenas um método para calcular os somatórios da fórmula de Leibniz em uma determinada ordem. O determinante é reduzido em uma dimensão para cada aplicação. Se desejado, o método pode ser usado até que um escalar seja obtido (veja acima).

O teorema da expansão de Laplace pode ser generalizado da seguinte maneira. Em vez de apenas uma linha ou coluna, você também pode desenvolver de acordo com várias linhas ou colunas. A fórmula para isso é

${\ displaystyle \ det A = \ sum _ {| J | = | I |} (- 1) ^ {\ sum I + \ sum J} \ det A_ {IJ} \ det A_ {I'J '}}$

com as seguintes notações: e são subconjuntos de e é a submatriz de , que consiste nas linhas com os índices de e nas colunas com os índices de . e denotam os complementos de e . é a soma dos índices . Para o desenvolvimento de acordo com as linhas com os índices de , a soma é global , sendo o número desses índices de coluna igual ao número de linhas de acordo com as quais o desenvolvimento é realizado. Para o desenvolvimento de acordo com as colunas com os índices de , overflows totais . O número de resultados somados como o coeficiente binomial com . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}$${\ displaystyle A_ {IJ}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle I '}$${\ displaystyle J '}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ sum I = \ sum \ nolimits _ {i \ in I} i}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J \ subseteq \ {1, \ ldots, n \}}$${\ displaystyle | J |}$${\ displaystyle | I |}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle {\ binom {n} {k}}}$${\ displaystyle k = | I | = | J |}$

Eficiência:

O esforço para o cálculo de acordo com o teorema da expansão de Laplace para uma matriz de dimensão é da ordem , enquanto os métodos usuais são apenas e podem ser projetados ainda melhor em alguns casos (ver, por exemplo, o algoritmo de Strassen ). No entanto, o teorema da expansão de Laplace pode ser aplicado a matrizes pequenas e matrizes com muitos zeros. ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n!)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {3})}$

Outras propriedades

Teorema do produto determinante

O determinante é um mapeamento multiplicativo no sentido de que

${\ displaystyle \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B}$ para todas as matrizes e .${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Isso significa que o mapeamento é um homomorfismo de grupo do grupo linear geral para o grupo de unidades do corpo. O núcleo desta figura é o grupo linear especial . ${\ displaystyle \ det \ colon \ mathrm {GL} (n, K) \ rightarrow K ^ {*}}$ ${\ displaystyle K ^ {*}}$

De maneira mais geral, o teorema de Binet-Cauchy se aplica ao determinante de uma matriz quadrada, que é o produto de duas matrizes (não necessariamente quadradas) . Ainda mais geralmente, uma fórmula para calcular um menor da ordem de um produto de duas matrizes resulta do teorema de Binet-Cauchy . Se uma matriz e uma matriz e é e com , então com as notações o mesmo se aplica como no teorema da expansão generalizada${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle m \ times n}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle n \ times p}$${\ displaystyle I \ subseteq \ {1, \ ldots, m \}}$${\ displaystyle J \ subseteq \ {1, \ ldots, p \}}$${\ displaystyle | I | = | J | = k}$

${\ displaystyle \ det (A \ cdot B) _ {IJ} = \ sum _ {K \ subseteq \ {1, \ ldots, n \}, | K | = k} \ det A_ {IK} \ det B_ { KJ}.}$

O caso produz o teorema de Binet-Cauchy (que se torna o teorema do produto determinante comum para ) e o caso especial produz a fórmula para a multiplicação da matriz comum . ${\ displaystyle m = p = k}$${\ displaystyle n = m}$${\ displaystyle k = 1}$

Existência da matriz inversa

Uma matriz é invertível (ou seja, regular) se e somente se for uma unidade do anel subjacente (ou seja, para corpos ). Se for invertível, o inverso é válido para o determinante . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ det A}$${\ displaystyle \ det A \ neq 0}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ det \ left (A ^ {- 1} \ right) = \ left (\ det A \ right) ^ {- 1}}$

Matrizes semelhantes

Se e forem semelhantes, isto é, se houver uma matriz invertível tal que , então seus determinantes coincidem, porque ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A = X ^ {- 1} BX}$

${\ displaystyle \ det A = \ det \ left (X ^ {- 1} BX \ right) = \ det \ left (X ^ {- 1} \ right) \ cdot \ det \ left (B \ right) \ cdot \ det (X) = \ det \ left (X \ right) ^ {- 1} \ cdot \ det \ left (B \ right) \ cdot \ det \ left (X \ right) = \ det B}$.

