kuusikulmio

Säännöllinen kuusikulmio

Kuusikulmio tai kuusikulmio [ hɛksagoːn ] (alkaen kreikkalainen ἑξα , heksa , "kuusi" ja γωνία , gonia , "kulma, kulman") on monikulmio , joka koostuu kuudesta kulmat ja kuusi sivua. Jos kaikki kuusi sivua ovat samanpituisia, yksi puhuu tasasivuisesta kuusikulmiosta. Lisäksi, jos kaikki kulmat kuudessa kulmassa ovat samat, kuusikulmiota kutsutaan säännölliseksi tai säännölliseksi .

Matemaattiset suhteet

Säännöllisen kuusikulmion taustalla olevat suhteet kuvaili ensin Euclid neljännen kirjan Elements 15. matemaattisessa lauseessaan . Jos kuusikulmion vastakkaiset kulmat on yhdistetty toisiinsa, on kuusi tasasivuista kolmiota . Jos toisaalta kaikki ei-vastakkaiset kulmat on kytketty toisiinsa, saadaan heksagrammi .

Kaavat

Matemaattiset kaavat tavalliselle kuusikulmalle
Alue	${\ displaystyle A = {\ frac {3 \ cdot {\ sqrt {3}}} {2}} \ cdot a ^ {2} \ noin 2 {,} 598 \ cdot a ^ {2}}$
Alue	${\ displaystyle A = 2 \ cdot {\ sqrt {3}} \ cdot r_ {i} ^ {2} \ noin 3 {,} 464 \ cdot r_ {i} ^ {2}}$
Pituus lävistäjien	${\ displaystyle d_ {2} = 2 \ kertaa r_ {i} = {\ sqrt {3}} \ kertaa a \ noin 1 {,} 732 \ kertaa a}$
Pituus lävistäjien	${\ displaystyle d_ {3} = 2 \ cdot r_ {u} = 2 \ cdot a}$
Ympyrän säde tai puoli jakoavainkokoa	${\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ cdot a \ noin 0 {,} 866 \ cdot a}$
Kehän säde	${\ displaystyle r_ {u} = a}$
Sisäkulma	${\ displaystyle \ alpha = 120 ^ {\ circ}}$

Rakenne tietylle kehälle

Säännöllinen kuusikulmio voidaan helposti edustaa kuin rakenne kompassi ja hallitsija peräisin ympyrän piirtämällä säde ympyrän kuusi kertaa reunalla ympyrän (ks rakentaminen 1). Saadut pisteet ovat kuusikulmion kulmat . Vaihtoehtoisesti Euclidin mukaan riittää poistamaan se kahdesti ympyrän reunalla. Puuttuvat kulmat voidaan konstruoida käyttämällä suorat viivat läpi keskustan kehän ja jo tunnettujen kulmat (ks rakentaminen 2 mukainen Euclid, kuten animoitu graafinen).

Rakentaminen 1
Rakenne 2 Euclidin mukaan, animoituna graafisena

Kuusikulmion rakentaminen kompassilla ja viivaimella

Rakenne tietylle sivupituudelle

Tietyn sivupituisen kuusikulmion rakentaminen

Säännöllinen kuusikulmio voidaan myös rakentaa, jos sivupituudeksi käytetään olemassa olevaa viivaa .

Määritä reitin päätepisteet A: lla ja B: llä.
Piirrä kaari pisteen A ympäri säteellä AB .
Piirrä kaari pisteen B ympärille säteellä AB , leikkauspisteen M tulokset, myöhemmän kehän keskipiste .
Piirrä ympyrä pisteen M ympärille säteellä AM , tämä on myöhemmän kuusikulmion ympärysmitta.
Merkitse etäisyys AB pisteestä B neljä kertaa kompassilla ympärysmittaan.
Yhdistä vierekkäiset kulmapisteet toisiinsa, jolloin saadaan kuusikulmio ABCDEF.

Arvioitu rakenne

Arvioitu kuusikulmion rakenne

Arvio säännölliseen kuusikulmioon, joka usein riittää käytännön tarkoituksiin, saadaan, jos kuusikulmio on rakennettu suunnilleen tasasivuisista kolmioista , joiden korkeus-pohja-suhde on 7: 8. Tätä likiarvoa käytetään, kun hieman alle prosentin virhe voidaan sietää. Esimerkiksi kartat tai pelikentät voidaan jakaa aloihin, jotka on helppo piirtää ja helppo laskea.

