Macierz blokowa

Dekompozycja blokowa macierzy (14 × 14) z partycjami wierszy i kolumn o rozmiarze 2, 4 i 8

W matematyce wyznaczona macierz blokowa to macierz , która jest interpretowana tak, jakby była złożona z wielu części zwanych blokami , została rozłożona . Macierz blokową można w intuicyjny sposób przedstawić jako oryginalną macierz z pewną liczbą poziomych i pionowych linii podziału. Te linie podziału dzielą pierwotną macierz na podmacierze .

definicja

Bądź macierzą wielkości . Liczba wierszy i kolumn macierzy jest teraz podzielona na liczby całkowite za pomocą i , gdzie i oznacza liczbę podsumowań. Następnie można przedstawić jako ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$${\ displaystyle m \ razy n}$${\ Displaystyle m = m_ {1} + m_ {2} + \ cdots + m_ {q}}$${\ Displaystyle n = n_ {1} + n_ {2} + \ cdots + n_ {r}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbf {M}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ zaczynać {bmatrix} \ mathbf {M} _ {11} i \ mathbf {M} _ {12} i \ cdots & \ mathbf {M} _ {1r} \\\ mathbf {M} _ {21} & \ mathbf {M} _ {22} & \ cdots & \ mathbf {M} _ {2r} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ mathbf {M } _ {q1} & \ mathbf {M} _ {q2} & \ cdots & \ mathbf {M} _ {qr} \ end {bmatrix}}}$

z podmacierzami rozmiaru . Każda macierz może być zinterpretowana jako macierz blokowa na różne sposoby, w zależności od tego, jak są podzielone wiersze i kolumny. W trywialny sposób każdą macierz można również rozumieć jako macierz blokową z tylko jednym blokiem lub jako macierz blokową z blokami o tej samej wielkości . ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {ij}}$${\ displaystyle m_ {i} \ razy n_ {j}}$${\ displaystyle (m \ razy n)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle 1 \ razy 1}$

przykład

Macierz

${\ Displaystyle \ mathbf {M} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 1 i 2 i 2 \\ 1 i 1 i 2 i 2 \\ 3 i 3 i 4 i 4 \\ 3 i 3 i 4 i 4 \ koniec {bmatrix}}}$

można podzielić na cztery bloki ${\ displaystyle (2 \ razy 2)}$

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {11} = {\ początek {bmatrix} 1 i 1 \\ 1 i 1 \ koniec {bmatrix}}, \ mathbf {M} _ {12} = {\ początek {bmatrix} 2 i 2 \\ 2 i 2 \ end {bmatrix}}, \ mathbf {M} _ {21} = {\ begin {bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \ end {bmatrix}}, \ mathbf {M} _ {22} = {\ begin {bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \ end {bmatrix}}.}$

Następnie zdekomponowana macierz daje wynik

${\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {M} _ {11} & \ mathbf {M} _ {12} \\\ mathbf {M} _ {21} & \ mathbf {M } _ {22} \ end {bmatrix}}.}$

Mnożenie macierzy blokowych

Przykład mnożenia dwóch macierzy blokowych

Produkt macierzy blokowych może być przedstawiony wyłącznie w operacjach cząstkowych matryc. Pozwolić macierz dekompozycji wierszy i kolumn dekompozycji${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle (m \ razy n)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {A} _ {11} i \ mathbf {A} _ {12} i \ cdots & \ mathbf {A} _ {1r} \\\ mathbf {A} _ {21} & \ mathbf {A} _ {22} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {2r} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ mathbf {A } _ {q1} & \ mathbf {A} _ {q2} & \ cdots & \ mathbf {A} _ {qr} \ end {bmatrix}}}$

i macierz dekompozycji wierszy i kolumn dekompozycji${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ Displaystyle (n \ razy p)}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {B} _ {11} i \ mathbf {B} _ {12} i \ cdots & \ mathbf {B} _ {1s} \\\ mathbf {B} _ {21} & \ mathbf {B} _ {22} & \ cdots & \ mathbf {B} _ {2s} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ mathbf {B } _ {r1} & \ mathbf {B} _ {r2} & \ cdots & \ mathbf {B} _ {rs} \ end {bmatrix}},}$

następnie stosuje, że produkt

${\ displaystyle \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ mathbf {B}}$

można obliczyć blok po bloku, w którym jest macierz wierszy i kolumn dekompozycji . Podmacierze macierzy blokowej są podane przez ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$${\ Displaystyle (m \ razy p)}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {ik} = \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ mathbf {A} _ {ij} \ mathbf {B} _ {jk}.}$

Lub, z pomocą konwencji sumowania Einsteina , która pośrednio sumuje wiele indeksów, reprezentuje bardziej zwięzłe

${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {ik} = \ mathbf {A} _ {ij} \ mathbf {B} _ {jk}.}$

Blokowa macierz ukośna

Blok przekątnej macierzy jest macierz kwadratowy blok, którego głównym przekątne są kwadratowych macierzy blokowe, a ich pozostałe bloki są zerowe matryce . Blokowa macierz przekątna ma postać ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} i 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} i \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} \ end {bmatrix}},}$

gdzie podmacierze są macierzami kwadratowymi. Innymi słowy, jest bezpośredni suma stanowi , że jest ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1}, \ dotsc, \ mathbf {A} _ {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {A} _ {1} \ oplus \ mathbf {A} _ {2} \ oplus \ dotsb \ oplus \ mathbf {A} _ {n}}$

lub z formalizmem macierzy diagonalnych

${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ operatorname {diag} (\ mathbf {A} _ {1}, \ mathbf {A} _ {2}, \ dotsc, \ mathbf {A} _ {n})}$.