Portanto, pode-se definir o determinante de um auto-mapeamento linear independentemente de uma representação de coordenadas (onde é um espaço vetorial de dimensão finita ) escolhendo uma base para , descrevendo o mapeamento por uma matriz em relação a essa base e tomando o determinante dessa matriz . O resultado é independente da base escolhida. ${\ displaystyle f \ dois pontos V \ a V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle f}$

Existem matrizes que possuem o mesmo determinante, mas não são semelhantes.

Matrizes de bloco

Para o determinante de uma - matriz de bloco${\ displaystyle (2 \ vezes 2)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}}$

com blocos quadrados e , sob certas condições, você pode especificar fórmulas que fazem uso da estrutura de bloco. Para ou segue do kit de desenvolvimento generalizado : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle B = 0}$${\ displaystyle C = 0}$

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} A & 0 \\ C&D \ end {pmatrix}} = \ det {\ begin {pmatrix} A&B \\ 0 & D \ end {pmatrix}} = \ det (A) \ det (D)}$.

Essa fórmula também é chamada de conjunto de caixas.

Se for invertível , segue-se da decomposição ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} A & 0 \\ C & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & A ^ {- 1} B \ \ 0 & D-CA ^ {- 1} B \ end {pmatriz}}}$

a fórmula

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} = \ det (A) \ det (D-CA ^ {- 1} B).}$

Se for invertível, pode-se formular: ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} = \ det (D) \ det (A-BD ^ {- 1} C)}$

No caso especial em que todos os quatro blocos têm o mesmo tamanho e comutam em pares , isso resulta do teorema do produto determinante

${\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} = \ det (AD-BC) = \ det \ left (\ det _ {R} {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} \ right).}$

Aqui, denote um sub-anel comutativo do anel de todas as matrizes com entradas do corpo , de modo que (por exemplo, o sub-anel gerado por essas quatro matrizes), e seja o mapeamento correspondente que atribui seu determinante a uma matriz quadrada com entradas de . Essa fórmula também se aplica se A não for invertível e generaliza para matrizes .${\ displaystyle R \ subseteq K ^ {n \ vezes n}}$ ${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ {A, B, C, D \} \ subseteq R}$${\ displaystyle \ det _ {R} \ dois pontos R ^ {2 \ vezes 2} \ rightarrow R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R ^ {m \ times m}}$

Valores próprios e polinômio característico

É o polinômio característico da matriz${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x): = \ det (x \ cdot E_ {n} -A)}$

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = x ^ {n} -a_ {1} x ^ {n-1} + a_ {2} x ^ {n-2} - \ dotsb + (- 1) ^ {n} a_ {n}}$,

assim é o determinante de . ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle A}$

Se o polinômio característico se divide em fatores lineares (não necessariamente diferentes ): ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$

${\ displaystyle \ chi _ {A} (x) = (x- \ alpha _ {1}) \ dotsm (x- \ alpha _ {n})}$,

então é particular

${\ displaystyle \ det (A) = \ alpha _ {1} \ dotsm \ alpha _ {n}}$.

Se os vários valores próprios da matriz forem com espaços próprios generalizados -dimensionais , então é ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dotsc, \ lambda _ {r}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle r_ {i}}$

${\ displaystyle \ det (A) = \ lambda _ {1} ^ {r_ {1}} \ dotsm \ lambda _ {r} ^ {r_ {r}}}$.