Pisteet P _i (x | y) on numeroitu seuraavasti kellon numeroiden mukaan, keskellä on (0 | 0):

Koostuvat kuusikulmion koordinaatit
P ₁ (4 | 7), P ₃ (8 | 0), P ₅ (4 | −7), P ₇ (−4 | −7), P ₉ (−8 | 0), P ₁₁ (−4 | 7)
Käänteisen kuusikulmion koordinaatit
P ₂ (7 | 4), P ₄ (7 | −4), P ₆ (0 | −8), P ₈ (−7 | −4), P ₁₀ (−7 | 4), P ₁₂ (0 | 8.)

Parempi likiarvo saadaan korvaamalla yllä olevien koordinaattien numerot 4, 7 ja 8 vastaavasti 15: llä, 26: lla ja 30: lla. Muita mahdollisia kolmoisia ovat (56, 97, 112) tai (209, 362, 418). Kaikissa näissä kolmioissa vastaavista sivupituuksista muodostetut kolmiot poikkeavat vain hyvin vähän suorakulmaisesta kolmiosta, jonka terävät kulmat ovat 30 ° ja 60 °. Muita tämän tyyppisiä kolmioita voidaan löytää iteratiivisesti muodostamalla uudet katetit "kateteista" ja ( jo) tunnetun tällaisen kolmion kanssa . "Hypotenuus" on aina kaksi kertaa lyhyempi katetuus 30 ° -ominaisuuden vuoksi. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a <b}$ ${\ displaystyle 2a + b, 3a + 2b}$

Kuusikulmainen laatoitus

Laatoitus kuusikulmioilla

Tasasivuisen kolmion ja timantin ( neliön ollessa erityistapauksena) lisäksi säännöllinen kuusikulmio on ainoa tasasivuinen monikulmio , jolla taso voidaan laatoittaa ilman aukkoja. Päinvastoin kuin kolmioilla tai rombeilla tehdyssä laatoituksessa , kuusikulmaisen laatoituksen yksittäisessä monikulmiossa on vain naapurit, jotka on yhdistetty täydellisillä reunoilla, mutta ei yhtään, joka on yhdistetty vain kulmilla tai reunaosilla. Välinen etäisyys keskusten kahden välittömästi vierekkäisen laput on

{\ displaystyle 2 \ cdot r_ {i} = {\ sqrt {3}} \ cdot a}

Mahdollisuus muodostaa kuusikulmainen laatoitus on yksi syy siihen, miksi kuusikulmiot ovat huomattavasti yleisempiä kuin tavalliset viisikulmiot , seitsemännet ja korkeammat polygonit.

3-6-3-6
3-3-3-3-6 (kaksi peiliversiota)
3-4-6-4
4-6-12

Alla oleva numerot luvut osoittavat, kuinka monta kulmat säännöllinen monikulmio on, joista jokainen täyttää yhdellä vaiheessa . Kulmaa lisätä enintään 360 °.

Polyhedron tavallisilla kuusikulmioilla

Joidenkin polyhedrojen kasvot ovat säännölliset kuusikulmioita , esimerkiksi katkaistu tetraedri , katkaistu oktaedri , suuri rombinen kuboktaedri , katkaistu ikosaedri ja suuri rombikosidodekahedroni . Mainitut polyhedra- aineet ovat kiintoaineita Archimedekselta .

Katkaistu tetraedri
Katkaistu oktaedri
Suuri timanttikuboktaedri
Katkaistu ikosaedri (jalkapallorunko)
Suuri rombikosidodekahedroni

Kuusikulmioiden ja kuusikulmaisten rakenteiden esiintyminen

Kuusikulmainen kiderakenne on grafiitti

Säännölliset kuusikulmiot ovat yleisiä taiteessa, kulttuurissa, luonnossa ja tekniikassa. Seuraava luettelo näyttää vain muutaman esimerkin.