Stosuje się do tej determinanty i śladu bloku przekątnej macierzy

${\ displaystyle \ det \ mathbf {A} = \ det \ mathbf {A} _ {1} \ cdot \ det \ mathbf {A} _ {2} \ dotsm \ det \ mathbf {A} _ {n}}$

i

${\ displaystyle \ operatorname {trace} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {trace} (\ mathbf {A} _ {1}) + \ dotsb + \ operatorname {trace} (\ mathbf {A} _ {n })}$.

Odwrotność bloku macierzą diagonalną z kolei blok macierzą diagonalną, złożony z odwrotności poszczególnych bloków ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} i \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} ^ {- 1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ mathbf {A} _ {2} ^ {- 1} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & \ mathbf {A} _ {n } ^ {- 1} \ end {bmatrix}}.}$

Wartości własne i wektory własne macierzy diagonalnej bloku odpowiadają (połączonym) wartościom własnym i wektorom własnym podmacierzy . ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {1}, \ mathbf {A} _ {2}, \ dotsc, \ mathbf {A} _ {n}}$

przykład

Ważnymi przykładami blokowych macierzy diagonalnych są macierze w postaci normalnej Jordana . W tym przypadku bloki to tak zwane bloki Jordana, które są dwu-ukośnymi macierzami z wartością własną bloku na głównej przekątnej , podczas gdy wszystkie elementy na przekątnej wtórnej wynoszą 1.

Blokowa macierz trójkątna

Blok tridiagonal matrycy inny szczególny blok matrycy, która, podobnie jak listwy przekątnej macierzy jest macierzą kwadratową, ale z dodatkowymi macierze kwadratowe blokowych w pierwszych dwóch (górnego i dolnego) przekątnych wtórnych . Pozostałe bloki to macierze zerowe. Macierz blokowa trójdiagonalna jest zasadniczo macierzą trójdiagonalną , ale z macierzami blokowymi zamiast skalarami . Macierz blokowa trójkątna ma postać ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {B} _ {1} & \ mathbf {C} _ {1} &&& \ cdots && 0 \\\ mathbf {A} _ {2} & \ mathbf {B} _ {2} & \ mathbf {C} _ {2} &&&& \\ & \ ddots & \ ddots & \ ddots &&& \ vdots \\ && \ mathbf {A} _ {k} & \ mathbf { B} _ {k} & \ mathbf {C} _ {k} && \\\ vdots &&& \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\ &&&& \ mathbf {A} _ {n-1} & \ mathbf {B } _ {n-1} & \ mathbf {C} _ {n-1} \\ 0 && \ cdots &&& \ mathbf {A} _ {n} & \ mathbf {B} _ {n} \ end {bmatrix}} }$

gdzie , i to w każdej kwadratowej macierzy bloku na dolnym Diagonal wtórnym głównym przekątnej górną przekątnej wtórnego. ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {k}}$

Macierze blokowe trójdiagonalne często pojawiają się w numerycznych rozwiązaniach różnych problemów (na przykład w numerycznej mechanice płynów ). Istnieją zoptymalizowane metody numeryczne dekompozycji LR blokowych macierzy trójdiagonalnych oraz odpowiednio wydajne metody rozwiązywania układów równań z macierzami triadiagonalnymi jako macierzami współczynników . Thomas algorytm , który jest używany do skutecznego rozwiązania układów równań z tridiagonal matrycy można także stosować do blokowania tridiagonal matryc.

Zablokuj macierz Toeplitza

Blok Toeplitza matrycy inny szczególny blok matrycy, która, podobnie jak matryca Toeplitza zawiera wielokrotnie same bloki na przekątnych. Blokowa macierz Toeplitza ma postać ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ zaczynać {bmatrix} \ mathbf {A} _ {(1,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} && \ cdots & \ mathbf {A } _ {(1, n-1)} & \ mathbf {A} _ {(1, n)} \\\ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1 , 1)} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} &&&& \ mathbf {A} _ {(1, n-1)} \\ & \ ddots & \ ddots & \ ddots &&& \ vdots \\ && \ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} && \\\ vdots &&& \ ddots & \ ddots & \ ddots & \\\ mathbf {A} _ {(n- 1,1)} &&&& \ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1, 1 )} & \ mathbf {A} _ {(1,2)} \\\ mathbf {A} _ {(n, 1)} & \ mathbf {A} _ {(n-1,1)} & \ cdots &&& \ mathbf {A} _ {(2,1)} & \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ end {bmatrix}}.}$

Zobacz też

• Produkt Kronecker

literatura

• Gilbert Strang : Algebra liniowa . Springer, Berlin i in. 2003, ISBN 3-540-43949-8 . 

linki internetowe

• Eric W. Weisstein : Macierz blokowa . W: MathWorld (angielski).
• Cam McLeman, matowy: podzielona matryca . W: PlanetMath . (Język angielski)