Continuidade e diferenciabilidade

O determinante de matrizes quadradas reais de dimensões fixas é uma função polinomial , que segue diretamente da fórmula de Leibniz. Como tal, é constante e diferenciável em todos os lugares . Seu diferencial total nesse ponto pode ser representado usando a fórmula de Jacobi : ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ det \ colon \ mathbb {R} ^ {n \ times n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$

${\ displaystyle D (\ det A) H = \ operatorname {spur} \ left (A ^ {\ #} H \ right),}$

em que a matriz a ser complementado e indica o traço de uma matriz. Em particular, segue-se para invertível que ${\ displaystyle A ^ {\ #}}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ operatorname {track}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle D (\ det A) H = \ det A \ cdot \ operatorname {spur} \ left (A ^ {- 1} H \ right)}$

ou como uma fórmula de aproximação

${\ displaystyle \ det \ left (A + H \ right) - \ det A \ approx \ det A \ cdot \ operatorname {spur} \ left (A ^ {- 1} \, H \ right),}$

se os valores da matriz são suficientemente pequenos. O caso especial, quando é igual à matriz identidade , dá ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ det \ left (E + H \ right) \ approx 1+ \ operatorname {spur} H.}$

Permanente

A permanente é um análogo "sem sinal" do determinante, mas é usada com muito menos frequência.

generalização

O determinante também pode ser definido em matrizes com entradas em um anel comutativo com um . Isso é feito com a ajuda de um certo mapeamento multilinear antissimétrico : Se for um anel comutativo e o módulo livre -dimensional , então seja ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M = R ^ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle f \ dois pontos M ^ {n} \ a R}$

o mapeamento determinado exclusivamente com as seguintes propriedades:

• ${\ displaystyle f}$é -linear em cada um dos argumentos.${\ displaystyle R}$${\ displaystyle n}$
• ${\ displaystyle f}$é anti-simétrico, ou seja, ou seja, se dois dos argumentos forem iguais, retorna zero.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f}$
• ${\ displaystyle f \ left (e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \ right) = 1}$, onde é o elemento de que tem 1 como a -ésima coordenada e zeros caso contrário.${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle i}$

Um mapeamento com as duas primeiras propriedades também é conhecido como função determinante , volume ou forma linear alternada${\ displaystyle n}$ . O determinante é obtido identificando-se naturalmente com o espaço das matrizes quadradas : ${\ displaystyle M ^ {n}}$${\ displaystyle R ^ {n \ vezes n}}$

${\ displaystyle \ det \ colon R ^ {n \ times n} \ cong M ^ {n} {\ xrightarrow {f}} R}$

Determinantes especiais

• Determinante de Vronsky
• Determinante de Pfaff
• Determinante de Vandermonde
• Determinante de Gram
• Determinante funcional (também chamado de determinante de Jacobi)
• Determinante (teoria do nó)

história

Historicamente, determinantes ( latim: determinare "delimitar", "determinar") e matrizes estão intimamente relacionados, o que ainda é o caso de acordo com nosso entendimento atual. No entanto, o termo matriz foi cunhado pela primeira vez mais de 200 anos após as primeiras considerações sobre os determinantes. Originalmente, um determinante foi considerado em conexão com sistemas lineares de equações . O determinante “determina” se o sistema de equações tem uma solução única (este é o caso se e somente se o determinante não for igual a zero). As primeiras considerações desse tipo para matrizes foram feitas por Gerolamo Cardano no final do século XVI . Cerca de cem anos depois, Gottfried Wilhelm Leibniz e Seki Takakazu estudaram independentemente determinantes de sistemas maiores de equações lineares. Seki, que tentou fornecer fórmulas de solução esquemáticas para sistemas de equações por meio de determinantes, encontrou uma regra para o caso de três incógnitas que correspondiam à regra de Sarrus posterior .${\ displaystyle 2 \ vezes 2}$

No século 18, os determinantes tornaram-se parte integrante da técnica de resolução de sistemas de equações lineares. Em conexão com seus estudos sobre a interseção de duas curvas algébricas , Gabriel Cramer calculou os coeficientes de uma seção cônica geral

${\ displaystyle A + Por + Cx + Dy ^ {2} + Exy + x ^ {2} = 0,}$

que passa por cinco pontos especificados e estabeleceu a regra de Cramer que leva o nome dele hoje . Essa fórmula foi usada por Colin Maclaurin para sistemas de equações com até quatro incógnitas .