luonto

Lumikiteet, valokuvaaja lumitutkija Wilson Bentley

hunajakenno

Hunajakenno : Seinien kuusikulmainen muoto johtaa optimaaliseen seinämateriaalin ja tilavuuden suhteeseen ja tarjoaa suuren vakauden. Se on pohjimmiltaan kuin pyöreän muodon merkitseminen yhteen sen eduineen, mutta jättämättä käyttämättömiä tiloja.
Koska elektroniorbitaalien , kovalenssisidoksia molekyylin muodostavat usein 120 ° kulmassa toistensa suhteen, jotka ovat läsnä tasasivuisen kuusikulmion, joka tarkoittaa sitä, että kuusikulmainen molekyylipainon muodot ovat erityisen stabiileja ja kuusikulmainen renkaat tai molekyylien muotoja esiintyy usein.
Kristallirakenteet : Monet kiteet muodostavat kuusikulmaisia muotoja . Tunnettuja esimerkkejä ovat luonnollinen ( vesi ) jää ja kuusinapaiset lumihiutaleet , koska myös vesimolekyylin vetyatomit muodostavat noin 120 ° kulman happeen nähden.
Grafiitin kiteisessä rakenteessa hiili muodostaa tasomaiset pinnat, jotka muodostuvat kuusikulmioista. Muut hiilen perusmuodot - grafeeni , fullereenit ja hiilinanoputket - koostuvat myös kuusijäsenisistä renkaista, mahdollisesti hieman kaarevista.
Tärkeä orgaanisten molekyylien perusrakenne on ( aromaattinen ) bentseenirengas , joka muodostaa säännöllisen kuusikulmion, jossa kulmapisteinä ovat hiiliatomit . Toisin kuin alifaattinen hiilivetyrengas, kuten sykloheksaani , bentseeni muodostaa jopa tasaisen kuusikulmion, kun sitä tarkastellaan alueellisesti.
Hitaasti jähmettyessään basaltti muodostaa usein metriä pitkiä kuusikulmaisia pylväitä.
Siinä tapauksessa suprajuoksevuus nesteiden: järjestely kvantisoida mekaanisen pyörteet
Saturnus- planeetan pohjoisnapa on vakaan ilmakehärakenteen keskellä lähes säännöllisen kuusikulmion muotoinen . Sen halkaisija on lähes 25000 kilometriä.
Bénard-kokeen konvektiosolut voivat kehittyä tavallisina kuusikulmioina.
Paikka solut hippokampuksessa , jotka koodaavat asemaa eläimen fyysisestä ympäristöstä, voidaan esittää kulman olevia laput.
Winter kuusikulmio on konstellaation, joka tapahtuu muodostaen epäsäännöllisen kuusikulmio katsottuna maapallon.

Taide ja kulttuuri

Ilmakuva Fort Jefferson on Florida Keys

Kuusikulmainen kappeli Comburgissa

Juutalaisuuden ja kristinuskon arkkitehtuurissa, maalauksessa ja grafiikassa kuusikulmion käyttö perustuu numeron 6 symboliikkaan , jonka merkitys johtuu kolmen ensimmäisen numeron (1 + 2 + 3) ja niiden lukumäärän summasta. symboliikka. Ne ja siten tasasivuinen kuusikulmio symboloivat Jumalan kaikkivaltaa molemmissa uskonnoissa. Mutta ne edustavat myös jumalallisen ja maallisen tasapainoa ja harmoniaa, jotka ovat myös kuusikulmion tasapainossa ja kuuden kuvitteellisen tai geometrisesti näkyvän tasasivuisen kolmion koostumuksessa, eli sisältävät myös luvun 3 symboliikan. Kontekstista riippuen numero 6 ja kuusikulmio voivat myös olla symboleja kuuden päivän luomistyölle ( 1.Mooseksen kirja ).

Esimerkki myöhäiskeskiajan kristillisestä maalauksesta on Ylä-Reinin mestarin (noin 1410; noin 1410; Frankfurt, Städelsches Kunstinstitut) " Paradiesgärtlein " -kuusikulmainen pöytä : Se hallitsee kuvaa kirkkailla väreillä muodon ja symbolisen voiman muodossa. kuusikulmio ja on ratkaiseva tekijä kuvan ymmärtämisessä, jota korostaa myös sen rooli kuvan koostumuksessa .

