Minimális költség áramlási probléma

A minimális költség flow problémát vagy min költség flow problémát egy optimalizálási és döntési probléma osztályából hálózat áramlási problémák, és egy általános eljárás modellezésére és megoldására átrakodás vagy szállítás problémát. Megoldásához ilyen már azonosították megfogalmazott 1781- a francia matematikus, Gaspard Monge, és a hidegháborúban az újrafegyverkezés során fokozott figyelmet kapott az ellátmány szállítási logisztikájának katonai jelentősége miatt . A cél az, hogy meghatározza, adott költségfüggvény az áruszállítás , a legolcsóbb megoldás a közlekedési egy vagy több kiindulási pontot (forrás) hálózaton keresztül egy vagy több végpontot (mosogató). A költségfüggvény szerkezetétől függően a probléma np-kemény vagy polinomilag pontos algoritmusok léteznek . Általánosságban elmondható, hogy a min-cost-flow problémák megoldása nem egyértelmű.

Probléma megfogalmazása

Az áramlási hálózat egy irányított gráf , egy kezdő csomóponttal a kínálattal és egy célcsomóponttal , amelynek kereslete megfelel a kínálatnak , valamint 2 függvény, amelyek az élhalmazon vannak definiálva: ${\ displaystyle G = (V, E)}$${\ displaystyle s \ in V}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle t \ in V}$${\ displaystyle -a}$

1. A kapacitás funkció minden élhez hozzárendeli az él mentén szállítható maximális mennyiségű árut.${\ displaystyle \ kappa: E \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$
2. Az áramlási függvény minden élhez hozzárendeli, hogy ténylegesen hány árut rendelnek hozzá a szállításhoz. Ezért a kapacitáskorlátozás mindenkire vonatkozik .${\ displaystyle f: E \ rightarrow \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle f (u, v) \ leq \ kappa (u, v)}$${\ displaystyle v, u \ in V}$

Ezenkívül a következő 2 tulajdonságnak kell érvényesülnie az áramlási függvényre:

1. A természetvédelmi folyó , mely lehet kifejezett által mindenki .${\ displaystyle u \ neq s, t}$${\ displaystyle \, \ sum _ {w \ in V} f (u, w) = 0}$
2. A kínálat és a kereslet áramlási kielégítése, amelyet a kezdő csomópontra és a célcsomópontra fejezhetünk ki .${\ displaystyle \, \ sum _ {w \ in V} f (s, w) = d}$${\ displaystyle \, \ sum _ {w \ in V} f (w, t) = d}$

Ha bevezetnek egy (szétválasztható) költségfüggvényt is , amely a szállítási költségekhez minden egyes élhez hozzárendel egy értéket a kiosztott áramlási érték függvényében, akkor az áramlás összes költsége a költségképlet segítségével kerül kiszámításra . ${\ displaystyle c: E \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \, C (f) = \ sum _ {(u, v) \ in E} c (u, v, f (u, v))}$

Min-cost flow probléma esetén olyan flow függvényt keres, amely minimalizálja a költségképletet.

A költségfüggvény összetettsége és szerkezete

A kapacitáskorlátozás, az áramlás karbantartása és az áramlás teljesítése a költségképletet minimalizáló áramlási függvény megtalálását korlátokkal járó optimalizálási problémává teszi. Ezért legalább elméletileg a probléma numerikusan megoldható a Lagrange -szorzó mód használatával . A gyakorlatban azonban ez általában olyan erősen nemlineáris függvényeket eredményez, hogy numerikus módszerekkel megoldást találni gyakran nem praktikus. A számítástechnika és a működéskutatás területén az 1960 -as évek vége óta fejlesztettek ki algoritmusokat és eljárásokat e problémaosztály pontos megoldására. Ezek a megoldások gyakran léteznek a probléma további feltételezéseivel. Ez sokkal könnyebben kiszámíthatóvá teszi a problémát a diszkrét esetben, amikor a kapacitás és az áramlás függvények csak természetes számokat vagy 0 értéket feltételeznek.

Lineáris költségfüggvény

Abban az esetben, egy lineáris költségfüggvény, a problémát meg lehet oldani a lineáris programozási technikák és a szimplex módszer .

Konvex költség függvény

1986 -ban Minoux megmutatta, hogy a diszkrét esetre polinomiális megoldások vannak a konvex költségfüggvény esetén. Ezek megtalálhatók például úgy, hogy a költségfüggvényt darabonként linearizálják a kapacitás -skálázási algoritmus egyes deltafázisaiban .

Általános nemlineáris költségfüggvény

Az általános nemlineáris költségfüggvények esetében a megoldás megtalálása NP-nehéz.

Lásd még

• Maximális áramlási problémák
• Legrövidebb út
• Hozzárendelési probléma
• Műveletek kutatása

irodalom

• Oliver Zlotowski: Hálózati adatstruktúrák és hálózati algoritmusok tervezése, megvalósítása és értékelése a minimális költségű áramlási probléma megoldása érdekében . Logos Berlin (2010. szeptember 20.). ISBN 978-3832526009

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Leena Suhl, Taieb Mellouli: Optimalizáló rendszerek: modellek, folyamatok, szoftverek, alkalmazások . Jumper; Kiadás: 2., felülvizsgált. 2009. évi kiadás (2009. június 10.). ISBN 978-3642015793 . 169. oldal
2. ↑ G. Monge. Mémoire a déblais et de remblais elméletéről. A Párizsi Tudományos Akadémia története, a Mémoires de Mathématique és a Physique pour la même année. 1781, 666-704.
3. ↑ ^{a b} Ravindra K. Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin: Hálózati folyamatok: elmélet, algoritmusok és alkalmazások . Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ 1993, ISBN 978-0-13-617549-0 . 
4. ^ Morton Klein: Primal módszer a minimális költségáramlásokhoz a hozzárendelési és szállítási problémák alkalmazásával . In: Vezetéstudomány . szalag 14 , nem. 3. , 1967. november 1., ISSN  0025-1909 , p. 205–220 , doi : 10.1287 / mnsc.14.3.205 ( informs.org [hozzáférés: 2021. szeptember 5.]). 
5. ^ M. Minoux: Egész minimális költségáramok megoldása szétválasztható konvex költség célkitűzéssel polinomiálisan . In: Netflow Pisában (=  Mathematical Programming Studies ). Springer, Berlin, Heidelberg 1986, ISBN 978-3-642-00923-5 , pp. 237-239 , doi : 10.1007 / bfb0121104 . 
6. ↑ GM Guisewite, PM Pardalos: Minimális konkáv költségű hálózati áramlási problémák: alkalmazások, összetettség és algoritmusok . In: Annals of Operations Research . szalag 25 , nem. 1 , 1990. december 1., ISSN  1572-9338 , pp. 75-99 , doi : 10.1007 / BF02283688 .