Problema de Sitnikov

El problema Sitnikov es un caso especial del problema restringido de tres cuerpos que lleva el nombre del matemático ruso Kirill Alexandrowitsch Sitnikow (* 1926) y describe el movimiento de tres cuerpos celestes bajo su atracción gravitacional mutua .

definición

Fig.1: Configuración del problema Sitnikov

El sistema consta de 2 cuerpos primarios (por ejemplo, estrellas ) con la misma masa , que se mueven en órbitas de Kepler circulares o elípticas alrededor de su centro de gravedad común . El tercer cuerpo, que es mucho más pequeño que los dos cuerpos primarios y cuya masa, por tanto, puede igualarse a cero , se mueve bajo la influencia de los cuerpos primarios en un plano perpendicular al plano del cuerpo primario (ver Figura 1) . El origen de las coordenadas está en el centro de gravedad de los dos cuerpos primarios. La unidad de masa es la masa total de los cuerpos primarios , la unidad de tiempo es su período alrededor del centro de gravedad y la unidad de longitud es el radio de la órbita.${\ Displaystyle \ left (m_ {1} = m_ {2} = {\ tfrac {m} {2}} \ right)}$${\ Displaystyle (m_ {3} = 0)}$${\ Displaystyle (m = 1)}$${\ Displaystyle (2 \ pi)}$${\ Displaystyle (a = 1)}$; además, la constante gravitacional se establece en 1. En tal sistema, el movimiento del tercer cuerpo es unidimensional: solo se mueve a lo largo del eje z.

Ecuación de movimiento

Para derivar la ecuación de movimiento (para el caso de órbitas circulares de los cuerpos primarios), primero se determina la energía total del sistema: ${\ Displaystyle \, E}$

${\ Displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {dz} {dt}} \ right) ^ {2} - {\ frac {1} {r}}}$

Derivado del tiempo , esto da:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {z} {r ^ {3}}}}$

Se aplica lo siguiente (consulte la Figura 1):

${\ Displaystyle r ^ {2} = a ^ {2} + z ^ {2} = 1 + z ^ {2}}$

Y, por tanto, sigue la ecuación de movimiento:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} = - {\ frac {z} {\ left ({\ sqrt {1 + z ^ {2}}} \ right) ^ {3}}}}$

importancia

Aunque es casi imposible que tres cuerpos celestes se dispongan o formen en una configuración de Sitnikov, el problema de Sitnikov se ha estudiado intensamente durante décadas: aunque es un caso muy simple del problema de los tres cuerpos , se pueden encontrar todas las propiedades de uno. en el sistema caótico problema de Sitnikov elíptico , por lo que es ideal para estudios generales sobre efectos caóticos en sistemas dinámicos.

Ver también

• Mecánica celeste
• Problema de dos cuerpos
• Investigación del caos

enlaces web

• Análisis de perturbaciones del problema de Sitnikov para órdenes superiores utilizando métodos de derivación automatizados en Mathematica (tesis de diploma)
• Florian Freistetter, Mundos extraños: Planetas Sitnikov

literatura

• KA Sitnikov: La existencia de movimientos oscilatorios en los problemas de tres cuerpos. En: Doklady Akademii Nauk SSSR , 133/1960, págs. 303-306, ISSN  0002-3264 (traducción al inglés en Física soviética. Doklady. , 5/1960, págs. 647-650)
• K. Wodnar: El artículo original de Sitnikov: nuevos conocimientos. , En: Mecánica celeste y astronomía dinámica , 56/1993, págs. 99-101, ISSN  0923-2958 , código bíblico : 1993CeMDA..56 ... 99W
• D. Hevia, F. Rañada: Caos en el problema de los tres cuerpos: el caso Sitnikov . En: Revista europea de física . cinta 17 , 1996, ISSN  0143-0807 , pág. 295-302 , doi : 10.1088 / 0143-0807 / 17/5/009 . 
• Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, Caos y estabilidad en sistemas planetarios. , Springer, 2005, ISBN 3540282084