Muita esimerkkejä kuusikulmion käytöstä, mutta vain symbolisella merkityksellä:

Arkkitehtuuri : Monissa kulttuureissa kuusikulmio on olennainen osa ikkunoiden, laattojen ja mosaiikkien suunnittelua . Esimerkkejä ovat freskot on katedraali Pisan tai seinäelementtien joidenkin rakennusten Pompeijin ; Glastonburyn luostari sijaitsee myös (kuvitteellisessa) kuusikulmiossa. Yksityisellä huvilan Kentuck Nuppi arkkitehti Frank Lloyd Wright , hexagon on jatkuva rakentaminen Periaatteessa lyhty torni Skotlannissa nousee yli kuusikulmainen pohjapiirros, kuten temppeli Muses vuonna Tiefurt Linnanpuisto Thüringenissä, sekä Zörbigin vesitorni Saksi-Anhaltissa. Useat kuusikulmat muodostavat Rank-Xerox-Hausin pohjapiirroksen Düsseldorfissa .

MC Escher : Monet hänen mosaiikkimuunnelmistaan perustuvat kuusikulmioihin.
Ranska : Karkeasti kuusikulmaisen muodonsa vuoksi Ranskan alue Manner-Euroopassa tunnetaan myös nimellä l'hexagone . Siksi kääntöpuolella Ranskan 1 ja 2 euron kolikot, on tyylitelty puu kuusikulmiossa ja Ranskan marsalkka jalassaan hänen seitsemän tähdet olalla kappaletta järjestetty kuusikulmion.
Musiikkielektroniikka: Ensimmäiset kaupalliset elektroniset rumpusetit brittiläiseltä Simmons-yhtiöltä olivat muodoltaan kuusikulmaiset.

tekniikkaa

Kuusiokoloruuvi

Ruuvien päät ovat usein kuusikulmaisia joko ulkoisena kuusikulmiona tai sisäisenä kuusikulmiona ( kuusiokolo ). Myös kuusiomutterit ovat yleisiä.
Hunajakennoydintä sisältävää kerroslevyä , toisin sanoen yhdistelmärakennetta, jossa on hunajakennon muotoinen tukisydän, käytetään rakenteissa, jotka vaativat suurta lujuutta pienellä painolla tai materiaalin kulutuksella.
Monien 3D-tulostimien tukirakenteet, jotka perustuvat sulatetun kerrostumisen mallintamisprosessiin , voidaan tulostaa monissa malleissa hunajakennorakenteena, joka yhdistää yllä mainitun voileipärakenteen tavoin korkean vakauden pieneen painoon ja hehkulangan kulutukseen.

Pelit

Monissa peleissä , erityisesti konfliktien simulointipeleissä , pelilauta koostuu kuusikulmaisesta ruudukosta . Tämä tarkoittaa, että muun muassa kahden kentän väliset etäisyydet voidaan määrittää helpommin kuin neliön ruudukolla (esimerkiksi shakkilaudalla). Peli The Settlers of Catan on erityisen merkittävä tässä , jossa sekä itse pelilauta että yksittäiset maisema-laatat ovat kuusikulmaisia.

Katso myös

nettilinkit

Wikisanakirja: Hexagon - selitykset merkityksille, sanan alkuperälle, synonyymeille, käännöksille

Commons : Hexagons - kokoelma kuvia, videoita ja äänitiedostoja

Mathworld (englanti)
Monikulmio, laatoitus ja pyhä geometria - kuvitettuja esimerkkejä kuusikulmioista taiteessa ja arkkitehtuurissa (englanti)

Huomautuksia ja yksittäisiä viitteitä

^ Johann Friedrich Lorenz : Eukleidin elementit, viisitoista kirjaa . Toim.: Kirjakaupassa des Waysenhauses. Halli 1781, S. 65 ff . ( Euclid's Elements, Fourth Book, The 15th Movement. , Tietyssä ympyrässä, ABCDEF, kuvaamaan tasa- ja tasakulmainen kuusikulmio. [Pääsy 17. kesäkuuta 2017]).
↑ Tohtori Christian Wolf: Etsitään ja löydetään: Suuntasolut 2014, katso Strange Pattern and Mental Coordinate System . Haettu 17. kesäkuuta 2017.

[1] Johann Friedrich Lorenz : Eukleidin elementit, viisitoista kirjaa . Toim.: Kirjakaupassa des Waysenhauses. Halli 1781, S. 65 ff . ( Euclid's Elements, Fourth Book, The 15th Movement. , Tietyssä ympyrässä, ABCDEF, kuvaamaan tasa- ja tasakulmainen kuusikulmio. [Pääsy 17. kesäkuuta 2017]).

[2] Tohtori Christian Wolf: Etsitään ja löydetään: Suuntasolut 2014, katso Strange Pattern and Mental Coordinate System . Haettu 17. kesäkuuta 2017.

Languages