Vários matemáticos conhecidos, como Étienne Bézout , Leonhard Euler , Joseph-Louis Lagrange e Pierre-Simon Laplace, agora lidavam principalmente com o cálculo de determinantes. Alexandre-Théophile Vandermonde conseguiu um importante avanço teórico em um trabalho sobre a teoria da eliminação , concluído em 1771 e publicado em 1776. Nele, ele formulou algumas afirmações básicas sobre os determinantes e, portanto, é considerado o fundador da teoria dos determinantes. Esses resultados incluíram, por exemplo, a afirmação de que um número par de trocas entre duas colunas ou linhas adjacentes não altera o sinal do determinante, enquanto o sinal do determinante muda com um número ímpar de trocas entre colunas ou linhas adjacentes.

Durante seus estudos de formas quadráticas binárias e ternárias , Gauss usou a notação esquemática de uma matriz sem se referir a este campo de número como uma matriz. Ele definiu a multiplicação de matrizes de hoje como um subproduto de suas investigações e mostrou o teorema do produto determinante para certos casos especiais . Augustin-Louis Cauchy sistematizou ainda mais a teoria do determinante. Por exemplo, ele introduziu os elementos conjugados e fez uma distinção clara entre os elementos individuais do determinante e entre os subdeterminantes de ordens diferentes. Ele também formulou e provou teoremas sobre determinantes, como o teorema do produto determinante ou sua generalização, a fórmula de Binet-Cauchy . Ele também deu uma contribuição significativa para o estabelecimento do termo “determinante” para essa figura. Portanto, Augustin-Louis Cauchy também pode ser visto como o fundador da teoria do determinante.

O tratamento axiomático do determinante como uma função de variáveis ​​independentes${\ displaystyle n \ times n}$ foi dado pela primeira vez por Karl Weierstrass em suas palestras em Berlim (o mais tardar a partir de 1864 e possivelmente antes disso), que Ferdinand Georg Frobenius então seguiu em suas palestras em Berlim no semestre de verão de 1874, incluindo e provavelmente o primeiro a reduzir sistematicamente o teorema da expansão de Laplace a este axiomático.

Links da web

• Propriedades, cálculo do determinante, provas (PDF; 237 KiB)
• Ferramenta online para calcular determinantes

literatura

• Ferdinand Georg Frobenius : Sobre a teoria das equações lineares . In: J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal) . fita 129 , 1905, pp. 175-180 . 
• Gerd Fischer : Linear Algebra . 15ª edição aprimorada. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0031-7 . 
• Günter Pickert : Geometria Analítica . 6ª edição revisada. Academic Publishing Company, Leipzig 1967. 

Evidência individual

1. ↑ Gerd Fischer : Álgebra Linear . 15ª edição aprimorada. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0031-7 , p. 178 . 
2. ↑ ^{a b} Ferdinand Georg Frobenius : Sobre a teoria das equações lineares . In: J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal) . fita 129 , 1905, pp. 179-180 . 
3. ↑ Günter Pickert : Geometria Analítica . 6ª edição revisada. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1967, p. 130 . 
4. ↑ Christoph Ableitinger, Angela Herrmann: Aprendendo com soluções de amostra para análise e álgebra linear. Um livro de trabalho e exercícios . 1ª edição. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1724-2 , pp. 114 . 
5. ^ Matrix Reference Manual.
6. ^ John R. Silvester: Determinants of Block Matrices. In: The Mathematical Gazette. Vol. 84, No. 501 (novembro de 2000), páginas 460-467, (PDF; 152 kB). ( Memento de 10 de junho de 2009 no Internet Archive ). Em: mth.kcl.ac.uk.
7. ↑ Eberhard Knobloch : Primeira teoria europeia dos determinantes. In: Erwin Stein , Albert Heinekamp (ed.): Gottfried Wilhelm Leibniz - A obra do grande filósofo e estudioso universal como matemático, físico, técnico. Gottfried Wilhelm Leibniz Society, Hanover 1990, pp. 32-41. ISBN 3-9800978-4-6 .
8. ↑ ^{a b c d} Heinz-Wilhelm Alten : 4000 anos de álgebra. História, culturas, pessoas . Springer, Berlin et al. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , pp. 335-339 .